Калькулятор округления

1 234,5678 до ближайшего целого ⇒ 1 235 при правиле «половина от нуля», 1 234 при усечении; 2,5 ⇒ 3 или 2; 1 567 до 2 значащих цифр ⇒ 1 600

1234,5678

Значение, которое округляется, — любое число от −1 000 000 000 до 1 000 000 000, включая дробные. Из этого же числа построена таблица ниже, поэтому её семь строк — это семь разрядов значения, уже стоящего на экране

p0, pm2, s2

До чего округлять, выбирается из тринадцати вариантов одного списка. Варианты с p называют десятичный разряд: p3 — ближайшая тысяча, p0 — ближайшее целое, pm2 — ближайшая сотая. Варианты с s называют число значащих цифр, s1–s6, считая от первой ненулевой цифры

половина от нуля

Правило для случая ровно посередине: значение, стоящее точно между двумя кандидатами, уходит от нуля, поэтому 2,5 становится 3, а −2,5 становится −3. Это соглашение, принятое в школе. Оно же выглядит как ошибка, когда складывают длинный ряд значений, оканчивающихся на ,5: каждое из них подталкивается в одну и ту же сторону

усечение

Второй вывод и вторая половина вопроса о половине: то же значение на том же разряде, но лишние цифры отброшены, а не округлены, — и это всегда движет к нулю. 2,5 усекается до 2, а −2,5 до −2. Печать его рядом с округлённым значением и делает соглашение видимым, потому что на большинстве вводов эти два вывода совпадают

1567 → 1600

Значащие цифры в действии. Счёт начинается с первой ненулевой цифры, поэтому 1567 до двух значащих цифр сохраняет 1 и 5, а остальное округляет, давая 1600. Конечные нули остаются: ответ претендует на две значащие цифры, и только запись 1600 позволяет читателю это увидеть

1,005 → 1,01

Почему арифметика ведётся по десятичным цифрам, а не умножением и делением в плавающей запятой. 1,005 хранится как значение чуть меньше 1,005, поэтому обычный путь через двойную точность округляет его вниз до 1,00; работа с цифрами даёт ответ, которого человек и ждёт, — 1,01. Пример ниже закрепляет именно этот случай

Запись измерения — классический случай, и именно оттуда взялись значащие цифры: длину, прочитанную по линейке до ближайшего миллиметра, не стоит приводить с шестью знаками после запятой, потому что лишние цифры заявляют точность, которой у инструмента никогда не было. Значащие цифры — та самая запись, которая удерживает это заявление честным, и поэтому округление измерения — не то же самое, что округление числа в головоломке. Деньги — житейская версия десятичного разряда: цены округляют до ближайшей сотой, и правило для половин здесь настоящий вопрос политики, потому что решает, куда уйдёт доля цента, а на множестве операций правило, всегда подталкивающее в одну сторону, даёт заметный сдвиг. Статистика и отчётность округляют ради читаемости: проценты до одного знака после запятой, население до ближайшей тысячи, средние до той же точности, что и их ввод. У усечения свои применения, и именно поэтому оно здесь печатается, а не опускается: отбрасывание дробной части в сторону нуля — то, что многие языки программирования делают по умолчанию, и то, что появляется, когда значение хранится в формате с фиксированной точностью. Во всех этих случаях правило, которое стоит держать в голове, таково: округлить дважды — не то же самое, что округлить один раз, а округлённое число — это утверждение о точности, а не просто более короткая запись исходного. Арифметика над округлёнными значениями накапливает разницу, и поэтому задача о значащих цифрах в вычислении — отдельный инструмент, а не эта страница.

1. 1 234,5678 до ближайшего целого

   1. Соседние с 1 234,5678 значения — 1 234 и 1 235
   2. Решает первый знак после запятой, то есть 5
   3. Правило половины от нуля считает 5 поводом уйти от нуля, поэтому значение округляется до 1 235
   4. Идущие следом цифры 5678 на это не влияют: решает цифра в разряде округления, а всё после неё лишь разрешает ничью
   5. Усечение вместо этого отбрасывает дробную часть и даёт 1 234

   Вариант по умолчанию и образец, из которого построена таблица ниже. Всю работу делает 5 в первом знаке после запятой: следующие за ней 6, 7 и 8 не имеют значения, и значение 1 234,5001 округлилось бы точно так же. Здесь два вывода различаются, и это удобный случай — на большинстве вводов правило половины от нуля и усечение совпадают, и именно пара чисел говорит вам, было ли вообще задействовано правило для половин.

2. Случай ровно посередине: 2,5 до ближайшего целого

   1. 2,5 стоит ровно посередине между 2 и 3
   2. Правило половины от нуля уводит от нуля, поэтому округлённое значение равно 3
   3. Усечение движет к нулю, поэтому усечённое значение равно 2
   4. Ни то, ни другое не ошибка: это два соглашения для одного и того же ввода

   Самый маленький случай, показывающий расхождение, и тот, который стоит запомнить. Половина от нуля — не единственное применяемое соглашение: банковское округление отправило бы 2,5 к чётному соседу, то есть к 2, а это важно на длинных списках измерений, потому что округление половин всегда вверх вносит небольшое смещение вверх. Эта страница использует половину от нуля — школьное соглашение — и говорит об этом прямо, а не оставляет это выяснять.

3. Отрицательное значение ровно посередине: −2,5 до ближайшего целого

   1. −2,5 стоит ровно посередине между −3 и −2
   2. Правило половины от нуля уводит от нуля, а уход от нуля на отрицательной стороне означает дальше вниз, поэтому ответ −3
   3. Усечение движет к нулю и даёт −2
   4. Знак определяется расстоянием от нуля, а не направлением вдоль числовой прямой

   Случай, который отделяет половину от нуля от правила «всегда округлять вверх». Оба значения здесь движутся по одному и тому же правилу — от нуля, — но на числовой прямой они идут в противоположные стороны, потому что ноль стоит посередине. Любой код или правило, описанные как «округляет вверх» без уточнения, двусмысленны ровно поэтому, и отрицательные строки таблицы ниже показывают тот же эффект на других разрядах.

4. 1,005 до двух знаков после запятой

   1. Соседние значения — 1,00 и 1,01
   2. Решает третий знак после запятой, 5, а это ровно случай посередине
   3. Правило половины от нуля уводит от нуля, поэтому значение округляется до 1,01
   4. Усечение отбрасывает 5 и оставляет 1,00, причём конечный ноль сохраняется, чтобы точность была видна

   Пример, которым оправдана реализация. Очевидный путь — умножить на 100, округлить, разделить на 100 — даёт 1,00, потому что 1,005 нельзя сохранить точно и сохранённое значение чуть меньше 1,005. Человек же ждёт ответ 1,01, и именно его даёт работа с десятичными цифрами. То же происходит на множестве житейских значений, поэтому результат, отличающийся на единицу в последнем разряде, обычно объясняется этим, а не ошибкой в правиле.

5. 1 567 до двух значащих цифр

   1. Первая значащая цифра — 1, в разряде тысяч; вторая — 5
   2. Две значащие цифры означают, что эти две цифры сохраняются, а округление идёт по разряду сотен
   3. Следующая за ними цифра — 6, она поднимает 5, поэтому значение становится 1 600
   4. Конечные нули остаются: именно они фиксируют, что сохранили две значащие цифры
   5. Усечение на том же разряде даёт 1 500

   Тот же ответ, что и при округлении до ближайшей сотни, но полученный с другого конца. Заметьте, чего вывод сказать не может: 1 600, записанное как обычное число, неотличимо от 1 600, округлённого до целого, или от измерения, которое равнялось ровно 1 600. Сохранение нулей — это максимум, что такая запись может сделать, а проведение значащих цифр через вычисление, где их количество должно выжить при умножении и делении, — задача отдельная от округления одного значения.

Значение должно быть между −1 000 000 000 и 1 000 000 000, включая дробные, а разряд выбирается из тринадцати вариантов, а не вводится вручную, поэтому попросить разряд вне этого списка нельзя. Округление ведётся по десятичным цифрам записанного значения, а не масштабированием в плавающей запятой, поэтому результаты совпадают с тем, что говорят цифры: 1,005 до двух знаков после запятой здесь равно 1,01, тогда как обычный путь через умножение и деление дал бы 1,00. У того же решения есть заметное следствие: результаты всегда печатаются с точкой и никогда с разделителями разрядов, поэтому читатель, набравший в поле десятичную запятую, увидит в ответе точку. Это сделано намеренно и совпадает с другими страницами, которые печатают текстовый результат. Конечные нули сохраняются, потому что они фиксируют точность, на которую претендует ответ: 1 234,6 и 1 234,60 — это разные выводы с разных разрядов, и записываются они по-разному. Отрицательные значения округляются по расстоянию от нуля, поэтому отрицательное значение ровно посередине уходит вниз по числовой прямой, а не вверх. Таблица ниже зафиксирована на 1 234,5678 и не следует за вашим вводом; она показывает первые семь вариантов, применённых к этому одному числу, а шесть вариантов по значащим цифрам описаны в её примечании, а не вынесены в отдельные строки. Никакого округления накопленной суммы здесь нет, и ничего не накапливается: страница округляет одно значение за расчёт.

Что означает правило «половина от нуля»?

То, что значение, стоящее ровно посередине между двумя кандидатами, уходит от нуля: 2,5 становится 3, а −2,5 становится −3. Это соглашение, которое преподают в школе, и именно его использует данная страница. Оно не единственное в ходу: банковское округление отправляет половину к чётному соседу, а это избавляет от небольшого смещения вверх, которое даёт округление половин всегда вверх на длинных списках значений.

Чем отличаются десятичные разряды от значащих цифр?

Десятичные разряды считаются от запятой, а значащие цифры — от первой ненулевой цифры. Две значащие цифры дают из 1567 число 1600 — то же, что и округление до ближайшей сотни, тогда как два знака после запятой дают из 1567 число 1567,00. Значащие цифры — это запись, принятая для измерений, потому что их количество не меняется, когда ту же величину записывают в других единицах.

Почему 1,005 округляется до 1,01, а не до 1,00?

Потому что значение стоит ровно посередине, а страница округляет половины от нуля, работая по десятичным цифрам, а не масштабированием в плавающей запятой. Обычный путь — умножить на 100, округлить и разделить на 100 — даёт 1,00, так как 1,005 хранится как значение чуть меньше 1,005. Ответ по цифрам равен 1,01, а это и есть то, что говорит правило и что получил бы человек, записывающий число вручную.

Что такое усечение и зачем его показывать?

Усечение отбрасывает лишние цифры вместо того, чтобы их округлять, и это всегда движет значение к нулю: 2,5 становится 2, а −2,5 становится −2. Оно печатается рядом с округлённым значением на том же разряде, потому что эта пара — самый ясный способ увидеть, было ли задействовано правило для половин: на вводах вдали от середины два вывода совпадают, а там, где они расходятся, разницу создало именно соглашение.

Конечные нули что-то значат?

Да, и они сохраняются намеренно. 1 234,6 до одного знака после запятой и 1 234,57 до двух — это разные утверждения о том, насколько точно известно значение, и отбрасывание конечного нуля стёрло бы разницу. То же касается целого числа, округлённого по значащим цифрам: у 1600 нули остаются, потому что именно они фиксируют, что сохранили две значащие цифры.

Проводит ли эта страница значащие цифры через вычисление?

Нет. Она округляет по одному значению за раз и не ведёт точность через цепочку арифметики, где результат ограничен самым неточным вводом, а промежуточные значения приходится держать неокруглёнными до самого конца. Это отдельная задача от округления одного числа, потому что ей нужно, чтобы количество значащих цифр выжило при умножении и делении, а обычное округлённое значение этого выразить не может.

• Rounding — the definition, the halfway rules including round-half-up and round-half-to-even, and how the choice affects accumulated results — Wolfram MathWorld (United States)
• Significant digits — how the count starts at the first non-zero digit, and why trailing zeros record precision rather than value — Wolfram MathWorld (United States)
• Nearest integer function — the special case of rounding to the nearest whole number, and the tie-breaking conventions defined for it — Wolfram MathWorld (United States)