Калькулятор деления в столбик

1 234 ÷ 12 → 1/12 = 0 r 1; 12/12 = 1 r 0; 3/12 = 0 r 3; 34/12 = 2 r 10 ⇒ частное 102, остаток 10, и 12 × 102 + 10 = 1 234

1 234

Делимое, число, которое делят, — целое от 0 до 1 000 000 000. Нуль допускается и даёт частное и остаток 0. Отрицательные числа и десятичные дроби отклоняются: письменный алгоритм ниже предполагает цифры, а эта страница не задаёт правила знака

12

Делитель, число, на которое делят, — целое от 1 до 1 000 000 000. Нулём оно быть не может: ничто не делится на нуль частей, и ни одно частное не удовлетворило бы проверке. Оно может быть больше делимого — тогда частное равно 0, а остаток равен самому делимому

1, 2, 3, 4

Цифры делимого, взятые по одной слева. Каждый шаг присоединяет следующую из них к остатку предыдущего шага — это и значит снести цифру. Число шагов равно числу цифр в делимом, поэтому 1 234 требует четырёх шагов, а 1 000 000 000 — десяти

0, 1, 0, 2

Цифра частного, полученная на каждом шаге: сколько целых раз делитель укладывается в значение этого шага. Шаг, значение которого меньше делителя, даёт цифру 0, и такие нули — часть ответа: в 102 один стоит в середине, и отбросить его значило бы получить 12

1, 0, 3, 10

Остаток, оставшийся на каждом шаге, всегда неотрицательный. Последний из них — остаток всего деления, предыдущие промежуточны и исчезают, как только снесут следующую цифру. Ничто здесь никогда не бывает отрицательным, поэтому отрицательные делимые разбираются на странице о соглашениях для остатка

делимое = делитель × частное + остаток

Выход проверки и само определение всей операции, а не дополнительный результат: для 1 234 ÷ 12 он читается 12 × 102 + 10 = 1 234. Если эта строка верна, частное и остаток верны по определению; если неверна, ничему другому на странице доверять нельзя

Это и есть письменный метод, поэтому нужен он тем, кто ему учится. Строка шагов — та самая работа, которую иначе пришлось бы показывать на бумаге, и её стоит сличить со своей строкой за строкой, когда ответ не сходится: место расхождения и есть ошибка, а это полезнее, чем просто узнать правильное число. Строка проверки — вторая половина того же: делитель умножить на частное плюс остаток равно делимому, и читатель, у которого есть частное и остаток, может подтвердить их, вообще не повторяя деление. За пределами учёбы то же разложение описывает любое деление, когда целые числа не разделить нацело: 1 234 предмета группами по 12 дают 102 полные группы и 10 в остатке, и остаток — это то, что раздать не удалось. Остаток 0 означает, что деление вышло нацело. Тот же алгоритм объясняет, откуда берутся десятичные разложения: если продолжить работу за запятую, приписывая нули, получатся десятичные знаки частного, а когда остаток повторяется, повторяется и знак — 1 ÷ 7 проходит один и тот же цикл из шести остатков бесконечно, поэтому у 1/7 повторяющийся блок из шести цифр. В языках программирования есть два обычных способа обойтись с отрицательным делимым — усечение и округление вниз, — и они расходятся; неотрицательный остаток, который печатает эта страница, соответствует второму, а страница об остатке показывает оба рядом.

1. 1 234 ÷ 12, значение по умолчанию

   1. Сносим 1: 1 ÷ 12 укладывается 0 раз, поэтому первая цифра частного — 0, а в остатке 1
   2. Сносим 2: получаем 12, и 12 ÷ 12 укладывается 1 раз, ничего не остаётся
   3. Сносим 3: получаем 3, и 3 ÷ 12 укладывается 0 раз, в остатке 3
   4. Сносим 4: получаем 34, и 34 ÷ 12 укладывается 2 раза, в остатке 10
   5. Цифры частного по порядку: 0, 1, 0, 2 — без ведущего нуля это 102
   6. Последний остаток равен 10, и проверка это подтверждает: 12 × 102 + 10 = 1 234

   Значение по умолчанию и пример, который показывает, почему нули в частном важны. Третий шаг даёт 0, потому что 3 меньше 12, и эта цифра не украшение: ответ 102, а не 12. Ведущий нуль первого шага отбрасывается, ведь 102 и 0102 — одно и то же число, записанное по-разному. Строку проверки стоит прочитать как предложение: делитель, умноженный на ответ, плюс то, что осталось, возвращает исходное число.

2. 5 432 ÷ 17, пример из справочной таблицы

   1. Сносим 5: 5 ÷ 17 укладывается 0 раз, в остатке 5
   2. Сносим 4: получаем 54, и 54 ÷ 17 укладывается 3 раза (3 × 17 = 51), в остатке 3
   3. Сносим 3: получаем 33, и 33 ÷ 17 укладывается 1 раз (17), в остатке 16
   4. Сносим 2: получаем 162, и 162 ÷ 17 укладывается 9 раз (9 × 17 = 153), в остатке 9
   5. Цифры частного: 0, 3, 1, 9, то есть 319, а остаток равен 9

   Четыре строки, которые таблица ниже разворачивает по столбцам, и причина, по которой стоит прочитать и то и другое: каждый шаг умножает делитель обратно, чтобы найти наибольшее произведение, которое ещё укладывается, — 3 × 17 = 51 против 54, затем 1 × 17 = 17 против 33, затем 9 × 17 = 153 против 162, — а остаток это разность. Здесь разности равны 3, 16 и 9, все меньше делителя 17; в этом и состоит инвариант, благодаря которому каждая цифра частного — наибольшая из возможных.

3. Повторяющийся остаток: 1 000 000 000 ÷ 7

   1. Сносим 1: 1 ÷ 7 укладывается 0 раз, в остатке 1
   2. Сносим по очереди каждый нуль, получая 10, 30, 20, 60, 40, 50, а затем снова 10
   3. Цифры частного: 1, 4, 2, 8, 5, 7, а дальше 1, 4, 2, 8 повторяются
   4. После седьмого шага остаток возвращается к 1, и весь цикл начинается заново
   5. Частное равно 142 857 142, а последний остаток равен 6

   Остатки здесь идут 1, 3, 2, 6, 4, 5, а затем снова 1 — это цикл 1/7, поэтому цифры частного повторяются как 142857. Такое повторение не особенность именно этого делимого: как только остаток повторился, всё после него повторяется тоже, потому что следующий шаг зависит только от снесённого значения. Это же объясняет, почему дробь в десятичной записи либо обрывается, либо повторяется, и почему у 1/7 повторяющийся блок из шести цифр.

4. Когда делитель больше делимого: 7 ÷ 999 999 999

   1. Снести нужно одну цифру — 7
   2. 7 ÷ 999 999 999 укладывается 0 раз, потому что 999 999 999 намного больше 7
   3. Цифра частного равна 0, и всё делимое остаётся в остатке
   4. Частное равно 0, а остаток равен 7

   Частное 0 — это настоящий ответ, а не сбой. Когда делитель не укладывается ни разу, ничего не вычитается, поэтому остаток равен всему делимому, и проверка читается 999 999 999 × 0 + 7 = 7. Список шагов состоит из одной строки, потому что в делимом одна цифра: число шагов всегда равно числу цифр, которые делят, и никогда — величине делителя.

Оба числа должны быть целыми. Делимое принимается от 0 до 1 000 000 000 включительно, делитель — от 1 до 1 000 000 000 включительно. Делитель 0 отклоняется: нет числа, которое, умноженное на 0, дало бы ненулевое делимое, поэтому никакие частное и остаток не удовлетворили бы проверке. Отрицательные числа отклоняются, а не обрабатываются по правилу знака: письменный алгоритм, показанный здесь, работает с цифрами, а два соглашения для деления отрицательных чисел расходятся — эта страница печатает неотрицательный остаток, и случай, где это важно, разбирается на странице об остатке, которая показывает оба соглашения рядом. Десятичные дроби отклоняются: алгоритм можно продолжить за запятую, приписывая нули, но это другая процедура, и эта страница её не выполняет, хотя именно из повторяющихся остатков выше и берутся такие десятичные знаки. Нуль в качестве делимого принимается и даёт частное 0 с остатком 0. Список шагов содержит по строке на каждую цифру делимого, поэтому десятизначное делимое даёт десять строк, и панель длинная намеренно: это и есть работа, а не её краткое изложение. Справочная таблица ниже зафиксирована на 5 432 ÷ 17 и за вашим вводом не следует; на ваши числа отвечает панель выше, а таблица нужна, чтобы показать, что означает каждый столбец шага. Все значения точны, ничего не округляется.

Как делить в столбик по шагам?

Работайте слева направо по цифрам делимого. Разделите накопленное значение на делитель, запишите, сколько целых раз он уложился, как следующую цифру ответа и сохраните остаток. Затем снесите следующую цифру — припишите её к остатку — и повторяйте, пока цифры не кончатся. Для 1 234 ÷ 12 это даёт цифры 0, 1, 0, 2 и последний остаток 10, то есть ответ 102 и остаток 10.

Чем частное отличается от остатка?

Частное — это сколько целых раз делитель укладывается в делимое, а остаток — то, что осталось, когда он больше не укладывается. Их связывает определение: делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Для 1 234 ÷ 12 частное равно 102, остаток равен 10, и 12 × 102 + 10 возвращает 1 234. Остаток всегда меньше делителя — именно поэтому частное оказывается наибольшим целым числом, которое подходит.

Почему здесь остаток никогда не отрицательный?

Потому что здесь принято соглашение, при котором остаток неотрицателен: вычитается наибольшее кратное делителя, не превосходящее делимое, и остаётся значение от 0 до делителя. Языки программирования часто вместо этого усекают, и тогда остаток может выйти отрицательным: при делении −1 на 2 усечение даёт остаток −1, а это соглашение — 1. Страница об остатке показывает оба рядом. Отрицательные делимые здесь отклоняются, а не обрабатываются одним молчаливым выбором.

Может ли в ответе быть нуль?

Да, и нуль — часть ответа. Цифра 0 появляется всегда, когда значение на этом шаге меньше делителя, поэтому 1 234 ÷ 12 даёт цифры 0, 1, 0, 2 — средний нуль отбросить нельзя, ведь 102 и 12 — разные числа. Опускается только ведущий нуль, потому что 0102 и 102 — одно и то же число.

Что происходит, когда делимое меньше делителя?

Частное равно 0, а остаток равен всему делимому. 7 ÷ 999 999 999 укладывается 0 раз, поэтому ничего не вычитается и все 7 остаются; проверка читается 999 999 999 × 0 + 7 = 7. Список шагов состоит из одной строки, потому что число шагов всегда равно числу цифр в делимом, а не зависит от делителя.

Почему остатки начинают повторяться?

Потому что каждый шаг зависит только от того значения, которое в него внесли, поэтому как только остаток вернулся, вся последовательность после него повторяется. При делении 1 000 000 000 на 7 получаются остатки 1, 3, 2, 6, 4, 5, а затем снова 1, поэтому цифры частного повторяются как 142857. Отсюда и берутся повторяющиеся десятичные дроби: если продолжить ту же работу за запятой, приписывая нули, этот цикл превратится в повторяющийся блок 1/7.

• Long division — the written algorithm, including the notation and the digit-by-digit procedure this page prints one line at a time — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the dividend, divisor, quotient and remainder, and the identity that relates them — Wolfram MathWorld (United States)
• Quotient — what a quotient is, and the distinction between the exact quotient and the whole-number part that long division produces — Wolfram MathWorld (United States)