Калькулятор ромба

A = s² × sin(θ) P = 4s d₁ = 2s × cos(θ ÷ 2) d₂ = 2s × sin(θ ÷ 2) h = s × sin(θ)

s

Длина одной стороны, в сантиметрах. Все четыре стороны равны, поэтому достаточно измерить одну, и она сама задаёт периметр, равный 4s. Площадь она не задаёт: ромб со стороной 5 занимает от 0 до 25 квадратных сантиметров в зависимости от того, насколько его наклонили, и потому нужен ещё и угол

θ

Любой из четырёх углов, в градусах, радианах или градах. У ромба два угла одной величины и два другой, а эти величины в сумме дают 180, поэтому противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга. Любой из четырёх годится для всех формул здесь, потому что синус угла равен синусу смежного с ним: угол 60 и угол 120 описывают один и тот же ромб — ту же площадь, тот же периметр и ту же высоту, а две диагонали меняются местами

A

Площадь, в квадратных сантиметрах: сторона в квадрате, умноженная на синус угла. Наибольшей она бывает при прямом угле, где синус равен 1 и ромб оказывается квадратом, а к нулю она падает, когда угол стремится к 0 или к 180 и фигура сплющивается в линию. Печатается она с четырьмя знаками после запятой — та же ширина, что и на остальных страницах про площадь в этом подразделе

P

Периметр, в сантиметрах: четыре стороны. Это единственная величина на странице, которая полностью игнорирует угол, потому что наклон двигает углы, не трогая рёбра. У ромба со стороной 5 периметр равен 20 и тогда, когда он квадрат, и тогда, когда он почти плоский, — поэтому периметр плохо говорит о том, сколько фигура занимает, и хорошо о том, сколько нужно окантовки

d₁, d₂

Две диагонали, в сантиметрах: отрезки, соединяющие противоположные углы. Они пересекаются под прямым углом и делятся пополам, и каждая равна удвоенной стороне, умноженной на косинус или синус половины угла. При наклоне одна растёт, а другая убывает: для стороны 5 обе равны 7,0711 при 90 градусах, 8,6603 и 5 при 60 градусах и 9,6593 и 2,5882 при 30 градусах, — а их произведение, делённое пополам, даёт площадь, то есть ведёт к той же фигуре другим путём

h

Высота, в сантиметрах: расстояние по перпендикуляру между стороной и противоположной ей стороной, то есть сторона, умноженная на синус угла. Именно эта высота понадобилась бы в формуле «основание на высоту», поэтому у ромба со стороной 5 при 60 градусах высота равна 4,3301, а площадь равна 5 × 4,3301 = 21,6506. К нулю она падает по мере сплющивания фигуры, а стороне она равна только тогда, когда ромб — квадрат

Эта страница нужна, когда ромб задан своим ребром и своим углом, — а именно так фигуру и задают заранее: ромбовидное стекло, объявленное как 5 сантиметров при 60 градусах, плиточный узор в полу, металлическая пластина, вырезанная по чертежу, воздушный змей, у которого все четыре ребра равны. Такое описание и несёт чертёж, и оно же отвечает на вопрос, которого не решает путь через диагонали: что станет с площадью, если наклонить сильнее? При стороне 5 ответ идёт от 25 квадратных сантиметров при прямом угле вниз до 12,5 при 30 градусах и 4,3412 при 10 градусах, и у всех этих фигур периметр равен 20. Берите вместо этого калькулятор площади ромба, когда измерены как раз диагонали, — это два расстояния поперёк готовой фигуры, и приложить к ним рулетку обычно проще, чем к углу, — или когда площадь и есть единственная нужная величина. Берите калькулятор площади параллелограмма, когда высота уже известна как длина: та страница принимает основание и перпендикулярную высоту напрямую, а не выводит высоту из угла. А калькулятор квадрата берите тогда, когда ромб оказался квадратом: введите здесь прямой угол — и диагонали вернутся равными, а высота вернётся равной стороне, чем квадрат и оказывается наибольшим ромбом при заданной стороне.

1. Сторона 5 сантиметров при 60 градусах

   1. Синус угла: sin 60° = 0,866025…
   2. Площадь: 5 × 5 × 0,866025… = 21,650635…, что округляется до 21,6506
   3. Периметр: 4 × 5 = 20
   4. Половина угла равна 30°; косинус 0,866025…, синус 0,5
   5. Длинная диагональ: 2 × 5 × 0,866025… = 8,660254…, что округляется до 8,6603
   6. Короткая диагональ: 2 × 5 × 0,5 = 5
   7. Высота: 5 × 0,866025… = 4,330127…, что округляется до 4,3301

   Это та строка, с которой страница открывается, и та, которая показывает всю фигуру разом. Два из пяти показаний получаются прямо из стороны — периметр равен 20, и угол на него повлиять не может, — а остальные три несут на себе множитель 0,866 от угла в 60 градусов, то же самое число, которое появляется в площади равностороннего треугольника. Высоту 4,3301 стоит сравнить со стороной 5: наклон квадрата до 60 градусов стоил фигуре около тринадцати процентов высоты — sin 60° равен 0,866, значит, потеря составляет 1 − 0,866, то есть седьмую часть высоты, а не шестую, — и площадь упала в той же пропорции, с 25 до 21,6506.

2. Сторона 5 сантиметров при прямом угле

   1. Синус прямого угла: 1
   2. Площадь: 5 × 5 × 1 = 25
   3. Периметр: 4 × 5 = 20
   4. Половина угла равна 45°; косинус и синус оба равны 0,707106…
   5. Обе диагонали: 2 × 5 × 0,707106… = 7,071067…, что округляется до 7,0711
   6. Высота: 5 × 1 = 5

   Квадрат — это то, во что превращается ромб, если его вовсе не наклонять. Каждое показание здесь либо максимум, либо совпадение, о котором стоит знать: площадь 25 — наибольшая из возможных у ромба со стороной 5, высота выросла до самой стороны, а две диагонали сошлись посередине на 7,0711 — это квадратный корень из пятидесяти, то есть сторона, умноженная на квадратный корень из двух. Периметр по-прежнему 20, такой же, как у ромба с углом 60 градусов выше, и это самый ясный способ увидеть, что периметр ничего не говорит о том, какую площадь фигура покрывает.

3. Сторона 5 сантиметров при 73,74 градуса

   1. Половина угла равна 36,869897…°, её косинус 0,8, а синус 0,6
   2. Длинная диагональ: 2 × 5 × 0,8 = 8
   3. Короткая диагональ: 2 × 5 × 0,6 = 6
   4. Площадь: 5 × 5 × sin 73,739795…° = 25 × 0,96 = 24
   5. Периметр: 4 × 5 = 20
   6. Высота: 5 × 0,96 = 4,8

   Строка, которая связывает эту страницу с калькулятором площади ромба. Диагонали 8 и 6 вынуждают сторону быть равной 5 — их половины равны 4 и 3, а у прямоугольного треугольника с такими катетами гипотенуза равна 5, — и угол, который с этой стороной сочетается, равен 73,74 градуса. Так что эта страница и та сходятся на 24 квадратных сантиметрах, полученных здесь из стороны и угла, а там — из двух диагоналей. Нули восемь и ноль шесть в шагах — это просвечивающий треугольник 3-4-5: у любого ромба, диагонали которого относятся как 4 к 3, будут эти углы и это соотношение стороны с диагоналями, поэтому числа и выходят целыми.

4. Сторона 5 сантиметров при 0 градусах

   1. Синус 0°: 0
   2. Площадь: 5 × 5 × 0 = 0
   3. Периметр: 4 × 5 = 20
   4. Длинная диагональ: 2 × 5 × cos 0° = 2 × 5 × 1 = 10
   5. Короткая диагональ: 2 × 5 × sin 0° = 0
   6. Высота: 5 × 0 = 0

   Ромб, полностью расплющенный на собственную сторону, и страница отвечает, а не отказывает: площадь равна 0, высота равна 0, а фигура превратилась в удвоенную линию длиной 10 — поэтому длинная диагональ выросла до полных 10, а короткая исчезла. Единственное показание, которое уцелело, — периметр, по-прежнему 20, потому что четыре ребра никуда не делись, хотя охватываемой ими фигуры и нет. Это граница того, что страница принимает: отрицательный угол отклоняется как ошибка, но 0 и 180 — это реальные конфигурации, и ответ на них даётся именно такой.

Эта страница описывает один ромб по одной стороне и одному углу и на этом останавливается. В обратную сторону она не работает: пути от площади, диагонали или высоты к породившей их фигуре здесь нет, поэтому вопрос, который на самом деле задаёт изготовитель, — какой угол даёт мне 24 квадратных сантиметра при стороне 5, — требует посчитать синус вручную, и ответ равен 73,74 градуса. Все величины выводятся в сантиметрах, квадратных сантиметрах и градусах независимо от того, какие единицы выбраны для ввода: список единиц у поля стороны переводит эту длину в сантиметры, а поле угла меняет то, как читается число, но ни то, ни другое не меняет того, в чём печатаются ответы. С полем угла связана настоящая ловушка: 60 радиан — это не 60 градусов, и страница посчитает фигуру для той единицы, которая выбрана, а не пожалуется, что число слишком велико для угла; если результат выглядит невозможным, первым делом проверяйте именно выбор единицы. Угол принимается от 0 до 180 градусов, а вне этого диапазона страница сообщает об ошибке, молча предполагая, что вы имели в виду внутренний угол, — угол, заданный как внешний или как направление стороны, даст неверную фигуру, а не ошибку. Угол ровно 0 или 180 даёт площадь 0 и диагональ 0, и это честный ответ для сплющенной фигуры, но нужно такое редко, а страница не предупреждает, что только что описала вырожденную фигуру. Сторона ограничена миллиардом сантиметров — это предел точной арифметики, а не геометрии. Четыре знака после запятой — ширина записи, общая с другими страницами про площадь в этом подразделе, а не заявка на точность: угол, прочитанный с точностью до градуса, сдвигает площадь примерно на один процент, что куда больше четвёртого знака. Страница предполагает, что фигура действительно ромб — с четырьмя равными сторонами и параллельными противоположными сторонами; четырёхугольник, который ромбом почти, но не совсем является, получит ответ так, как если бы он им был, и если вы измеряли диагонали фигуры, в которой не уверены, нужен калькулятор площади ромба. Ничего здесь не учитывает отходы, ширину реза и зазоры между плитками, поэтому возвращённая площадь — это площадь фигуры, а не количество материала для заказа.

Что можно узнать про ромб по одной стороне и одному углу?

Всё, что у фигуры есть: площадь, периметр, обе диагонали и высоту. Одна сторона задаёт периметр, равный четырём её длинам, а угол задаёт остальное, потому что другой свободы у ромба нет: наклон — единственное, что меняет его после того, как рёбра заданы. Сторона 5 при 60 градусах даёт площадь 21,6506 квадратного сантиметра, периметр 20, диагонали 8,6603 и 5 и высоту 4,3301.

Какой из четырёх углов вводить?

Любой: площадь, периметр и высота выйдут одинаковыми, какой бы вы ни выбрали, потому что все формулы здесь используют синус угла, а синус угла равен синусу смежного с ним — sin 60 и sin 120 оба равны 0,866. Две диагонали выйдут той же парой длин, только поменяются между двумя своими строками, ведь какая диагональ длиннее, зависит от того, при каком углу измеряли угол. У ромба два угла одной величины и два другой, а соседние в сумме дают 180 градусов, так что 60 и 120 описывают одну и ту же фигуру. Если вы знаете только, что один угол острый, а другой тупой, подойдёт любое из чисел.

Меняет ли наклон периметр ромба?

Нет. Периметр равен четырём сторонам, а сторона не меняется, поэтому у ромба со стороной 5 периметр равен 20 и тогда, когда он квадрат, и тогда, когда он почти плоский. Наклон меняет всё остальное: площадь падает с 25 квадратных сантиметров при прямом угле до 21,6506 при 60 градусах и до 4,3412 при 10 градусах. Именно поэтому периметр плохо говорит о том, сколько фигура занимает, и хорошо — о том, сколько нужно окантовки или обрамления.

Как две диагонали связаны со стороной и углом?

Каждая равна удвоенной стороне, умноженной на косинус или на синус половины угла: длинная — это 2s × cos(θ ÷ 2), а короткая — 2s × sin(θ ÷ 2). При стороне 5 и угле 60 градусов это 8,6603 и 5; при 90 градусах обе выходят по 7,0711, чем и объясняется равенство диагоналей у квадрата. Их произведение, делённое пополам, даёт площадь — это та формула, которой пользуется калькулятор площади ромба, когда вы даёте ему диагонали вместо стороны и угла.

Какая площадь у ромба с заданной стороной наибольшая?

У квадрата — сторона в квадрате. Ромб со стороной 5 занимает 25 квадратных сантиметров при прямом угле, а любой другой угол даёт меньше: 21,6506 при 60 градусах, 12,5 при 30 и 4,3412 при 10. Причина в формуле: синус угла не больше единицы и достигает её при 90 градусах. Если вы выбираете угол для плитки или панели и хотите получить максимум покрытия при заданной длине ребра, выбирайте прямой угол.

Что происходит при угле 0 или 180 градусов?

Площадь возвращается равной 0, высота тоже 0, а периметр остаётся 20. Это честные ответы, а не ошибки: при 0 градусов фигура сплющена на одну из своих сторон и ничего не охватывает, но четыре ребра по-прежнему на месте — потому длинная диагональ и растянулась до 10, а короткая исчезла. Углы вне диапазона от 0 до 180 сообщаются как ошибки, поскольку страница предполагает, что вы дали внутренний угол.

• Rhombus — the four-sided figure with equal sides this page describes, including the relations between the sides, the diagonals, the height and the angles that all five outputs here are built from — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the wider family a rhombus belongs to, and where the base-times-height formula behind this page's height output is set out — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — the general four-sided figure, and the place to check that the diagonal relation used here is the special case of a rule that holds for every quadrilateral whose diagonals cross at right angles — Wolfram MathWorld (United States)