Калькулятор научной нотации

(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ; (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ; сложение и вычитание сначала выравнивают: 1.5 × 10³ + 2.5 × 10² = 1500 + 250 = 1.75 × 10³; 3.2e5 × 4e-3 = 1.28 × 10³ = 1.28e3 = 1280

3.2e5 и 4e-3

Два числа, которые комбинируют, каждое записано либо в записи с буквой e (3.2e5), либо обычной десятичной дробью (320000), и каждое несёт до пятнадцати значащих цифр. Это ввод, который читает страница; ответ — новое число, вычисленное из них

× ÷ + -

Действие, выбранное из четырёх вариантов. Умножение стоит первым, потому что именно для него научная нотация и нужна: показатели степени складываются, поэтому величина ответа определяется ещё до того, как перемножили хоть один коэффициент

10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ

Правило показателей степени, на котором держатся умножение и деление. При произведении показатели складываются, при частном вычитаются, и поэтому 10⁵ × 10⁻³ даёт 10² без всякого подсчёта нулей

1.5 × 10³ + 2.5 × 10²

Почему сложение и вычитание устроены иначе. Показатели здесь не совпадают, поэтому оба числа приходится записать при общем показателе, прежде чем складывать, — 1500 + 250, — и результат равен 1.75 × 10³. Пропуск этого шага и есть обычная ошибка

0.1 + 0.2 = 3 × 10⁻¹

Почему ответ печатается с пятнадцатью значащими цифрами. Числа 0.1 и 0.2 не могут быть оба представлены в двойной точности точно, и их сумма равна 0.30000000000000004; округление до пятнадцати цифр и отбрасывание оставшихся замыкающих нулей печатает 3 × 10⁻¹ и 0.3. Пятнадцать — это ширина вывода, а не утверждение о точности

1.28 × 10³, 1.28e3, 1280

Три формы одного ответа. Первая — то, что печатает учебник, вторая — то, что примет программа или таблица, если вставить её обратно во ввод, третья — число, выписанное целиком. Это никогда не три разных ответа

Научная нотация уместна всюду, где числа далеки от единицы. В физике это обычная запись для всего, что измеряется в атомах, метрах или световых годах, — масса электрона, расстояние до звезды, длина волны цвета, — и причина на любом масштабе одна: величину несёт показатель степени, поэтому сравнение двух величин превращается в сравнение двух показателей. В химии эта запись соединяется со счётом: 6.022 × 10²³ — это количество частиц, и умножение его на измеренное количество есть арифметика в этой же форме. Инженерия опирается на неё для допусков на обоих концах чертежа, а вычислительная техника — по той причине, по которой запись с буквой e вообще существует: числа с плавающей точкой хранятся как коэффициент и показатель, и запись с буквой e, которую печатает эта страница, есть самый короткий честный способ записать такое число. Учебники и экзаменационные работы используют её как проверяемую форму. Решив задачу в научной нотации и дав ответ 4.5 × 10⁴, вы делаете величину ответа видимой так, как этого не делает вереница нулей; поэтому потерянный порядок в этой форме замечают глазом, а в той же записи целиком — нет. Место этой страницы внутри такой работы — шаг арифметики: она ведёт учёт показателей степени и печатает ответ в той из трёх форм, которая нужна следующему шагу, и всего полезнее она тогда, когда числа комбинируют, а ответ нужно записать, а не оценить на глаз. Две родственные задачи стоят по обе стороны от неё. Записать то же число другим способом, вообще без арифметики, — это страница стандартного вида. Решить, сколько цифр в ответе было на самом деле измерено, — это то, чем занимаются значащие цифры, и это страница значащих цифр, то есть вопрос, на который эта страница намеренно не отвечает.

1. Умножение: 3.2 × 10⁵ на 4 × 10⁻³

   1. Перемножьте коэффициенты: 3.2 × 4 = 12.8
   2. Сложите показатели степени: 10⁵ × 10⁻³ = 10²
   3. Произведение равно 12.8 × 10², а это ещё не научная нотация, потому что коэффициент обязан быть меньше 10
   4. Перенесите один множитель десять из коэффициента в показатель степени: 12.8 × 10² = 1.28 × 10³
   5. Выписанное целиком, это 1280, а запись с буквой e — 1.28e3 — можно вставить обратно в любой из двух вводов

   Случай по умолчанию и заодно случай, показывающий, ради чего этой записью стоит пользоваться. Оба числа короткие, а вся арифметика состоит из двух умножений и одного сложения; без записи та же работа выглядела бы как 320000 × 0.004, где все тяготы несут нули, а ответ легко ошибиться на множитель десять. Следить нужно за шагом нормализации, и именно его панель делает молча: 12.8 × 10² и 1.28 × 10³ — одно и то же число, и только второе записано в научной нотации.

2. Деление: 9.6 × 10⁷ на 3.2 × 10³

   1. Разделите коэффициенты: 9.6 ÷ 3.2 = 3
   2. Вычтите показатели степени: 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
   3. Коэффициент уже лежит между 1 и 10, поэтому нормализация не нужна
   4. Ответ равен 3 × 10⁴, то есть 3e4 и 30000

   Деление, в котором коэффициент получается чистым, поэтому правило показателей степени ничем не заслонено. Заметьте, что у коэффициента нет замыкающих нулей: результат равен 3, а не 3.00, потому что страница печатает пятнадцать значащих цифр и затем отбрасывает нули, не несущие информации. Заслуживает ли ответ записи как 3 или как 3.00000 — это вопрос значащих цифр, и ввод здесь на него не отвечает.

3. Сложение 0.1 и 0.2

   1. Показателей степени нет ни в одном вводе, поэтому оба числа записываются как есть: 0.1 и 0.2
   2. В двойной точности хранимые значения не равны ровно одной десятой и двум десятым, и их сумма равна 0.30000000000000004
   3. Результат округляется до пятнадцати значащих цифр, что оставляет 0.300000000000000
   4. Замыкающие нули отбрасываются, потому что эти пятнадцать цифр — ширина вывода, а не измерение
   5. Остаётся 3 × 10⁻¹, или 3e-1, или 0.3

   Пример, который и оправдывает выбранную ширину вывода. Печать семи значащих цифр тоже скрыла бы хвост от плавающей точки, но сломала бы другой случай: 123456789012345 + 0 напечаталось бы как 123456800000000, а это попросту неверное число. Пятнадцать цифр — самая широкая настройка, которая всё ещё точна для каждого значения, принимаемого вводами, поэтому она и прячет хвост, и сохраняет число. Если вы встречали эту сумму как программистскую головоломку, головоломка настоящая — просто при этой ширине она не видна.

Каждый ввод принимает до пятнадцати значащих цифр и показатель степени от -99 до 99. Ответ этими границами не ограничен: 1e99 × 1e99 равно 1 × 10¹⁹⁸, а его обычная форма — строка из 199 знаков. Готовые записи отвергаются. 4.5 × 10⁴ и 4.5×10^4 не разбираются, и разделители разрядов тоже, поэтому 1 500 — это ошибка, а не 1500: запятая служит десятичным знаком в нескольких языках, которые обслуживает этот сайт, и угадывать, какой из них имелся в виду, значило бы подставить в арифметику не то число. Пишите 4.5e4 или выписывайте цифры целиком. Деление на нуль приводит к ошибке, а не возвращает бесконечность, потому что бесконечность — не результат, который можно записать. Нуль печатается как 0 во всех трёх формах: 0 × 10⁰ означало бы величину, приписанную числу, у которого её нет. Результаты округляются до пятнадцати значащих цифр, и их замыкающие нули отбрасываются, поэтому ответ не несёт сведений о точности и страница о ней ничего не заявляет; этот вопрос принадлежит странице значащих цифр. Поскольку умножение, деление, сложение и вычитание выполняются в двойной точности, результат точен лишь до пятнадцати значащих цифр — этого достаточно для вводов, которые принимает страница, и недостаточно, чтобы считать арифметику точной на более длинных значениях, которые по этой причине и отвергаются. И наконец, таблица ниже — постоянный список степеней десяти, она не следует за вашим вводом; её читают рядом с ответом, а не считают из него.

Что такое научная нотация?

Способ записать число как коэффициент от 1 до 10, умноженный на степень десяти: 45000 — это 4.5 × 10⁴, а 0.00045 — это 4.5 × 10⁻⁴. Величина числа переезжает в показатель степени, и именно поэтому умножение и деление в такой записи сводятся к действиям с небольшими целыми числами вместо длинных верениц нулей. Британское употребление обычно называет то же самое стандартным видом.

Что такое запись с буквой e и почему страница её печатает?

Запись с буквой e — это то же число обычными символами: 4.5e4 означает 4.5 × 10⁴, а 4.5e-4 означает 4.5 × 10⁻⁴. Именно её примет программа, таблица или поисковая строка, поэтому страница и печатает её как одну из трёх форм — это та версия ответа, которую можно вставить прямо обратно во ввод.

Почему здесь 0.1 + 0.2 даёт ровно 0.3?

Потому что результат округляется до пятнадцати значащих цифр, прежде чем его напечатают, а хранимая сумма равна 0.30000000000000004 — разница сидит на шестнадцатой и семнадцатой цифре. Пятнадцать цифр — не круглое число, выбранное для красоты: это самая широкая ширина вывода, при которой каждое значение, принимаемое вводами, печатается точно, поэтому 123456789012345 + 0 по-прежнему возвращается как 123456789012345, а не округляется до чего-то покороче.

Можно ли набрать 4.5 × 10⁴ прямо во ввод?

Нет, и страница об этом скажет. Распознать такую запись значило бы принимать несколько её написаний — знак умножения, букву x, звёздочку, надстрочный показатель, знак вставки, — а ошибка в чтении хотя бы одного означает вычисление не с тем числом. Наберите 4.5e4 или 45000; это одно и то же значение, и строка каждого ответа в записи с буквой e написана так, чтобы её можно было вставить обратно.

Как умножать и делить в научной нотации?

Для произведения перемножьте коэффициенты и сложите показатели степени; для частного разделите коэффициенты и вычтите показатели. Затем проверьте, что коэффициент лежит между 1 и 10, и если нет, перенесите множитель десять в показатель: 3.2 × 10⁵ умножить на 4 × 10⁻³ даёт 12.8 × 10², что записывается как 1.28 × 10³. При сложении и вычитании показатели сначала нужно выровнять, и именно этот шаг запись делает легко пропускаемым.

Сообщает ли ответ, сколько в нём значащих цифр?

Нет. Ответ — вычисленное число, и никакая ширина вывода не скажет, сколько его цифр было измерено: это зависит от точности вошедших чисел и от того, были ли они измерениями вообще. Замыкающие нули отбрасываются по той же причине: сохранив их, страница намекнула бы на точность, которой у этой арифметики нет. Сколько значащих цифр заслуживает ответ — тема страницы значащих цифр.

• Scientific notation — the coefficient-and-exponent form, the rules for multiplying and dividing in it, and the notation's history — Wolfram MathWorld (United States)
• Scientific notation — a worked introduction to the form and to the exponent rules for multiplication and division — Math is Fun (United Kingdom)
• Scientific notation — definition, with the same form given under the British name standard form — Math is Fun (United Kingdom)