Конвертер из десятичной в двоичную

17 ÷ 2 = 8, остаток 1 → 8 ÷ 2 = 4, остаток 0 → 4 ÷ 2 = 2, остаток 0 → 2 ÷ 2 = 1, остаток 0 → 1 ÷ 2 = 0, остаток 1 ⇒ 17 = 10001 = 16 + 1

17

Целое число, которое предстоит перевести, записанное по основанию десять. Оно обязано быть целым: десятичная точка или разделитель тысяч отклоняются, а не отбрасываются округлением, потому что это семейство страниц работает с целыми числами насквозь

÷ 2

Шаг, который повторяется. Двойка — то основание, в которое идёт перевод, поэтому каждый раунд спрашивает, сколько двоек помещается, а оставшаяся часть и есть ровно та цифра, которая принадлежит этой позиции

частное

Та часть, которая переходит в следующий раунд. Процесс останавливается, когда частное доходит до нуля, и это признак того, что более высокое разрядное значение уже не нужно

остаток

Цифра, которую выдал этот раунд. Деление на два может оставить после себя только 0 или 1, и потому ответ получается набором двоичных цифр, а не каким-нибудь другим набором символов

⇒ 10001

Цифры, собранные снизу вверх. Первый найденный остаток — самая правая цифра, а последний найденный — самая левая; это единственный шаг метода, который легко перепутать

16 + 1

Ответ, прочитанный обратно как двоичные разрядные значения: в числе 10001 единицы стоят только в разрядах шестнадцати и единицы, и их сумма снова даёт 17. Это та проверка, которую печатает страница, и работает она потому, что сумма разрядных значений двоичного числа и есть само число

53 бита

Какой длины может быть ответ: 53 двоичные цифры, то есть до 9 007 199 254 740 991 в десятичной записи, а это 16 цифр. За этой шириной машина не удержит соседние целые числа врозь, поэтому более крупный ввод отклоняется, а не переводится во что-то, что только выглядит правильным

Запись числа по основанию два нужна всюду, где машинную запись приходится получать вручную. Упаковать несколько небольших значений в одно целое — значит выяснить, какие биты занимает каждое значение, а начинается это с двоичной записи: канал цвета, набор флагов прав доступа, битовое поле в конфигурационном регистре. Всякий, кто читает документацию на микросхему, встречает ту же задачу с другой стороны: диапазоны и маски напечатаны там в 16-ричной или двоичной записи, а число, из которого они получились, — десятичное. В учебных заданиях направление обычно и спрашивают напрямую — переведите десятичное число в двоичное и покажите ход решения, — и напечатанная лестница делений и есть этот ход, строка на каждое деление. Тот же перевод отвечает на вопросы, которые переводом не выглядят: сколько битов нужно значению такого размера, какая степень двойки идёт сразу над ним и почему восьмибитное поле простирается от 0 до 255, а не до 256. Программисты, считающие это в уме, обычно берут не лестницу, а степени двойки: вычитают наибольшую подходящую степень и повторяют, и вывод этой страницы поддерживает и такой способ — каждое удачное вычитание оставляет единицу в этой позиции, а напечатанная рядом с ответом сумма разрядных значений есть эти единицы, сложенные обратно.

1. Записываем 17 в двоичной системе

   1. 17 ÷ 2 = 8, остаток 1 — записываем эту единицу
   2. 8 ÷ 2 = 4, остаток 0
   3. 4 ÷ 2 = 2, остаток 0
   4. 2 ÷ 2 = 1, остаток 0
   5. 1 ÷ 2 = 0, остаток 1 — частное дошло до нуля, значит останавливаемся
   6. Читаем остатки снизу вверх: 1, 0, 0, 0, 1, то есть 10001

   Значение по умолчанию и пример, в котором виден разворот: первый найденный остаток оказывается последней цифрой ответа. Если читать остатки в том порядке, в каком они получились, выйдет 10001 задом наперёд — здесь он читается одинаково только по случайности, поэтому правило стоит проверять на следующем примере. Проверка: 16 + 1 = 17.

2. Записываем целый байт, 255

   1. 255 ÷ 2 = 127, остаток 1
   2. 127 ÷ 2 = 63, остаток 1 — и каждый следующий раунд тоже оставляет 1
   3. 63 → 31 → 15 → 7 → 3 → 1, каждый раз с остатком 1
   4. 1 ÷ 2 = 0, остаток 1 — всего восемь раундов
   5. Восемь остатков, равных 1, читаем снизу вверх: 11111111

   255 — наибольшее значение, которое вмещает восьмибитное поле, и вот почему: восемь двоичных цифр дают 2⁸ сочетаний, а наибольшее из них — 11111111. Другая сторона того же факта: 256 — это 100000000, то есть девять цифр, и именно это число в байт не помещается. Сумма разрядных значений здесь — вся линейка целиком, и её стоит один раз увидеть полностью.

3. Степень двойки, 16

   1. 16 ÷ 2 = 8, остаток 0
   2. 8 ÷ 2 = 4, остаток 0
   3. 4 ÷ 2 = 2, остаток 0
   4. 2 ÷ 2 = 1, остаток 0
   5. 1 ÷ 2 = 0, остаток 1
   6. Читаем снизу вверх: единица и четыре нуля, то есть 10000

   Степень двойки даёт ровно один остаток, равный единице, и на этом останавливается, поэтому сумма разрядных значений схлопывается в одно слагаемое. Это та форма, которую стоит узнавать: любое число, являющееся степенью двойки, записывается в двоичной системе как единица с нулями, и поэтому степени двойки — естественная единица для ширины полей, размеров страниц и ёмкостей буферов.

4. Ведущие нули значения не меняют

   1. Ведущие нули во вводе стоят впереди десятичного числа и не прибавляют ничего
   2. Перевод выполняется по числу 17, точно так же, как в первом примере
   3. Оба вывода получаются слово в слово такими же, как там

   Ведущие нули принимаются со стороны ввода, потому что десятичное число часто вставляют оттуда, где его дополнили, и они ничего не меняют: ноль сотен всё равно ноль сотен. То же верно и в обратную сторону, где значение дополняют до фиксированной ширины намеренно: 00010001 в восьмибитном поле — то же число, что 10001, и страница принимает любую из этих записей.

Эта страница переводит только целые числа. Десятичная точка отклоняется, а не округляется, поэтому 17,5 перевести нельзя: дробное чтение потребовало бы второго правила о том, сколько цифр показывать и как округлять последнюю, и все страницы этой группы проводят эту границу в одном и том же месте. Разделители тысяч тоже отклоняются, поэтому пишите 1500, а не 1 500: запятая в одних языках читается как десятичная точка, и угадывать между двумя чтениями хуже, чем переспросить. Ввод — не больше 9 007 199 254 740 991, то есть 53 двоичные цифры; более крупное значение машина не удержит точно, и оно отклоняется с сообщением, а не переводится во что-то, что выглядит ответом. Ведущие нули и знак минус перед числом принимаются оба. Страница печатает лестницу делений для 17 в таблице ниже, и она постоянна, а не следует за набранным числом: панель отвечает про ваше число, таблица показывает метод. Обратное направление, чтение двоичного числа обратно в десятичное, — отдельная страница, а арифметики над результатом эта страница не делает.

Как перевести десятичное число в двоичное вручную?

Делите на два, записывайте остаток, затем делите частное на два и повторяйте, пока частное не станет нулём. Для 17 это даёт остатки 1, 0, 0, 0, 1, — а поскольку каждый раунд выдаёт очередную цифру справа, читать их надо снизу вверх, чтобы получить 10001. Другой способ, который многим кажется быстрее, — вычитать наибольшую подходящую степень двойки, ставить единицу в эту позицию и повторять с остатком; цифры получаются те же, и напечатанная на этой странице сумма разрядных значений — это то, что оставляет после себя именно второй способ.

Почему остатки читаются снизу вверх?

Потому что первое деление отвечает на вопрос о самом младшем разряде, а не о самом старшем. Деление 17 на два спрашивает, сколько в нём двоек и что осталось, — и оставшееся и есть цифра единиц, потому что это та часть, из которой двойку составить не удалось. Следующий раунд задаёт тот же вопрос про двойки, и его остаток — цифра двоек. Раунды, таким образом, идут от самой правой цифры к самой левой, и чтение их в порядке записи даёт ответ перевёрнутым.

Можно ли перевести десятичное число с дробной частью?

Здесь — нет. Эта страница принимает целые числа, поэтому 17,5 отклоняется, а не округляется. Дроби в двоичной записи вполне определены — позиции справа от точки стоят половину, четверть, восьмую, — но странице, которая их принимала бы, пришлось бы решать, сколько из них оставлять и как округлять последнюю, а все страницы этой группы переводят целые числа. Так граница остаётся на одном месте по всей группе, и значение никогда не принимается одной страницей и не отклоняется другой.

Какое самое большое десятичное число здесь можно перевести?

9 007 199 254 740 991, чья двоичная запись состоит из 53 единиц, а десятичная — из 16 цифр. Предел этот выбран не страницей: на такой ширине машина перестаёт различать соседние целые числа, поэтому более длинный ответ нельзя было бы доверить, и он отклоняется с сообщением, а не переводится. Тот же потолок встречается на странице чтения как ограничение в 53 цифры, а в 16-ричной записи — как 14 цифр, потому что это один предел, записанный в трёх основаниях.

Почему страница печатает ещё и сумму разрядных значений?

Чтобы ответ можно было проверить, а не принять на веру. Двоичное число — это то, что вы просили, но отличить правильное 10001 от неправильного по его виду невозможно. Сложение разрядных значений, которые в нём есть, — здесь это 16 и 1, — возвращает число, с которого вы начали, то есть перевод, выполненный в обратную сторону. Если сумма не возвращается к вашему числу, двоичная строка неверна, и вы знаете это без второго инструмента.

Есть ли способ быстрее, чем последовательное деление?

Для чисел, которые встречаются часто, да: выучите степени двойки примерно до 1024 и вычитайте наибольшую подходящую. На 17 уходит 16, остаётся 1, и ответ 10001 получается прежде, чем вы записали хоть одно деление. Лестница лучше, когда число непривычное, потому что она не требует арифметики, в которой можно ошибиться: деление на два, повторённое много раз, механично. Оба способа приводят к одним и тем же цифрам, и ни один из них не правильнее другого.

• Binary number — positional notation, place values, and the conversion between base two and base ten — Wolfram MathWorld (United States)
• Number base — why a numeral's value depends on its position and on the base, and how one quantity is written in several bases — Wolfram MathWorld (United States)
• Powers of two — the sequence 1, 2, 4, 8, 16 … that the halving method produces from the bottom up, catalogued as OEIS A000079 — OEIS Foundation Inc. (United States)