Калькулятор модуля ускорения

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

aₓ

Компонента ускорения по x, в метрах в секунду в квадрате; футы в секунду в квадрате и стандартные ускорения свободного падения стоят в том же поле. Знак — это направление, а не величина, поэтому отрицательное значение совершенно обычный ввод, означающий, что ускорение направлено в другую сторону вдоль этой оси. Оставляйте пустой только строку z: x и y — это то, без чего страница не обойдётся

a_y

Компонента по y, в тех же единицах и по тому же правилу о знаках. В формулу она входит в квадрате, точно как две другие, поэтому порядок осей не имеет никакого значения: поворот всей картины вокруг оси z изменит три компоненты, но не может изменить модуль. Именно это свойство и делает величину модулем вектора, а не произвольной комбинацией

a_z

Компонента по z, и она необязательна: оставьте поле пустым, и страница будет считать задачу двумерной, что то же самое, что вписать 0. Она здесь потому, что настоящие ускорения не всегда плоские: автомобиль на вираже с поперечным уклоном, мяч, покидающий руку, всё, что измерено трёхосевым акселерометром, имеет все три. Значение по умолчанию 0 оставляет первый экран плоской задачей

|a|

Модуль, в м/с² и в стандартных ускорениях свободного падения. Это длина вектора ускорения, и она никогда не может быть отрицательной, потому что возведение в квадрат убирает все знаки до того, как что-либо складывается. Вторая строка — то же число, поделённое на 9,80665, то есть на стандартное ускорение свободного падения: это второй способ записать один результат, а не второй результат, и существует он потому, что 30 м/с² большинству читателей говорят меньше, чем 3 g

Эта страница нужна, когда ускорение разложено на компоненты и требуется его размер: трёхосевой вывод акселерометра, автомобиль на вираже с поперечным уклоном, где ускорение имеет и поперечную, и вертикальную часть, снаряд в момент, когда он не в верхней и не в нижней точке, или список компонент из расчёта, который надо сверить с одним измеренным числом. Она же нужна, когда вопрос в том, велико ли ускорение: вторая строка переводит его в g, а g — та единица, в которой 30 м/с² становится сравнимо с 1 g неподвижного стояния. Два замечания. Первое: компоненты должны быть взаимно перпендикулярны и выражены в одной единице; это модуль вектора, а не способ объединить три ускорения, которые просто оказались перечислены рядом. Второе: страница не скажет, куда ускорение направлено, и если это нужно, то для плоскости хватает двух компонент, а угол есть арктангенс отношения между ними, — но направление в трёхмерном пространстве требует двух углов, и одного числа для печати просто нет. Три причины, по которым направление не выводится, стоит знать заранее: во-первых, два угла в одно число не помещаются; во-вторых, угол на плоскости становится неопределённым, когда ускорение направлено точно вдоль оси z, и очевидная попытка вернуть в этом случае ноль напечатала бы направление 0 градусов, то есть «вдоль оси x», а это прямая ложь; в-третьих, отказаться отвечать тоже нельзя, потому что вопрос «как велико ускорение, направленное вертикально» совершенно законен, а обработка такого случая через исключение превратила бы его в сообщение об ошибке. Ту же операцию над вектором скорости делает отдельная страница: действие то же самое, отличается только величина.

1. Значения по умолчанию: 3, 4 и 0 — треугольник 3-4-5

   1. Квадраты: 3² = 9, 4² = 16, 0² = 0
   2. Складываем: 9 + 16 + 0 = 25
   3. Корень: √25 = 5
   4. Итак, модуль равен ровно 5 м/с², а z не даёт ничего, потому что равен нулю
   5. В единицах стандартного ускорения свободного падения: 5 ÷ 9,80665 = 0,510, показывается как 0,51 g

   Каждый шаг здесь можно проделать в уме, и именно поэтому значения по умолчанию такие: 9 плюс 16 будет 25, а корень из 25 равен 5 — ни калькулятора, ни округления. Обратите внимание, чего не произошло: три компоненты не сложились в 7. Это самая частая ошибка на этой странице, и стоит увидеть, почему это ошибка, а не другая договорённость: компонента, направленная вдоль y, ничего не добавляет к длине в направлении x, поэтому две величины надо объединять под прямым углом — а это как раз то, что делает возведение в квадрат с последующим корнем.

2. Настоящий трёхмерный случай: 1, 2 и 2

   1. Квадраты: 1² = 1, 2² = 4, 2² = 4
   2. Складываем: 1 + 4 + 4 = 9
   3. Корень: √9 = 3
   4. Модуль 3 м/с², и вклад дают все три компоненты
   5. В единицах стандартного ускорения свободного падения: 3 ÷ 9,80665 = 0,306 g

   Именно компонента z и отличает эту строку от первой, и она же ловит реализацию, которая её тихо игнорирует: без z получилось бы √5 = 2,236, то есть на четверть меньше — и на экране это выглядит совершенно правдоподобно. Это ещё и наименьшая из целочисленных троек, которым нужны все три оси: 1-2-2 даёт 9 и в корне 3, и то же семейство продолжается через 2-3-6, дающее 7, и 3-4-12, дающее 13. Но коротким списком семейство не исчерпывается: 1-4-8 даёт 9, а 6-10-15 даёт 19, и обе тройки лежат в том же диапазоне, так что запоминать стоит форму, а не членов: умножение любой из них на целое число даёт ещё одну, ведь 1-2-2, удвоенная, есть 2-4-4, и модуль удваивается вместе с ней. Полезная привычка — сверять любой ответ с наибольшей из компонент: модуль никогда не бывает меньше самой большой из трёх, и здесь 3 против наибольшей компоненты 2 — с явным запасом.

3. Разные знаки: 3, −4 и 12

   1. Квадраты: 3² = 9, (−4)² = 16, 12² = 144 — минус здесь исчезает
   2. Складываем: 9 + 16 = 25, затем 25 + 144 = 169
   3. Корень: √169 = 13
   4. Модуль 13 м/с² — тот же, каким он был бы для 3, 4 и 12
   5. В единицах стандартного ускорения свободного падения: 13 ÷ 9,80665 = 1,326 g

   Отрицательная компонента и есть смысл этой строки, и порядок сложения — тоже: 9 плюс 16 будет 25, а 25 плюс 144 будет 169, то есть 13 в квадрате. Складывать в два приёма, а не в один, — это ровно то, что означает формула: сначала объединить первые две компоненты по теореме Пифагора, а потом объединить результат с третьей, перпендикулярной к обеим. Исчезновение знака — не особый случай, который где-то в коде обрабатывается отдельно: возведение в квадрат убирает его само, и поэтому страница вообще принимает отрицательные значения и поэтому же никогда не может вернуть отрицательный ответ.

Модуль — это только часть вектора, и потеря направления теряет настоящую информацию: предмет, ускоряющийся на 1 g вверх, и предмет, ускоряющийся на 1 g вбок, дают здесь одно и то же число и ведут себя совершенно по-разному, а автомобиль, идущий в повороте с перегрузкой 1 g, — это не то же самое, что автомобиль, тормозящий с перегрузкой 1 g. Ничего о том, что именно здесь происходит, страница не говорит. Формула к тому же требует, чтобы три компоненты были перпендикулярны и измерены в одной единице и в один и тот же момент: компоненты из двух разных систем координат или снятые в два разных момента сложатся в число, которое выглядит нормально и не означает ничего. Страница при этом не специфична для ускорения: она с тем же успехом сложит три компоненты скорости, и такой ответ тоже будет верен, — а знать это стоит, потому что значит это, что арифметика не проверяет, ту ли величину вы вообще подставили. Строка в g — это пересчёт, а не порог, поэтому никакого суждения о том, переносимо ли значение или комфортно ли оно, она не несёт; эти пределы принадлежат ситуации и длительности, а не числу. И то, что поле z необязательно, означает, что двумерная задача и по-настоящему плоская трёхмерная на экране неразличимы: здесь это безвредно, но помнить об этом стоит, если вы переносите входные данные в отчёт.

Какова формула модуля ускорения?

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²): возведите каждую компоненту в квадрат, сложите квадраты и извлеките корень. Для плоского случая с компонентами 3 и 4 это √(9 + 16) = √25 = 5 м/с². Это теорема Пифагора, применённая дважды, потому что три оси взаимно перпендикулярны: модуль есть длина диагонали параллелепипеда, который натягивают компоненты. Результат никогда не бывает отрицательным, так как возведение в квадрат убирает знак каждой компоненты ещё до сложения.

Почему нельзя просто сложить компоненты?

Потому что они направлены в разные стороны. Компонента вдоль y ничего не добавляет к тому, насколько далеко ускорение простирается вдоль x, а сложение обращается с двумя перпендикулярными величинами так, будто они лежат на одной прямой. При компонентах 3 и 4 сумма равна 7, тогда как настоящий модуль равен 5, и ошибка тут не маленькая: здесь это 40 процентов, и она растёт по мере того, как компоненты становятся всё более неравными. Единственный случай, когда складывать верно, — когда все компоненты, кроме одной, равны нулю, а это и не случай вовсе: он означает, что ускорение и так лежит вдоль единственной оси.

Почему страница не выдаёт направление ускорения?

Потому что направление в трёхмерном пространстве требует двух углов, а страница может напечатать только одно число. Угол, работающий на плоскости, — это арктангенс компонент y и x, но он измеряется как проекция и становится неопределённым, когда ускорение направлено точно вдоль оси z: никакого направления в плоскости xy там нет, как нет долготы на Северном полюсе. Очевидное решение — позволить этому случаю вернуть ноль — напечатало бы направление 0 градусов, что читается как «вдоль оси x» и было бы прямой ложью. Альтернатива, отказ отвечать, превратила бы совершенно разумный вопрос о вертикальном ускорении в сообщение об ошибке. Поэтому страница сообщает только размер; если же для плоской задачи направление нужно, посчитайте арктангенс двух компонент.

Могут ли компоненты быть отрицательными?

Да, и на этой странице они обычно и бывают такими, потому что отрицательная компонента означает, что ускорение направлено в другую сторону вдоль этой оси, а не то, что оно меньше. Возведение в квадрат убирает знак, поэтому 3, −4, 12 дают те же 13 м/с², что и 3, 4, 12: модулю вектора всё равно, куда он направлен. Этим же объясняется и то, почему ответ никогда не отрицателен, и то, почему результат ровно 0 — настоящий ответ, а не ошибка: он означает, что тело не ускоряется вовсе, а это исчерпывающее описание равномерного движения.

Обязательно ли заполнять компоненту z?

Нет. Пустое поле считается нулём, и задача становится двумерной, а это то, что нужно для всего, что происходит на плоскости: автомобиль на ровной дороге, шайба на столе, снаряд в обычной идеализации. Заполняйте его, когда у ускорения действительно есть третья компонента: автомобиль на вираже с поперечным уклоном, мяч, брошенный под углом, или сырой вывод трёхосевого акселерометра, у которого всегда три числа, важна третья или нет. Значение по умолчанию 0, так что страница открывается плоской задачей, а третью ось можно добавить, когда она понадобится.

Что такое перегрузка и зачем нужна строка в g?

Это тот же модуль, поделённый на 9,80665 м/с² — определённое значение стандартного ускорения свободного падения, — чтобы ускорение можно было выразить кратным g. Строка здесь потому, что g — та единица, которую люди действительно чувствуют: 30 м/с² сами по себе говорят мало, тогда как 3 g мгновенно опознаются как аттракцион, а 0,1 g читается как трогающийся лифт. Это же та строка, которая превращается в силу: ускорение в n g означает, что всё, что вас удерживает, должно толкать с силой в n раз больше вашего веса, и поэтому 10 g — предел для человека, а не курьёз. И всё же это второй способ записать один результат, а не второй результат, и никакого суждения о том, велико ли значение, он не несёт: 0,1 g и 30 g обычны каждая в своём контексте, а переносимость ускорения определяется тем, как долго оно длится, не меньше, чем тем, насколько оно большое.

• Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods (College Physics 2e, §3.3) — resolving a vector into perpendicular components and recombining them with the Pythagorean theorem — OpenStax
• Euclidean vector — magnitude as the norm of a vector, the sign of a component as direction rather than size, and why a direction in three dimensions needs two angles — Wikipedia
• NIST Guide to the SI, Appendix B.9: Factors for Units Listed by Kind of Quantity — the ACCELERATION section, and standard gravity as the defined 9.806 65 m/s² — National Institute of Standards and Technology