Калькулятор отношений

Упрощённое отношение = оба члена ÷ их наибольший общий делитель 6 : 4 → 3 : 2 Десятичная дробь = первый ÷ второй → 1,5 На единицу = 1 : второй ÷ первый → 1 : 0,6667

Первый член

Число перед двоеточием. Именно оно делится на второе, давая десятичное чтение, и именно оно несёт знак.

Второй член

Число после двоеточия. Оно не может быть нулём: отношение, у которого на втором месте ничего нет, не сравнение, а десятичное чтение было бы делением на ноль.

Упрощённое отношение

Упрощённое отношение — это та же пара с сокращённым наибольшим общим делителем обоих членов, так что члены взаимно просты. Это та форма, которую используют там, где можно писать только целые числа, и она точна: 12,3457 : 1 возвращается как 123457 : 10000, а не как округлённая десятичная дробь.

Десятичная дробь

Первый член, делённый на второй, то есть частное, которое отношение и означает. 1,5 значит, что первый член в полтора раза больше второго. Печатается с четырьмя знаками после запятой, поэтому отношение вида 1 : 3 показывает 0,3333.

На единицу

Второй член, делённый на первый, записанный как 1 : это число. Отвечает на вопрос, сколько второго приходится на одну единицу первого, и требует, чтобы первый член не был равен нулю. Тоже печатается с четырьмя знаками после запятой.

Три применения, и первое нуждается в пояснении: упростить отношение — значит привести его к виду, по которому можно реально строить масштаб или рецепт, потому что 6 : 4 это пара чисел, а 3 : 2 это рецепт. Второе — арифметика, которая идёт следом за отношением: перевод отношения в десятичную дробь превращает его в число, которое можно умножать, сравнивать и откладывать на графике; именно это происходит с уклоном, скоростью или коэффициентом ставки, прежде чем они пойдут дальше. Третье — объяснение отношения словами, где работу делает чтение «на единицу»: на каждую единицу первого члена приходится 0,6667 второго — это фраза, по которой человек может действовать. Все три получаются из одной и той же пары, и ни одно из них не правильнее остальных: это одно и то же соотношение, записанное для трёх разных читателей.

1. 6 : 4

   1. Общий делитель: и 6, и 4 делятся на 2
   2. Сокращаем: 6 ÷ 2 = 3 и 4 ÷ 2 = 2, то есть 3 : 2
   3. Десятичная дробь: 6 ÷ 4 = 1,5
   4. На единицу: 4 ÷ 6 = 0,6667 с четырьмя знаками после запятой

   Случай по умолчанию. Оба члена с самого начала были целыми, поэтому сокращение — одно деление на два, а округление проявляется именно в чтении «на единицу».

2. 2,5 : 5, член с десятичной дробью

   1. Умножаем оба члена на десять: 25 : 50
   2. Сокращаем: 25 ÷ 25 = 1 и 50 ÷ 25 = 2, то есть 1 : 2
   3. Десятичная дробь: 2,5 ÷ 5 = 0,5
   4. На единицу: 5 ÷ 2,5 = 2

   Член с десятичной дробью обрабатывается умножением обоих членов на десять, от чего отношение не меняется. Если пропустить этот шаг и всё равно начать сокращать, один из членов так и останется нецелым.

3. 3 : 4, уже в несократимом виде

   1. Общий делитель: у 3 и 4 его нет, кроме единицы
   2. Сокращать нечего: пара уже 3 : 4
   3. Десятичная дробь: 3 ÷ 4 = 0,75
   4. На единицу: 4 ÷ 3 = 1,3333 с четырьмя знаками после запятой

   Панель печатает ту же пару обратно, когда сокращать нечего, и это правильный ответ, а не признак того, что ничего не произошло. Чтение «на единицу» всё равно есть, и оно не целое.

4. 3 : -4, где переезжает знак

   1. Оба члена умножаем на -1: -3 : 4
   2. Больше ничего не сокращается, поэтому упрощённое отношение -3 : 4
   3. Десятичная дробь: -3 ÷ 4 = -0,75, то же самое, что 3 ÷ -4
   4. На единицу: 4 ÷ -3 = -1,3333

   Отношение не меняется от умножения обоих членов на одно и то же число, поэтому -3 : 4 и 3 : -4 — одно и то же соотношение, и панель печатает первое. Все чтения это подтверждают: десятичная дробь в обоих случаях -0,75.

Десятичное чтение и чтение «на единицу» печатаются с четырьмя знаками после запятой, поэтому отношение, которое не делится нацело, там округляется: 1 : 3 показывает 0,3333, а не одну треть, и точное значение — бесконечная периодическая десятичная дробь, которую записать может только обыкновенная. Упрощённое отношение не округляется и не приблизительно: 12,3457 : 1 возвращается как 123457 : 10000, и это точная пара, а не переодетая десятичная дробь. Второй член, равный нулю, отвергается: 0 в знаменателе не сравнение, а десятичное чтение было бы делением на ноль. Первый член, равный нулю, тоже отвергается, хотя 0 : 5 и упрощается в 0 : 1 — чтению «на единицу» нужно делить на первый член, и напечатать две трети панели было бы хуже, чем сказать об этом прямо. Знак всегда печатается на первом члене, поэтому член, введённый как 3 : -4, возвращается как -3 : 4; отношение то же, и число, скопированное с панели, может выглядеть не так, как введённое. Очень большие числа отвергаются, а не приближаются: сокращение идёт в целых числах, а за той чертой, где целые перестают быть точными, общий делитель вычислялся бы из шума. Эта страница упрощает отношение, читает его двумя способами и на этом останавливается. Подстановка неизвестного члена пропорции, деление величины в заданном отношении и вычисление отношения между величинами с единицами измерения — это три разных вычисления.

Как упростить отношение?

Найдите наибольшее число, на которое делятся оба члена, и разделите на него каждый. В 6 : 4 это 2, что даёт 3 : 2. Когда члены не целые, умножьте оба на десять столько раз, сколько нужно, чтобы они стали целыми, и сокращайте уже после этого.

Что означает десятичное чтение?

Это первый член, делённый на второй, то есть частное, которое отношение и означает: 3 : 2 это 1,5, то есть первый член в полтора раза больше второго. Это то чтение, с которым идут в арифметику: уклон или скорость должны стать числом, прежде чем их можно будет умножать.

Что означает чтение «на единицу»?

Оно переписывает отношение с первым членом, равным 1: второй член, делённый на первый, печатается как 1 : это число. Для 6 : 4 это 1 : 0,6667, что читается как «на каждую единицу первого члена приходится 0,6667 второго». Это чтение для того, чтобы сказать вслух.

Бывает ли в отношении десятичная дробь?

Да. 2,5 : 5 — совершенно нормальное отношение, и оно упрощается в 1 : 2 умножением обоих членов на десять и последующим сокращением. Умножение обоих членов на одно и то же число никогда не меняет отношение — именно поэтому этот шаг безопасен.

Почему панель иногда печатает то же отношение обратно?

Потому что пара уже была в несократимом виде. У 3 : 4 нет общего делителя больше единицы, поэтому сокращать нечего; панель печатает 3 : 4, потому что это и есть ответ, а два других чтения всё равно меняются.

Почему 3 : -4 показывается как -3 : 4?

Потому что умножение обоих членов на одно и то же число оставляет отношение неизменным, а сайт всегда записывает знак на первом члене. Это две записи одного соотношения, и все чтения согласны: десятичная дробь в обоих случаях -0,75.

Что будет, если один из членов равен нулю?

Второй член, равный нулю, отвергается: сравнения с нулём не получается, а десятичное чтение было бы делением на ноль. Первый член, равный нулю, тоже отвергается: само отношение ещё можно было бы упростить, но чтение «на единицу» делит на первый член, и ответа для него нет.

• Ratio — the ratio of two numbers written with a colon, where the first behaves as the numerator and the second as the denominator, so a ratio is equivalent to the quotient of the two and the colon form and the decimal form are two spellings of one relationship — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest divisor common to two integers, with two integers having a greatest common divisor of 1 described as relatively prime, which is exactly what cancelling to lowest terms leaves behind — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — a pair written with the common factors cancelled, which is the same operation this page performs on the two terms of a ratio before printing them — Wolfram MathWorld (United States)