Калькулятор потенциальной энергии

потенциальная энергия = масса × ускорение свободного падения × высота подъёма

m

Масса поднимаемого тела в килограммах; в том же поле принимаются граммы, тонны и фунты. Энергия растёт от неё по прямой: вдвое большая масса даёт вдвое больше джоулей, как бы высоко вы ни поднимали. А вот в скорость падения масса не входит совсем — это единственное место на странице, где она сокращается, и за этим стоит проследить

h

Высота подъёма в метрах, а также в футах, сантиметрах и дюймах. Это разность уровней, а не высота над уровнем моря: когда коробку несут с первого этажа на третий, в поле идёт расстояние между этажами, около шести метров, а не расстояние до центра Земли. Ноль допустим и является осмысленным ответом: нет подъёма — нет запасённой энергии

g

Ускорение свободного падения там, где происходит подъём, в м/с², ft/s² или в долях стандартного значения. Это то поле, ради которого страницу и открывают: по умолчанию в нём 9,80665, а таблица рядом перечисляет шесть тел, откуда значение можно просто подставить. Лунные 1,62 — шестая часть земных, поэтому тот же подъём запасает шестую часть энергии; солнечные 274 — в двадцать восемь раз больше земных, и человек массой 70 кг весил бы там 19,2 кН

U

Запасённая энергия: в джоулях основной строкой, ниже в килоджоулях и в ft·lb для тех, кто считает в этих единицах. Это работа, которую сила тяжести вернёт, когда тело опустится, и та же работа, которую вы затратили на подъём, — поэтому её и называют гравитационной потенциальной энергией, а не просто потенциальной. На Земле человек массой 70 кг, поднятый на 2 м, запасает 1372,93 Дж, то есть около трети пищевой килокалории

√(2gh)

Скорость падения: с какой скоростью тело пришло бы вниз, если его отпустить с этой высоты. Это та же энергия, увиденная с другого конца: вся запасённая U на пути вниз переходит в кинетическую, а поскольку в обеих частях равенства ½mv² = mgh стоит одно и то же m, масса сокращается и ответ зависит только от высоты и от g. Вдвое большая высота даёт скорость больше всего в 1,41 раза, а не вдвое

Эта страница нужна, когда надо узнать, во что обходится подъём или что даёт падение: подобрать лебёдку или двигатель для крана, посчитать энергию гидроаккумулирующей станции или часов с поднятой гирей, сравнить, что должен отдать аккумулятор на подъём груза, или ответить на школьный вопрос, куда девается энергия у мяча, поднятого над землёй. От обычного умножения mgh эту страницу отличает именно поле g: поставьте 1,62, и тот же подъём обойдётся вшестеро дешевле — ровно поэтому планирование лунных и марсианских миссий без этого числа не обходится. Вторая причина открыть страницу — скорость падения: если высота известна, а нужно понять, с какой силой что-то приземлится, масса, которой вы можете не знать, не понадобится.

1. Значения по умолчанию: 70 кг на 2 м на Земле

   1. Масса 70 кг, высота 2 м, ускорение свободного падения 9,80665 м/с²
   2. Энергия: U = m × g × h = 70 × 9,80665 × 2 = 1372,931 Дж, на экране 1372,93 Дж
   3. В килоджоулях: 1372,931 ÷ 1000 = 1,372931, то есть 1,3729 кДж
   4. В ft·lb: 1372,931 ÷ 1,3558179483 = 1012,6219, то есть 1012,62 ft·lb
   5. Скорость падения: √(2 × 9,80665 × 2) = √39,2266 = 6,2631, то есть 6,26 м/с
   6. Проверка последней строки: ½ × 70 × 6,2631² = 1372,9 Дж — скорость падения это та же энергия, а не отдельный факт

   Энергия равна примерно трети пищевой килокалории, и это полезный масштаб: поднять человека на один этаж стоит около трети килокалории механической работы, а тело тратит в несколько раз больше, потому что мышцы не работают со стопроцентным КПД. Последний шаг объясняет, почему скорость падения вообще попала на эту страницу. Это не отдельная формула, приделанная сбоку, а те же 1372,93 Дж, записанные движением вместо высоты, и проверка это подтверждает. Обратите внимание и на то, чего в скорости падения нет: массы. Уроните человека массой 70 кг и сумку массой 1 кг с 2 м — оба придут вниз на 6,26 м/с, поэтому по высоте падения можно судить о скорости удара, а по весу — только о повреждениях.

2. Бутылка воды, поднятая на стол: 1 кг, 1 м

   1. Масса 1 кг, высота 1 м, ускорение свободного падения 9,80665 м/с²
   2. Энергия: U = 1 × 9,80665 × 1 = 9,80665 Дж, то есть 9,81 Дж
   3. В килоджоулях: 0,00980665, то есть 0,0098 кДж — четыре знака после запятой, а не два
   4. В ft·lb: 9,80665 ÷ 1,3558179483 = 7,2330, то есть 7,23 ft·lb
   5. Скорость падения: √(2 × 9,80665 × 1) = √19,6133 = 4,4287, то есть 4,43 м/с

   Эта строка объясняет, почему у килоджоулей сохраняются четыре знака после запятой вместо двух. На таком масштабе двухзначная запись дала бы 0,01 кДж — это и неверно во втором знаке, и не согласуется с соседней строкой в джоулях: 9,81 Дж это 0,00981 кДж, и панель так и пишет. Скорость падения тоже стоит перечитать: 4,43 м/с — это около 16 км/ч, то есть быстрый бег, и ровно столько набирает бутылка, падая с полки на высоте стола. Малые высоты дают малые энергии, а из-за квадратного корня скорости получаются не такими малыми, как можно было ожидать.

3. Тот же подъём на Луне: 70 кг, 2 м, g = 1,62

   1. Масса 70 кг, высота 2 м, ускорение свободного падения 1,62 м/с² — это Луна
   2. Энергия: U = 70 × 1,62 × 2 = 226,8 Дж, ровно шестая часть тех 1372,93 Дж, что стоят на Земле
   3. В килоджоулях: 0,2268, то есть 0,2268 кДж
   4. В ft·lb: 226,8 ÷ 1,3558179483 = 167,2791, то есть 167,28 ft·lb
   5. Скорость падения: √(2 × 1,62 × 2) = √6,48 = 2,5456, то есть 2,55 м/с

   Каждая строка уменьшается в отношении двух ускорений, 1,62 ÷ 9,80665 = 0,1652, и это отношение и есть весь смысл того, что g вынесено в поле ввода, а не вписано в формулу как 9,81. Скорость падения уменьшается тоже, но в корне из этого отношения, а не в нём самом: 6,2631 × √0,1652 = 2,5456, то есть 2,55. Разницу между линейным и корневым откликом стоит заметить. Астронавт на съёмках «Аполлонов» прыгает, а не ходит, именно поэтому: тот же толчок ногой, который на Земле поднимает его на 20 см, здесь поднимает на 1,2 м, а падение с такой высоты получается медленнее и мягче.

Высота здесь — разность двух уровней, поэтому ответ даёт энергию именно этого подъёма, а не полную энергию тела по положению: уровень отсчёта там, где вы его назначите. Ускорение свободного падения считается постоянным на всём подъёме — это точно в пределах здания и неверно на расстояниях, сравнимых с радиусом планеты. Боковое движение не рассматривается: тело начинает и заканчивает движение в покое. Сопротивление воздуха в скорости падения не учитывается, как и вращение Земли и выталкивающая сила воздуха.

Какова формула потенциальной энергии?

U = m × g × h: масса, умноженная на ускорение свободного падения и на высоту подъёма. Человек массой 70 кг, поднятый на 2 м на Земле, запасает 70 × 9,80665 × 2 = 1372,93 Дж. Формула состоит из одного умножения, поэтому интересна на этой странице не арифметика, а две величины, которые можно менять: ускорение свободного падения, превращающее тот же подъём в шестую часть энергии на Луне, и высота, которая является разностью двух уровней, а не высотой над уровнем моря.

Почему скорость падения не зависит от массы?

Потому что масса стоит в обеих частях баланса энергии и сокращается. Падение переводит запасённую энергию в кинетическую, значит m × g × h = ½ × m × v², и после деления обеих частей на m остаётся g × h = ½v², откуда v = √(2gh). Человек массой 70 кг и сумка массой 1 кг, сброшенные с 2 м, придут вниз на одинаковых 6,26 м/с. Более тяжёлое тело несёт больше энергии — это те самые 1372,93 Дж, — но ему и нужно больше энергии, чтобы разогнаться, и оба эффекта сокращаются ровно.

Что даёт подъём на вдвое большую высоту?

Запасённая энергия удваивается, а скорость падения вырастает только в 1,41 раза, то есть в корень из двух. Переход с 2 м на 4 м увеличивает энергию подъёма 70 кг с 1372,93 Дж до 2745,86 Дж, а скорость приземления идёт с 6,26 м/с до 8,86 м/с, а не до 12,5. Это стоит запомнить: то же соотношение заставляет тормозной путь автомобиля расти как квадрат скорости — энергия идёт за высотой, а скорость лишь за корнем из неё.

Какое ускорение свободного падения брать для Луны и Марса?

Таблица рядом с калькулятором перечисляет и то и другое: у Луны 1,62 м/с², у Марса 3,71 против земных 9,80665. Это средние значения для поверхности, они различаются примерно на процент внутри каждого тела, что гораздо меньше различий между телами, поэтому для расчёта миссий они и годятся. У Юпитера указано 24,79 м/с², но учтите, что его «поверхность» — это уровень давления в 1 бар, а не твёрдая земля, а солнечные 274 относятся к фотосфере: человек массой 70 кг весил бы там 19,2 кН.

Потенциальная энергия и кинетическая энергия — это одно и то же?

Это одна и та же величина в двух формах, и вторая половина этой страницы как раз про обменный курс между ними. Энергия, запасённая высотой, освобождается как энергия движения на пути вниз: 1372,93 Дж подъёма 70 кг на 2 м становятся 1372,93 Дж кинетической энергии в момент перед приземлением, то есть ровно теми 6,26 м/с, которые показывает страница. Калькулятор кинетической энергии идёт с другого конца и даёт высоту, нужную для заданной скорости, так что эти две страницы обратны друг другу, а не дублируют одна другую.

• Gravitational Potential Energy (College Physics 2e, §7.3) — U = mgh, the choice of reference level, and the conversion between stored energy and falling speed — OpenStax
• Gravitational energy — the mgh form, its limits, and why the mass cancels out of the impact speed — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the foot pound-force row (1 ft·lbf = 1.355 818 J) that this page's third row is converted with — NIST