Калькулятор приведённого аннуитета

Приведённая стоимость = платёж × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i × (1 + i, если платежи в начале каждого периода) (i = годовая ставка ÷ число платежей в году; n = число лет × число платежей в году)

Платёж за период

Каждая равная сумма в потоке — безразлично, деньги вы получаете или платите

Годовая ставка

Номинальная годовая ставка, используемая как ставка дисконтирования; перед применением она делится на число платежей в году — 7 процентов в год превращаются в 0,5833… процента в месяц на случае по умолчанию

Число лет

Как долго продолжаются платежи; умножается на число платежей в году и даёт количество дисконтируемых платежей

i

Ставка дисконтирования за период — на неё делится каждый платёж, по одному разу за каждый период, отделяющий его от сегодняшнего дня

n

Число платежей, оно же число раз, которое применяется дисконтирование

Страница нужна, когда поток равных платежей уже существует и требуется узнать, сколько он стоит прямо сейчас, а не в конце. Это временная стоимость денег, приложенная не к одной сумме, а к целой серии одинаковых: каждому платежу нужно собственное дисконтирование и собственная дата, и складываются они только в самом конце. Отчётливее всего это в случаях, когда такой поток предлагают купить или продать: выкуп пенсии, урегулирование с рассрочкой, договор аннуитета, аренда с ровными платежами, поток купонов облигации. Это же верная страница и для обратной задачи сбережений: если вы снимаете со счёта фиксированную сумму каждый месяц, здесь видно, каким должен быть счёт сегодня, чтобы поток держался, — тот же расчёт, только платежи идут в другую сторону. Две вещи надо не перепутать. Ставка дисконтирования — это то, что вы могли бы заработать на этих деньгах вместо этого, то есть вопрос суждения, и ответ вместе с ней сдвигается: чем выше ставка, тем меньше стоит сегодня любой будущий поток. А настройка момента платежа — не мелочь: то, приходит каждый платёж в начале своего периода или в конце, стоит целого периода процентов на весь поток, и на случае по умолчанию это 376,20.

1. 500 в месяц в течение 20 лет при 7 %, платежи в конце каждого месяца

   1. Ставка за период: 7 % ÷ 12 = 0,5833… % в месяц
   2. Число платежей: 20 × 12 = 240
   3. Коэффициент аннуитета: [1 − (1,005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0,005833… = 128,98250649…
   4. Приведённая стоимость: 500 × 128,98250649… = 64 491,25
   5. Всего платежей 500 × 240 = 120 000, значит дисконт 120 000 − 64 491,25 = 55 508,75

   Это зеркальное отражение страницы будущей стоимости, которая берёт те же пять входов и получает 260 463,33. Два ответа — один и тот же расчёт, прочитанный в противоположные стороны, и они сходятся точно: 64 491,2532… , выросшие по 0,5833… процента в месяц за 240 месяцев, дают 260 463,3299…. Полезно знать, чтобы не пытаться сократить путь: умножение напечатанного коэффициента 128,98251 на 500 даёт 64 491,255, что округляется до 64 491,26, а не до верного 64 491,25, — коэффициент с пятью знаками предназначен для чтения, а не для умножения.

2. Тот же поток как авансовый аннуитет — 64 867,45

   1. Всё то же самое, только каждые 500 приходят в начале месяца, а не в конце
   2. Значит, каждый платёж на один период ближе к сегодняшнему дню и дисконтируется на один раз меньше
   3. Это ответ для обычного аннуитета, умноженный на (1 + 0,005833…): 64 491,25 × 1,005833… = 64 867,45
   4. Дисконт падает до 120 000 − 64 867,45 = 55 132,55

   На 376,20 больше, чем в обычном случае, при тех же 120 000 платежей — это ровно один месяц процентов на весь поток. Получить деньги раньше стоит именно столько, и стоит тем больше, чем выше ставка и чем длиннее срок; поэтому настройка стоит на странице, а не спрятана в допущениях.

3. 500 в месяц в течение 20 лет при −5 % — дисконт становится надбавкой

   1. Ставка за период: −5 % ÷ 12 = −0,4166… % в месяц
   2. Коэффициент аннуитета при отрицательной ставке превышает число периодов и составляет 413,752…
   3. Приведённая стоимость: 500 × 413,752… = 206 876
   4. Дисконт: 120 000 − 206 876 = −86 876, отрицательное число

   Отрицательная ставка означает, что те же деньги позже стоят больше, чем сейчас, поэтому поток стоит больше, чем складываются платежи, а третья клетка уходит в минус. Это согласованная арифметика, а не сломанный вывод: отрицательная величина и есть надбавка, которую вы сегодня платите за право получать 120 000 в течение двадцати лет в мире, где деньги дешевеют. Отрицательные реальные ставки встречаются редко, но встречаются, и вот что они делают с потоком платежей.

Ставка дисконтирования одна и постоянна на весь срок, и это тот вход, к которому ответ наиболее чувствителен, — а проблема в том, что это же и единственный вход, который никто не может измерить заранее. Ставка номинальная, без поправки на инфляцию, поэтому ответ выражен в валюте платежей, а не в сегодняшней покупательной способности, а за двадцать лет это большая разница. Платежи равны и равноудалены, поэтому поток, растущий вместе с инфляцией, повышающийся по графику или пропускающий период, сюда не помещается: растущему потоку нужна другая формула, а не другое поле ввода. Предполагается, что поток будет выплачен полностью и в срок. Настоящие аннуитеты и мировые соглашения несут кредитный риск того, кто их должен, а пенсия зависит от организации, которая через двадцать лет может существовать, а может и нет; дисконтирование рискованного потока по безрисковой ставке завышает его стоимость — именно поэтому предложение о выкупе обычно оценивают выше безрисковой приведённой стоимости. Налоги не учитываются, аналоговый режим для аннуитета или соглашения может отличаться от режима для базовой инвестиции. Комиссии и стоимость обслуживания схемы тоже не учитываются. Там, где поток — это кредит, который вы погашаете, а не доход, который получаете, то же число означает сумму, которую можно под него занять, а не сумму, которую вы в итоге заплатите. Наконец, случай отрицательной ставки арифметически верен, но достаточно необычен, чтобы сказать это прямо: деньги, дешевеющие на постоянные 5 процентов в год в течение двадцати лет, — не сценарий, по которому стоит планировать, и вывод здесь показывает, что делает формула, а не моделирует прогноз.

Что такое приведённая стоимость аннуитета?

Это то, сколько поток равных платежей стоит сегодня, после дисконтирования каждого платежа от даты его прихода. Своей общей сумме платежи не равны, потому что деньги через двадцать лет купят меньше, чем деньги в следующем месяце. На случае по умолчанию 500 в месяц за двадцать лет складываются в 120 000, но при 7 процентах стоят сегодня 64 491,25, то есть 55 508,75 от номинала — это дисконт, а не комиссия, которую кто-то берёт, а просто следствие времени.

Как посчитать приведённую стоимость аннуитета?

Разделите годовую ставку на число платежей в году и получите ставку за период, умножьте годы на число платежей в году и получите число платежей, затем посчитайте платёж × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i. На числах по умолчанию i равно 0,5833… процента, n равно 240, значит коэффициент равен 128,98250649…, а 500 × на него даёт 64 491,25. Если платежи приходят в начале каждого периода, а не в конце, умножьте ещё на (1 + i) — получится авансовый аннуитет.

Чем обычный аннуитет отличается от авансового?

Тем, внутри какого периода приходит каждый платёж. У обычного аннуитета платежи в конце, у авансового — в начале, а платёж в начале на один период ближе к сегодняшнему дню и дисконтируется на один раз меньше. На потоке по умолчанию это разница между 64 491,25 и 64 867,45 — 376,20, то есть один месяц процентов на весь поток. Аренда и большинство кредитных платежей устроены как обычный аннуитет, а аренда с оплатой вперёд или страховой взнос в начале года — как авансовый.

По какой ставке дисконтировать?

По той, которую вы могли бы заработать на этих деньгах, если бы не вкладывали их, — потому что именно столько вам стоит получение платежей позже. Это та же ставка, что и в любом другом расчёте, иногда её называют барьерной. Это вопрос суждения, а не измерения, и ответ к ней очень чувствителен: более высокая ставка делает любой будущий поток дешевле. Ставка должна отражать и риск, и время, поэтому дисконтирование потока, который могут не выплатить, по ставке государственной облигации завысит его стоимость.

Может ли приведённая стоимость оказаться выше суммы платежей?

Да, при отрицательной ставке. При −5 процентах те же 500 в месяц за двадцать лет стоят 206 876 против 120 000 платежей, а в клетке дисконта стоит −86 876, то есть надбавка, а не скидка. Это формула, работающая правильно при ставке, когда деньги позже стоят больше, а не сломанный вывод. Отрицательные ставки редки, и постоянные −5 процентов на двадцать лет — не прогноз, но этот случай оставлен намеренно: формула, которая молча обходила бы его, скрывала бы допущение.

Важна ли частота платежей?

Она меняет две вещи сразу. Годовая ставка делится на число платежей в году, поэтому при месячных платежах дисконтирование идёт по другой ставке за период, чем при годовых, и число дисконтируемых платежей меняется вместе с этим. При 1000 в год за десять лет под 6 процентов приведённая стоимость равна 7360,09; та же годовая сумма, выплачиваемая как 500 дважды в год, стоит немного больше, потому что каждая половина приходит раньше и дисконтируется меньше. Если же держать неизменным размер платежа, а не годовую сумму, разница окажется куда больше, ведь тогда сравниваются разные суммы денег.

Это то же самое, что будущая стоимость аннуитета?

Это тот же расчёт, направленный в другую сторону. Обе страницы используют один и тот же коэффициент аннуитета: эта умножает его на платёж и получает сегодняшнюю стоимость потока, а страница будущей стоимости умножает на множитель роста и получает то, что окажется на счёте в конце. На входах по умолчанию оба ответа сходятся точно: 64 491,2532, выросшие по 0,5833 процента в месяц за 240 месяцев, дают 260 463,33. Берите эту страницу, когда оцениваете существующий поток, и ту, когда рассчитываете поток, в который будете вносить.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — the United States government's own published annuity factor table, the official present-value-of-an-annuity figures used for valuing annuities in estates — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Annuities — Investor.gov glossary (a series of payments made at fixed intervals, and the contract built on one), the definition this page discounts — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Interest — Investor.gov glossary, for the rate each payment in the stream is discounted at — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)