Калькулятор импеданса RLC

X_L = 2πfL, X_C = 1/(2πfC), Z = √(R² + (X_L − X_C)²), φ = arctan((X_L − X_C)/R), f₀ = 1/(2π√(LC))

R

Сопротивление, в омах, — та единственная часть импеданса, которая не меняется с частотой. Оно задаёт нижнюю границу для Z: как бы ни двигались реактивные сопротивления, импеданс никогда не опустится ниже R, и ровно равен R он в резонансе. Вторая его роль — задавать масштаб угла сдвига фаз: большое R рядом с малым реактивным сопротивлением означает, что цепь ведёт себя почти как обычный резистор (Ω)

L

Индуктивность, вводимая в миллигенри, потому что именно это напечатано на детали. Её реактивное сопротивление растёт пропорционально частоте, поэтому катушка задерживает высокие частоты и пропускает низкие. Поле именно в миллигенри, а не в генри: введённое 10 — это 10 мГн, и оно превращается в 0,01 Гн до того, как его увидит формула (mH)

C

Ёмкость, вводимая в микрофарадах по той же причине. Её реактивное сопротивление падает с ростом частоты, то есть ведёт себя противоположно катушке: конденсатор пропускает высокие частоты и задерживает низкие. Пересчёт тоже происходит заранее: введённые 100 — это 100 мкФ, и они становятся 0,0001 Ф. Два реактивных сопротивления всегда направлены друг против друга, и поэтому в формуле одно вычитается из другого, а не складывается с ним (µF)

f

Частота питающего напряжения, в герцах. Это тот вход, который и отличает страницу от закона Ома: в арифметике он встречается дважды, и оба его появления тянут в разные стороны, поэтому импеданс сначала падает, а потом снова растёт. Его изменение меняет ответ, хотя ни один элемент не тронут, и не существует частоты, на которой оба реактивных сопротивления были бы равны нулю (Hz)

X_L − X_C

Результирующее реактивное сопротивление — то, что и задаёт угол сдвига фаз. Когда индуктивное реактивное сопротивление больше, ток отстаёт от напряжения и φ положителен; когда больше ёмкостное, ток опережает и φ отрицателен; когда они равны, результирующее реактивное сопротивление равно нулю, φ равен нулю, и цепь находится в резонансе. Ни одно из реактивных сопротивлений не вычитается из сопротивления: они складываются под прямым углом, поэтому в формуле и стоит корень из суммы квадратов, а не обычная сумма (Ω)

f₀

Резонансная частота, 1/(2π√(LC)), — частота, на которой два реактивных сопротивления взаимно уничтожаются. Она зависит только от L и C: ни от R, ни от введённой сейчас частоты, поэтому она стоит на месте, пока всё остальное на странице движется, и это легко принять за ошибку. На f₀ последовательная цепь имеет наименьший импеданс, и этот наименьший импеданс в точности равен R (Hz)

Берите её всегда, когда в цепи есть катушка или конденсатор, а напряжение переменное: именно там закон Ома перестаёт быть верным, а не просто приблизительным. Она отвечает на вопрос, как выглядит элемент или ветвь на данной частоте: входной импеданс фильтра, реактивное сопротивление дросселя на частоте сети, точка, в которой пара LC входит в резонанс. Угол сдвига фаз — это причина пользоваться ею даже тогда, когда модуль уже известен, потому что нагрузка, берущая ток не в фазе с напряжением, — не то же самое, что резистор того же номинала в омах. Обращайтесь вместо неё к закону Ома, когда нагрузка действительно резистивная — нагревательные элементы, лампы накаливания, длинный отрезок провода, — и считайте эту страницу там ненужной, а не более точной его версией.

1. Значения по умолчанию: 50 Гц при 10 Ом, 10 мГн и 100 мкФ

   1. Сначала пересчёт: L = 10 мГн = 0,01 Гн, C = 100 мкФ = 0,0001 Ф
   2. X_L = 2π × 50 × 0,01 = 3,142 Ом
   3. X_C = 1 / (2π × 50 × 0,0001) = 31,831 Ом
   4. Результирующее реактивное сопротивление равно 3,142 − 31,831 = −28,689 Ом, значит цепь ёмкостная
   5. Z = √(10² + 28,689²) = 30,382 Ом, φ = arctan(−28,689 / 10) = −70,783°
   6. f₀ = 1 / (2π√(0,01 × 0,0001)) = 159,155 Гц

   Третий и четвёртый результаты стоит читать вместе: ёмкостное реактивное сопротивление более чем в десять раз больше индуктивного, поэтому на 50 Гц эта цепь — конденсатор, которому попутно достался последовательный резистор, и ток опережает напряжение почти на 71 градус. Заметьте заодно, как мало здесь значит сопротивление 10 Ом: это лишь треть импеданса, а угол сдвига фаз близок к −90°, то есть к тому, что дал бы чистый конденсатор.

2. Те же элементы на частоте 1 кГц

   1. X_L = 2π × 1000 × 0,01 = 62,832 Ом — в двадцать раз больше значения на 50 Гц
   2. X_C = 1 / (2π × 1000 × 0,0001) = 1,592 Ом — в двадцать раз меньше значения на 50 Гц
   3. Результирующее реактивное сопротивление равно 62,832 − 1,592 = +61,240 Ом, значит цепь теперь индуктивная
   4. Z = √(10² + 61,240²) = 62,051 Ом, φ = arctan(61,240 / 10) = +80,726°
   5. f₀ по-прежнему равна 159,155 Гц

   Поставьте это рядом с первым примером: ни один элемент не тронут, а угол сдвига фаз перескочил с −70,783° на +80,726°. Цепь, выглядевшая конденсатором на частоте сети, на 1 кГц выглядит катушкой, — и это самое важное, что вообще есть сказать на этой странице, и то, чего не может выразить никакое фиксированное сопротивление. Резонансная частота в последней строке не сдвинулась, потому что она никогда не зависит от той частоты, которой вы управляете: если она будто бы изменилась, значит правили что-то другое.

3. В резонансе, 159,155 Гц

   1. Введите саму резонансную частоту: 159,155 Гц
   2. X_L = 2π × 159,155 × 0,01 = 10 Ом
   3. X_C = 1 / (2π × 159,155 × 0,0001) = 10 Ом
   4. Оба взаимно уничтожаются: Z = √(10² + 0²) = 10 Ом, то есть само R
   5. φ = arctan(0 / 10) = 0°, значит напряжение и ток идут в ногу

   Вот строка, которая и придаёт странице её форму: в резонансе последовательная цепь имеет наименьший импеданс, и этот минимум в точности равен сопротивлению. Это ещё и единственная частота, на которой ток идёт в ногу с напряжением. Одна деталь, которую стоит знать, прежде чем проверять это руками: 159,155 — это f₀, округлённая до трёх знаков, поэтому каждое реактивное сопротивление отличается от 10 примерно на четыре миллионных ома (а друг от друга они отличаются примерно на семь миллионных), и угол сдвига фаз выходит 0,000041°, а не ровно ноль: панель округляет и то и другое. Точный резонанс — на 159,1549431… Гц.

4. Резистор 1 кОм в той же цепи

   1. Реактивные сопротивления не изменились с первого примера: 3,142 Ом и 31,831 Ом
   2. Результирующее реактивное сопротивление по-прежнему −28,689 Ом, но R теперь 1000 Ом
   3. Z = √(1000² + 28,689²) = 1000,411 Ом
   4. φ = arctan(−28,689 / 1000) = −1,643°
   5. f₀ по-прежнему 159,155 Гц: R на неё не влияет

   Здесь страница и встречается с законом Ома. Увеличение R с 10 Ом до 1 кОм не трогает реактивные сопротивления — они свойства L, C и частоты, а не R, — но роняет угол сдвига фаз с −70,783° до −1,643°, а импеданс с 30,382 Ом до 1000,411 Ом, из которых 1000 — это как раз R. При таком соотношении цепь есть резистор со едва различимым следом ёмкости, и V = I × R оказывается хорошим приближением, а не ошибкой. Это и есть граница между этой страницей и страницей закона Ома, и граница плавная: порога нет, есть погрешность, которая уменьшается по мере роста R.

Страница моделирует только последовательную цепь: один резистор, одна катушка и один конденсатор в единственном контуре. Переключателя для параллельной цепи здесь намеренно нет, потому что параллельный контур — это не та же формула с перевёрнутым флажком: у него своё выражение, и в резонансе он ведёт себя противоположным образом — последовательная цепь приходит там к наименьшему импедансу, а параллельная к наибольшему. Вписав те же четыре числа и получив другой ответ, вы прочитали бы факт о цепи, которую не описывали, поэтому такой вариант заслуживает отдельной страницы, а не выключателя на этой. Идеальными считаются и все элементы: у катушки нет сопротивления обмотки, у конденсатора нет утечки и эквивалентного последовательного сопротивления, и нет частоты, на которой детали перестают вести себя как сосредоточенные элементы. Входная частота задаётся, а не разворачивается, поэтому страница даёт одну точку на кривой импеданса и резонансную частоту, а не саму кривую.

Почему здесь нельзя просто воспользоваться законом Ома?

Потому что при катушке или конденсаторе в цепи отношение напряжения к току не постоянно: оно зависит от частоты, и ток перестаёт идти в ногу с напряжением. Закон Ома даст здесь число, и число будет неверным, а это хуже, чем не дать никакого. Калькулятор закона Ома сам об этом говорит и отправляет на эту страницу; V = I × R остаётся хорошим приближением лишь до тех пор, пока сопротивление велико по сравнению с результирующим реактивным, как показывает четвёртый пример, где 1 кОм рядом с 28,689 Ом оставляют угол сдвига фаз меньше 2 градусов.

А как же параллельная цепь RLC?

Это другой расчёт и другая страница, поэтому переключателя для неё здесь и нет. Параллельный контур описывается своим выражением, и в резонансе он ведёт себя наоборот: последовательная цепь приходит там к наименьшему импедансу, а параллельная — к наибольшему. Хуже того, эта страница охотно приняла бы те же четыре числа и вернула импеданс, ошибочный в разы, без единого видимого признака неполадки. Именно такую молчаливую ошибку переключатель и должен был бы предотвращать, а не порождать.

Почему резонансная частота не меняется, когда я меняю частоту?

Потому что резонансная частота — свойство катушки и конденсатора, а поле частоты задаёт ту частоту, которой вы ведёте цепь: две разные вещи, которым случилось называться одинаково. В f₀ = 1/(2π√(LC)) нет ни R, ни f, поэтому она стоит на месте, пока вы проводите частотой мимо неё. Сдвигается она только тогда, когда вы меняете L или C. Эта независимость и делает её полезной: она говорит, где цепь войдёт в резонанс, ещё до того, как вы отправитесь его искать.

Что означает отрицательный угол сдвига фаз?

Он означает, что ток опережает напряжение, а бывает это всегда, когда большее из двух реактивных сопротивлений — ёмкостное. Положительный означает, что ток отстаёт и заправляет индуктивность, а ноль означает, что они равны и цепь в резонансе. Знак, таким образом, резюмирует всю страницу одним символом: −70,783° говорят, что при 50 Гц этой цепью управляет конденсатор на 100 мкФ, а +80,726° на 1 кГц говорят, что верх взяла катушка на 10 мГн.

Почему в резонансе импеданс всего 10 Ом?

Потому что два реактивных сопротивления взаимно уничтожаются и остаётся только сопротивление. X_L и X_C равны и противоположны по действию, поэтому результирующее реактивное сопротивление равно нулю, а Z = √(R² + 0²) = R. Это наименьший импеданс для последовательной цепи, и это же та частота, на которой ток наибольший и совпадает по фазе с напряжением. Именно поэтому последовательную пару LC и применяют для выделения частоты: всё остальное ослабляется, а выбранная проходит, и мешает ей только R.

Реактивные сопротивления складываются с сопротивлением?

Нет, они складываются под прямым углом, поэтому в формуле и стоит корень из суммы квадратов, а не обычная сумма. На значениях по умолчанию разница велика: арифметическое сложение дало бы 10 + 3,142 + 31,831 = 44,973 Ом, тогда как верный импеданс равен 30,382 Ом. Физическая причина — сдвиг фаз: напряжение на реактивном сопротивлении отстаёт от напряжения на сопротивлении на четверть периода, а величины, идущие не в ногу, просто так не складываются.

• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), §6.5 — the hertz, the henry and the farad, and the derived unit for reactance — NIST
• Series RLC circuit — impedance as a vector sum of resistance and net reactance, the phase angle, and resonance as the point where the two reactances cancel — Wikipedia
• Electrical reactance — why an inductor and a capacitor react in opposite directions as frequency rises, and how each behaves at the two extremes — Wikipedia