Калькулятор площади ромба

A = (d₁ × d₂) ÷ 2 A = s² × sin(θ)

d₁, d₂

Две диагонали, в сантиметрах: отрезки, соединяющие противоположные углы. У ромба они пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам — именно на этом и держится первая формула. У квадрата обе диагонали равны, поэтому ввести одно и то же число дважды правильно, а не ошибочно

s

Длина одной стороны, в сантиметрах. Все четыре равны, поэтому достаточно одной. Сама по себе она площадь не задаёт: ромб со стороной 5 может иметь любую площадь от почти нуля до 25, и потому этому пути нужен ещё и угол

θ

Любой из четырёх углов, в градусах, радианах или градах. У ромба два угла одной величины и два другой, а эти величины в сумме дают 180; в формулу годится любая из них, потому что синус угла равен синусу смежного с ним. Поэтому странице и всё равно, какой из четырёх вы измерили

A

Площадь, в квадратных сантиметрах: половина произведения диагоналей или сторона в квадрате, умноженная на синус угла. Оба выражения дают одно и то же число для одного и того же ромба. Печатается она с четырьмя знаками после запятой — та же ширина, что и на остальных страницах про площадь в этом подразделе

÷ 2

Деление пополам в формуле с диагоналями. Оно здесь потому, что две диагонали разрезают ромб на четыре прямоугольных треугольника, а произведение диагоналей считает описанный вокруг них прямоугольник дважды — ромб составляет ровно половину прямоугольника, стороны которого равны его диагоналям, и это самый наглядный способ увидеть, откуда формула взялась

sin(θ)

Синус угла — множитель, который измеряет, насколько ромб наклонили. При прямом угле он равен 1, поэтому квадрат имеет наибольшую площадь среди всех ромбов с такой стороной; по мере сплющивания фигуры он падает до 0, поэтому почти плоский ромб почти ничего не занимает. Наибольшим он бывает при 90 градусах и симметричен относительно них, и потому угол 60 и угол 120 дают одну и ту же площадь

Пользуйтесь путём через диагонали, когда ромб задан своими диагоналями, — так обычно обстоит дело со всем, что размечают на земле или вырезают из листа: тротуарная плита, воздушный змей, декоративная панель, оконное стекло, поставленное под углом. Диагонали — это то, что измеряют у готового ромба, ведь это два расстояния поперёк него, и половина их произведения и есть площадь: для случая 6 на 8 это 24 квадратных сантиметра. Пользуйтесь путём через сторону и угол, когда фигура задана рёбрами и углами, — так обычно обстоит дело со всем, что задают заранее: плитка, объявленная как 5 сантиметров при угле 60 градусов, ромбический узор в полу, пластина, вырезанная по чертежу. Этот путь отвечает ещё и на вопрос, которого путь через диагонали не решает: как изменится площадь, если наклонить сильнее? При стороне 5 ромб с углом 60 занимает 21,6506, а с прямым углом — 25, так что такой наклон стоит около тринадцати процентов площади, а дальнейший наклон стоит ещё больше. Две фигуры стоит попробовать отдельно. Введите одно и то же число для обеих диагоналей — и получите квадрат: 10 и 10 дают 50 при стороне 7,0711, а это наибольшая площадь, какую ромб с такой диагональю может иметь, и полезная точка отсчёта. А введите совсем маленький угол — и площадь устремится к нулю: ромб, наклонённый до 10 градусов, имеет ту же длину стороны и почти никакой площади, и это и есть доказательство того, что одной стороны для определения площади недостаточно. Если вы сравниваете эту страницу с калькулятором площади параллелограмма, то тот принимает основание и перпендикулярную высоту, что для ромба тоже годится — высота равна стороне, умноженной на синус угла, — но спрашивает расстояние, которое пришлось бы сначала вычислить, а не измерить. А если нужен периметр, он равен четырём сторонам, и это единственная величина ромба, которой угол вообще не нужен.

1. Диагонали 6 и 8

   1. Произведение диагоналей: 6 × 8 = 48
   2. Делим пополам: 48 ÷ 2 = 24

   Это тот ввод, с которым страница открывается, и тот ромб, вокруг которого построена вся страница, потому что именно у него оба пути можно проверить вручную. Его диагонали 6 и 8 вынуждают сторону быть равной 5 — половина каждой диагонали равна 3 и 4, а у треугольника с такими катетами гипотенуза равна 5, — и угол, который с этой стороной сочетается, равен 73,74 градуса. Поэтому другой путь, сторона 5 при угле 73,74, даёт те же 24, и таблица ниже печатает эту строку. Это самое наглядное на странице доказательство того, что две формулы описывают одну фигуру, а не две.

2. Сторона 5 и угол 60 градусов

   1. Синус угла: sin 60° = 0,866025…
   2. Сторона в квадрате: 5 × 5 = 25
   3. Площадь: 25 × 0,866025… = 21,650635…, что округляется до 21,6506

   Путь через сторону и угол, и та строка, которая показывает, чего стоит наклон квадрата. Квадрат со стороной 5 покрывает 25 квадратных сантиметров; наклонённый до 60 градусов, он теми же четырьмя сторонами охватывает 21,6506 — это чуть больше чем на 13 процентов меньше. Число 0,866 есть синус 60 градусов, то есть половина квадратного корня из трёх, и это то же самое число, которое всплывает в площади равностороннего треугольника: это одна и та же геометрия, увиденная с разных сторон.

3. Сторона 5 и прямой угол

   1. Синус угла: sin 90° = 1
   2. Сторона в квадрате: 5 × 5 = 25
   3. Площадь: 25 × 1 = 25

   Квадрат, то есть ромб, углы которого вовсе не наклоняли. Синус прямого угла равен 1, поэтому вторая формула сводится к стороне в квадрате и даёт наибольшую площадь, какая может быть у ромба со стороной 5. Любой другой угол даёт меньше: при 45 градусах это было бы 17,6777, при 30 градусах — 12,5, а при 10 градусах — 4,3412. То, что максимум достигается на квадрате, стоит знать заранее, выбирая угол для панели или плитки, поскольку фигура, покрывающая больше всего земли при заданном ребре, — это та, которую наклонили меньше всего.

4. Диагонали 5 и 12

   1. Произведение диагоналей: 5 × 12 = 60
   2. Делим пополам: 60 ÷ 2 = 30

   Длинный тонкий ромб, и строка, которую легко проверить по его стороне: половина от 5 равна 2,5, половина от 12 равна 6, значит, сторона — это гипотенуза треугольника 2,5 на 6, то есть 6,5. Это совпадает со столбцом стороны в таблице. Площадь 30 — хорошее напоминание о том, что два пути не равноценны по удобству: периметр этой фигуры равен 26, а площадь равна 30, и это совпадение именно этих чисел, а не правило.

5. Диагонали 1 и 1

   1. Произведение диагоналей: 1 × 1 = 1
   2. Делим пополам: 1 ÷ 2 = 0,5

   Самый маленький квадратный ромб, и та строка, на которой деление пополам видно отчётливо: две диагонали по единице дают площадь в одну вторую, потому что ромб составляет половину единичного квадрата, сторонами которого служат диагонали. Его сторона равна 0,7071, то есть квадратный корень из двух, делённый на два, — то же соотношение, что между диагональю квадрата и его стороной, только прочитанное в обратную сторону. Заметьте, что ввод нуля в обе диагонали даёт площадь ноль, а не пустое место: ромб без размера — это законный ответ.

Страница считает площадь ромба и ничего больше: она не печатает ни периметр, ни высоту, ни диагонали, ни углы, и причина в том, что все они выводятся из тех же двух измерений, которые у вас уже есть. Периметр равен четырём сторонам, и его можно прочитать по собственному вводу, если вы шли путём через сторону. Странице нужны либо обе диагонали, либо сторона вместе с углом, и если ни один из путей не заполнен полностью, она сообщает об ошибке, а не гадает: одна диагональ или сторона без угла фигуру не определяют. Заполнить больше одного пути разрешено, пока они не противоречат друг другу, — сторона рядом с двумя диагоналями сверяется с ними, — но ромб, у которого диагонали подразумевают одну сторону, а в поле стороны стоит другая, сообщается как противоречие, а не разрешается молча, и страница при этом не говорит, какое именно из ваших чисел неверно. Поле угла принимает градусы, радианы и грады, и страница предполагает, что угол лежит между 0 и 180; угол 0 или 180 даёт площадь ноль, и это честный ответ для сплющенной фигуры, но угол, заданный не в той единице, которая выбрана, даст неверный ответ, а не ошибку. Ответы всегда в квадратных сантиметрах, что бы ни было выбрано в списках единиц длины, поэтому сторона, введённая в дюймах, вернётся площадью в квадратных сантиметрах, которую придётся переводить самому. Четыре знака после запятой — это ширина записи, а не заявка на точность, и для измерений рулеткой она даже щедра. Страница не проверяет, что фигура действительно ромб: подойдут четыре равные стороны при любых углах, и фигура, которая ромбом только выглядит, но стороны у неё чуть разной длины, получит ответ так, как если бы ромбом была, по тому пути, который вы ввели. Описать ромб его высотой она тоже не умеет и не умеет идти в обратную сторону — от площади к размерам, которые её дают, а ведь именно такой вопрос и задаёт панель, вырезанная под фиксированную площадь.

Какая формула площади ромба?

Их две, и любой достаточно. Половина произведения диагоналей: ромб, у которого одна диагональ 6, а другая 8, занимает 24 квадратных сантиметра. Или сторона в квадрате, умноженная на синус любого угла: ромб со стороной 5 при 60 градусах занимает 21,6506. Первую берут, когда измерили диагонали, вторую — когда фигура задана стороной и углом. Для одной и той же фигуры обе дают один ответ, и таблица на этой странице показывает это напрямую.

Почему в формуле с диагоналями есть деление на два?

Потому что ромб составляет половину прямоугольника, стороны которого равны его диагоналям. Диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, разрезая ромб на четыре прямоугольных треугольника, и если достроить прямоугольник со сторонами по диагоналям, ромб займёт ровно его половину. Площадь такого прямоугольника равна произведению диагоналей, поэтому ромб — половина этого произведения.

Чем ромб отличается от параллелограмма и от квадрата?

Ромб — это частный случай параллелограмма: у параллелограмма равны только противоположные стороны, а у ромба все четыре, и этого одного дополнительного условия хватает, чтобы диагонали стали перпендикулярными, а площадь стала считаться через них. Квадрат — в свою очередь частный случай ромба: это ромб, у которого углы прямые. Отсюда и граница между инструментами: калькулятор площади параллелограмма берёт основание и высоту и годится для ромба тоже, а эта страница берёт либо диагонали, либо сторону с углом и опирается на то, что стороны равны.

Можно ли ввести и диагонали, и сторону с углом сразу?

Да, если они согласуются между собой. Сторона рядом с двумя диагоналями — это проверка на согласованность, а не противоречие, потому что диагонали определяют сторону, и страница может сказать, принадлежат ли числа друг другу. А вот выбирать победителя она не станет: ромб, у которого диагонали подразумевают сторону 5, а в поле стороны стоит 7, будет сообщён как противоречие, а не молча посчитан по одному из чисел, ведь ни одно из них не выглядит заведомо надёжнее другого.

Какая площадь у ромба с заданной стороной наибольшая?

У квадрата — сторона в квадрате. Ромб со стороной 5 с прямым углом занимает 25 квадратных сантиметров, а любой другой угол даёт меньше: 21,6506 при 60 градусах, 17,6777 при 45, 12,5 при 30 и 4,3412 при 10. Это следует из формулы, ведь синус угла не больше единицы и достигает её при 90 градусах. Поэтому если вы выбираете угол для плитки или панели и хотите получить максимум покрытия при заданном ребре, выбирайте прямой угол.

Как найти сторону по диагоналям?

Разделите каждую диагональ пополам и возьмите эти половины как катеты прямоугольного треугольника — сторона будет его гипотенузой. Для диагоналей 6 и 8 половины равны 3 и 4, поэтому сторона равна 5. Для 5 и 12 половины равны 2,5 и 6, и сторона получается 6,5. Это работает потому, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам, — на этом же факте держится и формула площади.

• Rhombus — the four-sided figure with equal sides this page computes the area of, including the half-the-product-of-the-diagonals result and the relations between the sides, the diagonals and the angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the wider family a rhombus belongs to, with the base-times-height formula that also applies to a rhombus once the height has been worked out from the side and the angle — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — the general four-sided figure, and the place to check that the diagonal formula used here is the special case of a rule that holds for every quadrilateral whose diagonals cross at right angles — Wolfram MathWorld (United States)