Калькулятор углового ускорения

угловое ускорение = ( конечная угловая скорость − начальная угловая скорость ) ÷ время число оборотов = средняя угловая скорость × время

ωн

Начальная угловая скорость, по умолчанию в rpm (об/мин) — поле принимает также рад/с, °/с и об/с. Оставьте ноль для всего, что начинает движение из состояния покоя

ωк

Конечная угловая скорость, в тех же единицах. Меньшая, чем начальная, — допустимое и осмысленное значение: ответ выходит отрицательным, а это и есть замедление

t

Время, за которое происходит изменение, в секундах — поле принимает также минуты. Оно должно быть больше нуля, и страница предполагает, что изменение распределено по нему равномерно

α

Угловое ускорение — основной результат в рад/с², а также в об/мин за секунду и в °/с². Знак следует за изменением скорости: отрицательное α означает, что вращение замедляется

N

Число оборотов за время изменения, то есть средняя угловая скорость, умноженная на время, — то самое число, по которому видно, есть ли у машины место выполнить разгон

Эта страница нужна, когда что-то вращается и надо понять, с какой силой его раскручивают: двигатель подбирает нагрузку, тормоз останавливает маховик, разгоняется центрифуга, раскручивается жёсткий диск, ускоряется колесо. Это вращательный двойник страницы линейного ускорения, и та же интуиция переносится сюда целиком: при заданном изменении скорости чем короче время, тем больше ускорение и тем больший момент потребуется, чтобы его создать. Две привычки делают ответы полезнее. Во-первых, читайте число оборотов так же внимательно, как ускорение: именно оно обычно и решает, годится ли конструкция, — разгон на 125 оборотов требует кожуха с запасом на 125 оборотов, а тормоз, останавливающий вал за секунду, обязан поглотить всю энергию за эту одну секунду. Во-вторых, следите за знаком, но не приписывайте ему лишнего: отрицательное α говорит, что вращение замедляется, а не то, что оно пошло назад, и страница не отличает контролируемое торможение от отказа. Кинематика вращения здесь чистая: момент, инерция и нагрев остаются за пределами страницы.

1. Барабан стиральной машины: из покоя до 1200 об/мин за 8 секунд

   1. Изменение угловой скорости: 1200 − 0 = 1200 об/мин
   2. В об/мин за секунду: 1200 ÷ 8 = 150 об/мин за секунду
   3. В рад/с²: 1200 об/мин = 125,664 рад/с, и 125,664 ÷ 8 = 15,708 рад/с²
   4. В °/с²: 15,708 × 57,2958 = 900
   5. Средняя угловая скорость: 600 об/мин = 10 об/с
   6. Оборотов за разгон: 10 × 8 = 80

   Это бытовой случай, и самое полезное число здесь — последнее. Восемьдесят оборотов за восемь секунд — это то, что барабан должен успеть сделать, пока бельё не сбьётся в ком и не остановит двигатель; именно поэтому отжим раскручивается постепенно, а не включается сразу на полную. Обратите внимание и на то, как три единицы ускорения делят между собой один и тот же физический факт: 15,708 рад/с² и 150 об/мин за секунду — это одно и то же число, а в °/с² оно выглядит большим только потому, что в обороте 360 градусов.

2. Пластина жёсткого диска: из покоя до 7200 об/мин за 10 секунд

   1. Изменение угловой скорости: 7200 об/мин
   2. В об/мин за секунду: 7200 ÷ 10 = 720 об/мин за секунду
   3. В рад/с²: 7200 об/мин = 753,982 рад/с, и 753,982 ÷ 10 = 75,398 рад/с²
   4. В °/с²: 4320
   5. Средняя угловая скорость: 3600 об/мин = 60 об/с
   6. Оборотов за разгон: 60 × 10 = 600

   Тот же расчёт, но машина, для которой ответ важен. 75,398 рад/с² — это в пять раз больше, чем у стиральной машины, и пластина успевает пройти 600 оборотов, пока набирает скорость; отсюда и износ подшипников у диска, который часто останавливают и раскручивают заново, и привычка держать диски во вращении, а не останавливать их между чтениями. Десять секунд для современного диска намеренно много: ноутбучный доходит до рабочей скорости примерно за три, и это возможно только потому, что его пластина достаточно мала и легка, чтобы хватило момента.

3. Тормоз останавливает вал с 1500 об/мин за 4 секунды

   1. Изменение угловой скорости: 0 − 1500 = −1500 об/мин
   2. В об/мин за секунду: −1500 ÷ 4 = −375 об/мин за секунду
   3. В рад/с²: 1500 об/мин = 157,080 рад/с, значит −157,080 ÷ 4 = −39,27 рад/с²
   4. В °/с²: −2250
   5. Средняя угловая скорость: 750 об/мин = 12,5 об/с
   6. Оборотов за остановку: 12,5 × 4 = 50

   Смысл этого примера целиком в знаке: все три столбца ускорения отрицательны, а число оборотов — нет, потому что вал всё ещё вращается вперёд, просто медленнее. Пятьдесят оборотов проходят между моментом, когда нажали на тормоз, и остановкой, и вся энергия вращения вала должна уйти именно за эти пятьдесят оборотов. В этом и разница между тормозом и сцеплением: тормоз обязан превратить кинетическую энергию в тепло, а скорость этого превращения пропорциональна как раз этому ускорению — поэтому первая секунда аварийного торможения и есть та секунда, которая и припекает диск.

Страница предполагает постоянное угловое ускорение — что скорость меняется от начала к концу равномерно. У настоящего двигателя есть кривая момента, а не фиксированное ускорение, поэтому разгон идёт по графику скорости не по прямой, и полученное число оборотов оказывается средней величиной, которая не совпадёт с машиной с плавным пуском. Ничего здесь не сказано о моменте и моменте инерции: угловое ускорение — это кинематика, а чтобы перевести его в силу, которую должен обеспечить двигатель, нужен вращательный вариант второго закона Ньютона, τ = Iα, плюс момент инерции всего, что насажено на вал. Нет здесь ни момента импульса, ни энергии: тормоз, останавливающий вал, должен рассеять ½Iω² за время остановки, и сколько это, страница не скажет. Расчёт чисто вращательный — колесо, которое разгоняют, пока сама машина едет, имеет и линейное ускорение, а связано оно с угловым через радиус, которого страница не спрашивает. Смена направления не обрабатывается: угловая скорость, меняющая знак, проходит через ноль, и предположение о постоянном ускорении для такого движения плохо. И наконец, странице всё равно, откуда берётся ускорение, поэтому она спокойно выдаст ускорение, которого не даст ни один реальный двигатель или тормоз, и ничего не скажет о вибрации, нагрузке на подшипники и нагреве, которыми такой разгон сопровождался бы.

Как посчитать угловое ускорение?

Вычтите начальную угловую скорость из конечной и разделите на затраченное время: α = (ωк − ωн) ÷ t. Разгон из покоя до 3000 об/мин за 5 секунд — это изменение на 3000 об/мин за 5 с, то есть 600 об/мин за секунду, или 62,832 рад/с². Если ответ вышел отрицательным, вращение замедляется, а не ускоряется; страница печатает все три единицы сразу, чтобы вы взяли ту, которая принята в вашем паспорте на оборудование.

Какая формула даёт ответ в рад/с²?

Та же самая, только скорости сначала переводятся: один оборот в минуту — это 2π ÷ 60 = 0,10472 рад/с, значит 3000 об/мин = 314,159 рад/с, и деление на 5 с даёт 62,832 рад/с². В обратную сторону: умножьте рад/с² на 9,5493 и получите обороты в минуту за секунду. Перевод не меняет физику — он меняет только то, какую из трёх строк вы читаете.

Почему угловое ускорение отрицательное?

Потому что конечная скорость ниже начальной, а формула вычитает одну из другой, так что замедление выходит со знаком минус. Вал, идущий с 1500 об/мин до остановки за 4 секунды, даёт α = −39,27 рад/с². Знак говорит, что вращение замедляется, а не что оно идёт назад: число оборотов остаётся положительным всё время, потому что вал всё это время вращается вперёд.

Зачем нужно число оборотов?

Это количество оборотов, которое тело делает, пока его скорость меняется, — средняя угловая скорость, умноженная на время. Обычно именно оно решает, годится ли конструкция: барабан, разгоняющийся до 1200 об/мин за 8 секунд, проходит 80 оборотов, и машина, у которой есть место только на 50, такой разгон просто не выполнит. То же число подсказывает, сколько нужно тормозной поверхности: вся энергия вращения должна уйти за эти обороты.

Как угловое ускорение связано с моментом?

Через вращательную форму второго закона Ньютона: τ = Iα, где τ — момент, а I — момент инерции. Эта страница даёт кинематику и ничего больше, а чтобы найти момент, который должен развить двигатель, нужен момент инерции всего, что насажено на вал: для сплошного диска это ½mr², для кольца — mr². Именно поэтому один и тот же разгон требует куда более мощного двигателя у загруженной центрифуги, чем у пустой: α одинаково, а I — нет.

Важно ли, что скорость меняется неравномерно?

Да, и страница предполагает, что она меняется равномерно. Постоянное угловое ускорение — это прямая от начальной скорости к конечной, и тогда число оборотов равно просто полусумме скоростей, умноженной на время. Настоящий двигатель с плавным пуском меняет скорость неравномерно, поэтому фактическое число оборотов будет другим: страница годится для прикидки и проверки, но не для того, чтобы предсказать, где именно окажется вал реальной машины после разгона.

• Angular Acceleration (College Physics 2e, §10.1) — α = Δω ÷ Δt, the definition of angular acceleration, and the rotational kinematics equations built on it — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the radian as the coherent unit of angle and the radian per second squared as the unit of angular acceleration, with the exact factors for degrees and revolutions — National Institute of Standards and Technology
• Angular acceleration — the relation to torque and moment of inertia that this page deliberately leaves out, and the sign convention for a decelerating rotation — Wikipedia