Калькулятор смешанных дробей

Числитель неправильной дроби = |целая часть| × знаменатель + числитель Затем: a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d) b/d × c/f = (b×c) / (d×f)

Целая часть

Целое число перед дробью, в любом из двух смешанных чисел: 2 в 2 1/4 или 1 в 1 1/2. Оно может быть отрицательным, и тогда минус принадлежит всему смешанному числу: -1 1/2 — это минус одна целая и одна вторая, а не минус одна вторая. Именно эта часть несёт знак.

Числитель

Верх дроби, в любом из двух смешанных чисел: 1 в 2 1/4. Он должен быть нулём или больше: минус здесь сделал бы смешанное число неоднозначным, поэтому страница отклоняет его, а не выбирает прочтение за вас.

Знаменатель

Низ дроби, в любом из двух смешанных чисел: 4 в 2 1/4. Он должен быть положительным по той же причине, по которой положителен знаменатель любой дроби: знак живёт на числителе, и места для него есть ровно одно.

Действие

Сложение, вычитание, умножение или деление. Все четыре идут через одно и то же преобразование, поэтому выбор решает лишь то, какая из четырёх комбинаций числителя и знаменателя образуется в конце.

Смешанное число

Главное показание: результат, записанный целой частью и дробью. 15/4 печатается как 3 3/4. Когда результат — целое число, дробь исчезает совсем, а когда он меньше единицы, исчезает целая часть: перед 3/4 никакого 0 не стоит.

Неправильная дробь

Тот же результат одной дробью в несократимом виде, 15/4. Она точна, и именно в неё смешанное число приходится превращать, прежде чем его можно будет сложить, вычесть, умножить или разделить с чем-нибудь.

До сокращения

Результат арифметики до всякого сокращения: 30/8 в случае по умолчанию. Она нужна, чтобы решение было видно: 30/8 и 15/4 — одно и то же число, и вторая строка показывает, как это число выглядит после сокращения.

Первый повод — домашняя работа, и ради него вторая строка и существует: смешанные числа приходится преобразовывать, прежде чем с ними можно что-то делать, поэтому вопрос, заданный в смешанной форме, решается через неправильную дробь, и печатаются обе. Второй — проверка уже сделанной работы: если ввести два смешанных числа и сравнить третью строку с тем, что вы написали, видно, верна ли была сама арифметика до сокращения. Третий — вычитание через ноль: 1 1/2 минус 4 даёт -2 1/2, и правило знаков важнее всего именно в таких случаях. Четвёртый — деление, которое выходит целым: 2 1/2, делённое на 1 1/4, даёт 2, и дроби в ответе просто нет, а это стоит увидеть хотя бы раз. Пятый — любой рецепт или измерение, которое приходит в смешанной форме и его нужно удвоить, поделить пополам или отмасштабировать: удвоение 2 1/4 — это умножение на 2 0/1, и четвёртое поле такое принимает.

1. 2 1/4 + 1 1/2

   1. В неправильную дробь: 2 1/4 — это 2 × 4 + 1 = 9, то есть 9/4; а 1 1/2 — это 1 × 2 + 1 = 3, то есть 3/2
   2. Складываем крест-накрест: (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = (18 + 12) ÷ 8 = 30/8
   3. Сокращаем: 30/8 делится на 2, получается 15/4
   4. Обратно в смешанную форму: 15 ÷ 4 — это 3 и остаток 3, то есть 3 3/4

   Случай по умолчанию и тот, который объясняет, зачем печатать три показания, а не одно: 30/8, 15/4 и 3 3/4 — одно и то же число на трёх разных стадиях. Первый шаг — то преобразование, на котором держится вся страница: целая часть умножается на знаменатель и складывается с числителем, — а последний шаг его обращает, поэтому ответ возвращается в той форме, в которой был задан вопрос. Прочитать все четыре шага подряд — это и есть проверка: если сокращённая дробь и смешанное число расходятся, одно из них напечатано неверно.

2. 3 1/2 − 1 3/4

   1. В неправильную дробь: 3 1/2 — это 3 × 2 + 1 = 7, то есть 7/2; а 1 3/4 — это 1 × 4 + 3 = 7, то есть 7/4
   2. Вычитаем крест-накрест: (7 × 4 − 7 × 2) ÷ (2 × 4) = (28 − 14) ÷ 8 = 14/8
   3. Сокращаем: 14/8 делится на 2, получается 7/4
   4. Обратно в смешанную форму: 7 ÷ 4 — это 1 и остаток 3, то есть 1 3/4

   Вычитание, в котором целые части вычитаются через то же преобразование, а не отдельно: 3 минус 1 дало бы 2, а ответ — 1 3/4, потому что дроби забирают больше целого. Вычесть сначала целые части — та самая ошибка, которую эта форма и призвана ловить, и одного взгляда на строку сокращения достаточно: 7/4 меньше 2, значит, ответ не может быть «два с чем-то». Заметьте, что здесь числитель получается положительным; когда он выходит отрицательным, знак ставится перед всем смешанным числом.

3. 1 2/3 × 2 1/4

   1. В неправильную дробь: 1 2/3 — это 1 × 3 + 2 = 5, то есть 5/3; а 2 1/4 — это 2 × 4 + 1 = 9, то есть 9/4
   2. Умножаем напрямую: (5 × 9) ÷ (3 × 4) = 45/12
   3. Сокращаем: 45/12 делится на 3, получается 15/4
   4. Обратно в смешанную форму: 15 ÷ 4 — это 3 и остаток 3, то есть 3 3/4

   Умножение — единственное действие, где смешанные числа не нужно никак выравнивать: 45/12 и его сокращённая форма 15/4 — одно и то же число, и обе получаются умножением числителей и знаменателей напрямую. Заметьте, что тот же ответ, 3 3/4, вышел и в случае сложения по умолчанию: другой вопрос, тот же результат — совпадение этих двух примеров и напоминание читать поля, а не ответ. Заметьте ещё, что третья строка, 45/12, — самое большое число на странице: сырое произведение двух дробей всегда больше своей сокращённой формы.

4. 2 1/2 ÷ 1 1/4

   1. В неправильную дробь: 2 1/2 — это 5/2, а 1 1/4 — это 5/4
   2. Делим, переворачивая вторую: (5 × 4) ÷ (2 × 5) = 20/10
   3. Сокращаем: 20/10 — это 2
   4. Смешанная форма двойки — просто 2: дроби писать не осталось

   Деление, которое выходит целым, — тот случай, когда запись смешанным числом сдаётся: 2 печатается как 2, а не как 2 0/1, потому что нулевому числителю нечего писать над чертой. Сама арифметика — то же преобразование, что и везде, только вторая дробь перевёрнута: 20/10 сокращается до 2, а сырая строка нужна, чтобы увидеть 20 и 10 до того, как они сократятся. Это ещё и та форма, где смешанное число оказывается попросту неподходящим инструментом: ответ смешанным числом и не был.

5. -1 1/2 + 2 1/4

   1. В неправильную дробь: -1 1/2 — это −(1 × 2 + 1) = −3, то есть −3/2; а 2 1/4 — это 9/4
   2. Складываем крест-накрест: (−3 × 4 + 9 × 2) ÷ (2 × 4) = (−12 + 18) ÷ 8 = 6/8
   3. Сокращаем: 6/8 делится на 2, получается 3/4
   4. Результат меньше единицы, поэтому смешанная форма — это просто дробь

   Правило знаков в действии: минус принадлежит всему смешанному числу, поэтому -1 1/2 превращается в −3/2, а не в −1/2. Это видно на первом шаге, и умножение на знаменатель делает его наглядным: целая часть даёт −1 × 2, а не +1 × 2 с заблудившимся где-то минусом. Ответ лежит между нулём и единицей, поэтому смешанная форма сворачивается в обыкновенную дробь, и первые две строки совпадают полностью; несокращённое 6/8 остаётся только в третьей.

Числитель любого из двух смешанных чисел должен быть нулём или больше. Минус здесь был бы неоднозначен — 1 -1/2 может означать «одна целая минус одна вторая» или «одна целая плюс отрицательная одна вторая», а у -1 -1/2 прочтения нет вовсе, — поэтому страница отклоняет его и просит поставить знак на целую часть, где у него одно значение. Целая часть может быть отрицательной: именно так и записывается отрицательное смешанное число. Знаменатели должны быть положительными, поскольку знак живёт на числителе. Оба смешанных числа ограничены по величине: целые части и числители ограничены значением 100 000, а неправильный числитель, в который превращается смешанное число, ограничен так, чтобы два таких числа можно было перемножить, не выходя за диапазон точно представимых целых, — произведение двух чисел больше примерно девяноста четырёх миллионов оказалось бы незаметно неточным, поэтому страница отклоняет ввод, а не считает приблизительно. Деление на ноль отклоняется, причём ноль здесь означает, что всё второе смешанное число равно нулю, включая формы вроде 0 0/4, которые на первый взгляд нулём не выглядят. Результат показывается без фиксированного числа знаков после запятой, потому что десятичных дробей здесь нет вовсе: каждое показание на этой странице точно, и ради этого с дробями и стоит возиться. Чего страница не делает — она не решает, является ли смешанное число подходящей записью для вашего ответа: математик сказал бы, что обычно нет, и это возражение справедливо, хотя к арифметике оно не относится.

Как сложить смешанные числа?

Превратите оба в неправильные дроби, выполните действие и превратите обратно. 2 1/4 — это 2 × 4 + 1 = 9, то есть 9/4; 1 1/2 — это 3/2. Сложение даёт (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = 30/8, что сокращается до 15/4, а это 3 3/4. Страница проделывает все четыре шага и печатает последние три из них.

Почему ответ напечатан три раза?

Потому что это три разные вещи, которые могут понадобиться. Смешанное число — ответ в той форме, в которой был задан вопрос. Неправильная дробь — форма, через которую проходит решение и в которой дробью можно пользоваться дальше. Третья строка — результат до всякого сокращения; именно с ней сравнивают, когда проверяют собственное решение, сделанное от руки.

Можно ли ввести отрицательное смешанное число?

Да, поставив минус в поле целой части: -1 1/2 — это минус одна целая и одна вторая. Поле числителя минус не примет, и это намеренно: 1 -1/2 можно прочитать и как «одна целая минус одна вторая», и как «одна целая плюс отрицательная одна вторая», а -1 -1/2 ещё хуже. Один знак в одном месте, где у него ровно одно значение.

Использует ли страница общий знаменатель?

Нет, и не показывает его. Сложение и вычитание перемножают два знаменателя и считают числители крест-накрест, что даёт тот же ответ, что и поиск наименьшего общего знаменателя: 30/8 вместо 15/4 в случае по умолчанию — то же самое число. Общий знаменатель стоит лишней работы только тогда, когда панель его показывает, а это делает страница сложения дробей.

2 1/4 — правильная запись для двух с четвертью?

Это та запись, которую обычно используют в рецепте или в школе, и она неоднозначна. Математики читают два символа рядом как умножение, поэтому 2 1/4 означает «два умножить на одну четвёртую», то есть одну вторую. Собственная статья MathWorld на эту тему рассказывает, как её автор потерял баллы на экзамене по математическому анализу, записав именно так. Эта страница печатает такую запись, потому что именно о ней вы спросили, и держит 9/4 строкой ниже.

Что будет, если ответ — целое число?

Дробь исчезает. Деление 2 1/2 на 1 1/4 даёт 20/10, что сокращается до 2, и 2 печатается как 2, а не как 2 0/1: нулевому числителю нечего ставить над чертой. То же правило работает и в другую сторону: ответ меньше единицы печатается обыкновенной дробью, без нуля перед ней.

Почему страница не станет делить на 0 0/4?

Потому что 0 0/4 — это ноль. Делитель — это всё второе смешанное число, а смешанное число равно нулю, когда и целая часть, и дробь равны нулю; такая форма не выглядит нулём, пока её не преобразуешь. У нуля нет обратного числа, поэтому у деления нет ответа, и страница говорит об этом, а не печатает что попало.

• Mixed Fraction — the definition of a mixed fraction as an improper fraction written as a whole number beside a fraction, the ambiguity of that notation in algebra, and the author's own account of losing marks on a calculus exam for using it — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is the form both mixed numbers are converted into before the arithmetic runs — Wolfram MathWorld (United States)
• Proper Fraction — a fraction whose numerator is smaller than its denominator, which is what is left over beside the whole number when a result is written as a mixed number — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the step between the raw result on the third line and the two readings above it — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used to cancel the raw result down to lowest terms — Wolfram MathWorld (United States)