Калькулятор значащих цифр

123 → 3 значащие цифры; 1002 → 4; 0.005 → 1; 0.004560 → 4; 1200 → 2, но 1200. → 4; округлить 0.004560 до 2 цифр = 0.0046 = 4.6 × 10⁻³; округлить 9.99 до 2 цифр = 10 = 1.0 × 10¹

0.004560

Число, которое считают, — обычной десятичной записью или в записи с буквой e. Это может быть измерение любой величины, положительное или отрицательное; знак не участвует ни в счёте, ни в округлении, поэтому читаются одни только цифры

0.005 → 1

Почему ведущие нули не считаются. Три нуля перед пятёркой не делают ничего, кроме как удерживают десятичную запятую там, где ей место; единственная цифра, несущая сведения, — это 5, поэтому отсчёт, записанный как 0.005, имеет одну значащую цифру, и перезапись его в виде 5 × 10⁻³ ничего в этом не меняет

1002 → 4

Почему нули в середине считаются. Два нуля в числе 1002 стоят между 1 и 2 и держат открытыми разряды сотен и десятков, а это сведения: без них число было бы 12 или 102. Поэтому значащей является каждая цифра числа 1002

1200 → 2, 1200. → 4

Правило, которое зависит от написания, а не от значения. В целом числе, записанном без десятичной запятой, замыкающие нули могут быть не чем иным, как заполнителями разрядов, поэтому они не считаются: у 1200 две значащие цифры. Добавленная запятая говорит, что их написали намеренно, и у 1200. их четыре

0.004560 → 4

Почему замыкающие нули после десятичной запятой считаются. Нуль в конце числа 0.004560 стоит после десятичной запятой, значит, он написан намеренно и говорит, что измерение дошло до разряда миллионных. Это четвёртая значащая цифра, и поэтому 0.004560 и 0.00456 — не одно и то же утверждение, хотя значение у них одно

0.004560 → 0.0046 = 4.6 × 10⁻³

Округление до выбранного числа цифр. Округление вверх по половине означает, что следующая за ней 5 округляется от нуля, а отсутствие дополнения означает, что запрос большего числа цифр, чем у числа есть, возвращается без изменений. Научная форма показывает и уцелевшие цифры, и величину, которая не меняется

Значащие цифры — это то, как измеренное число заявляет собственную точность, и почти всё их применение состоит в записи результатов. Весы, читающие до четырёх десятичных знаков, линейка с миллиметровыми делениями и секундомер, различающий сотые, дают числа, последняя цифра которых — последняя, которую прибор действительно мог видеть; запись 0.004560 вместо 0.00456 и сохраняет это, а счёт значащих цифр есть сокращение для такой записи. Когда измеренные величины комбинируют, ответ не может быть точнее самого слабого ввода, поэтому обычная практика в физике, химии и инженерии состоит в том, чтобы определить, сколько значащих цифр заслуживает результат, и затем округлить его до этого числа. Рабочее правило таково: произведение или частное сохраняет столько значащих цифр, сколько их у наименее точного множителя, а сумма или разность сохраняет столько десятичных знаков, сколько их у наименее точного слагаемого, — поэтому округление до значащих цифр и округление до десятичных знаков суть две разные операции, и эта страница предлагает только первую. В химии и физике счёт служит ещё и привычкой проверки: ответ, в котором значащих цифр больше, чем во вводах, — признак того, что что-то не измерили, а вычислили, и это самый быстрый способ заметить результат, переписанный с дисплея не подумав. В школе это проверяемый навык сам по себе, поскольку счёт цифр в 1200 против 1200. — стандартный вопрос, и ответ в нём зависит от письменной формы, а не от значения. Округление до числа десятичных знаков — дело калькулятора округления, а запись величины в виде коэффициента и степени десяти, вообще без суждения о точности, — страница стандартного вида.

1. Считаем цифры в 0.004560

   1. Ведущие нули, 0.00, только указывают место десятичной запятой и не считаются
   2. Цифры 4, 5 и 6 считаются все, и нуль после них тоже, потому что он стоит после десятичной запятой и написан намеренно
   3. Всего получается четыре значащие цифры
   4. Округление до четырёх цифр запрашивает ровно те цифры, которые у числа уже есть, поэтому значение возвращается без изменений
   5. В научной нотации коэффициент показывает те же четыре цифры, а величину несёт показатель степени: 4.560 × 10⁻³

   Случай по умолчанию и заодно случай, показывающий разницу между значением числа и утверждением, которое оно делает. 0.00456 и 0.004560 равны как значения и различны как измерения, и замыкающий нуль составляет всю разницу. Научная форма ответа — то же утверждение, записанное там, где нули нельзя принять за оформление: коэффициент 4.560 имеет четыре цифры и говорит об этом.

2. Округляем 0.004560 до одной цифры

   1. У числа четыре значащие цифры, а запрашивается одна
   2. Сохраните первую цифру — это 4 в разряде тысячных — и посмотрите на следующую за ней
   3. Эта цифра равна 6, поэтому 4 округляется вверх до 5
   4. Всё справа отбрасывается, а ведущие нули остаются на своих местах: 0.005
   5. В научной нотации это 5 × 10⁻³, с коэффициентом из одной цифры

   Округление до одной цифры — самый грубый случай и тот, в котором легче всего потерять величину, поскольку ответ 0.005 больше не показывает сохранённую цифру иначе как одиночной пятёркой. Научная форма делает обмен явным: одна цифра ответа уцелела, а показатель степени фиксирует величину, к которой она относится.

3. Перенос, меняющий показатель степени: 9.99 до двух цифр

   1. У числа три значащие цифры, и все они ненулевые
   2. Сохраните первые две, получив 9.9, и посмотрите на следующую цифру
   3. Эта цифра равна 9, поэтому 9.9 округляется вверх — и перенос идёт насквозь, превращая 9.9 в 10
   4. Округлённое значение стало на порядок больше, поэтому поднимается показатель степени, а не количество цифр
   5. В научной нотации это 1.0 × 10¹, где видно две цифры там, где обычное 10 можно прочитать как одну

   Ради чего здесь нужна строка в научной нотации. Перенос, выходящий за конец числа, меняет его величину, и обычная форма не может сказать, что произошло: 10 может быть числом десять, а может быть результатом с двумя цифрами — 1 и 0. Научная форма это разрешает: коэффициент 1.0 имеет две цифры, а показатель степени 1 фиксирует величину. То же самое происходит на шаг выше с числом 999, округлённым до двух цифр, — это 1000.

4. Запрашиваем больше цифр, чем у числа есть: 123 до пяти

   1. У числа три значащие цифры, и ни одну из них убрать нельзя
   2. Запрашивается пять цифр, а это больше, чем число несёт
   3. Округление никогда не дополняет нулями, поэтому значение возвращается точно таким, каким пришло
   4. Строка счёта по-прежнему сообщает три, потому что число не приобрело две цифры оттого, что их запросили

   Случай, в котором калькулятор отказывается помогать. Дополнение 123 до 123.00 превратило бы три измеренные цифры в пять, и два лишних нуля были бы прочитаны как точность всяким, кто принял бы результат за чистую монету, — а это ровно та ошибка, ради предотвращения которой весь этот предмет и существует. Строка с научной формой показывает, почему запрос не может быть исполнен: в 1.23 × 10² три цифры, и взять ещё две неоткуда.

Счёт следует школьным правилам, и одно из них зависит от того, как число записано. У 1200 две значащие цифры, у 1200. — четыре; третьего ответа нет, потому что в распоряжении калькулятора только письменная форма и он не знает, были ли нули измерены. Поэтому целое число, у которого замыкающие нули значащие, но десятичная запятая опущена, будет недосчитано — пишите 1200., если нули имеются в виду. Округление идёт вверх по половине и от нуля, поэтому следующая 5 всегда округляется вверх; банковское округление половины к чётному здесь недоступно. Округление никогда не дополняет нулями, поэтому запрос большего числа цифр, чем у числа есть, возвращает число без изменений, а строка счёта сообщает те цифры, которые число действительно несёт. Ведущие нули не сохраняются ни при каком вводе, поэтому 007 читается как 7. Обычная округлённая запись не может показать значащие замыкающие нули, и именно поэтому вторая строка даёт то же значение в научной нотации; для 1002.0, округлённого до двух цифр, обычная строка читается как 1000, и только научная строка, 1.0 × 10³, обнаруживает, что цифр две. Ввод ограничен пятнадцатью значащими цифрами и показателями в пределах ±99, а число цифр должно быть целым от 1 до 15. Готовые записи вида 4.5 × 10⁴ и разделители разрядов отвергаются, как и везде на этом сайте. У нуля одна значащая цифра. И наконец, эта страница округляет только до значащих цифр. Округление до числа десятичных знаков — дело калькулятора округления, и эти два ответа в общем случае не совпадают: 0.004560 до двух десятичных знаков — это 0.00, а до двух значащих цифр — 0.0046.

Как считать значащие цифры?

Считается каждая ненулевая цифра, а также нуль между двумя ненулевыми цифрами, как в 1002, где их четыре. Ведущие нули не считаются никогда, потому что они только указывают место десятичной запятой, поэтому у 0.005 одна. Нуль после десятичной запятой считается, поэтому у 0.004560 их четыре. А нуль в конце целого числа, записанного без десятичной запятой, не считается, поэтому у 1200 две, а у 1200. четыре.

Почему у 1200 только две значащие цифры?

Потому что замыкающие нули целого числа, записанного без десятичной запятой, могут быть не чем иным, как заполнителями разрядов: они могут говорить, что число измеряется тысячами, а не что кто-то измерял до единиц. Письменная форма не различает эти два случая, поэтому принимается осторожное прочтение и считаются только 1 и 2. Пишите 1200., если нули должны быть значащими.

Чем значащие цифры отличаются от десятичных знаков?

Десятичные знаки считают от десятичной запятой наружу, а значащие цифры — от первой ненулевой цифры. Для чисел вблизи единицы эти два счёта примерно совпадают, а для чисел, далёких от единицы, нет: 0.004560, округлённое до двух десятичных знаков, — это 0.00, а округлённое до двух значащих цифр — 0.0046. Округление до десятичных знаков — работа калькулятора округления; эта страница считает и округляет значащие цифры.

Почему запрос большего числа цифр, чем у числа есть, не добавляет нулей?

Потому что их добавление выдумало бы точность. У 123 три значащие цифры; печать его как 123.00 показала бы пять, и читатель принял бы два последних нуля за измеренные, тогда как их никто не измерял. Калькулятор возвращает число без изменений, а строка счёта по-прежнему сообщает три — это его способ сказать, что запрос исполнен быть не может.

Почему округлённое значение даётся ещё и в научной нотации?

Потому что обычная запись не может показать значащие замыкающие нули. Округлите 1002.0 до двух цифр, и ответ будет 1000, где нули, держащие величину открытой, выглядят точно так же, как нули, которые были измерены. Научная строка записывает это как 1.0 × 10³, где коэффициент держит две цифры, а показатель степени держит величину, и неоднозначность исчезает.

Сколько значащих цифр у нуля?

Одна. Нуль — это записанная цифра, и, в отличие от ведущих нулей в 0.005, он составляет всё, что известно о величине, а не служит указателем места десятичной запятой. Округление его до любого числа цифр оставляет его нулём, поскольку за первой цифрой нет ничего, что можно было бы сохранить или отбросить.

• Significant digits — the definition, the rules for counting them and the conventions for rounding a result to a given number of them — Wolfram MathWorld (United States)
• NIST Special Publication 811 — Guide for the Use of the International System of Units (SI): the section on rounding and on significant digits when values are converted or reported — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• NIST Technical Note 1297 — Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results: the conventions for stating how many digits of a measured value are meaningful — National Institute of Standards and Technology (NIST)