Калькулятор перемещения

перемещение = u × t + ½ × a × t² конечная скорость = u + a × t средняя скорость = перемещение ÷ t

u

Начальная скорость в метрах в секунду, со знаком — поле принимает также км/ч, mph и ft/s. Отрицательное значение означает, что к началу отсчёта тело уже движется в другую сторону, и страница это намеренно допускает

a

Ускорение в м/с², со знаком. Отрицательное — это торможение, то есть самое частое применение этой страницы; поле принимает также ft/s² и кратные стандартного ускорения свободного падения, так что торможение в 1 g это 9,80665 м/с²

t

Время в секундах — поле принимает также минуты и часы. Оно должно быть положительным: на него делит средняя скорость, поэтому ноль отвергается, а не выдаётся бесконечной скоростью

s

Перемещение, ut + ½at², в метрах и футах. Это расстояние по прямой от точки старта, со знаком, а не длина траектории

v

Конечная скорость, u + at, в м/с и км/ч. Она берётся из собственной формулы, а не из перемещения: перемещение — это площадь под графиком скорости, а конечная скорость — его высота, и друг от друга они не зависят

Эта страница нужна для любого движения с постоянным ускорением: тормозной путь, разбег при взлёте и пробег при посадке, мяч, брошенный вверх и падающий обратно, поезд, отходящий от станции, машина, вливающаяся в поток на автомагистрали, время хода лифта, первые секунды спринтера. Она отвечает на два вопроса, которых не решает расчёт по скорости, расстоянию и времени, потому что тот предполагает скорость неизменной. Первый — сколько тело пройдёт до полной остановки при заданном замедлении, то есть тормозной путь, и это самое полезное число на этой странице для водителя. Второй — меняет ли тело направление вообще, потому что именно там перемещение и путь перестают совпадать, и читатель, которому показали только перемещение, примет ноль за ошибку. Обратите внимание, откуда берётся ускорение: страница считает его заданным, а задаёт его коэффициент трения, который может дать дорога, так что честная цепочка для тормозного пути идёт от покрытия через страницу коэффициента трения и уже в эту. Кинематика здесь чистая: откуда взялось ускорение, страница не спрашивает.

1. Автомобиль на 32,92 км/ч, тормозящий с 1,8288 м/с² десять секунд

   1. 32,92 км/ч — это 9,144 м/с, а 1,8288 м/с² — замедление (поля считают в единицах СИ)
   2. Перемещение: 9,144 × 10 + ½ × (−1,8288) × 100 = 91,44 − 91,44 = 0 м
   3. Пройденный путь: машина останавливается на 5-й секунде и катится назад, то есть 22,86 м туда и 22,86 м обратно, всего 45,72 м
   4. Конечная скорость: 9,144 + (−1,8288) × 10 = −9,144 м/с, то есть назад машина катится с той же скоростью, с какой начинала
   5. Средняя скорость: 0 ÷ 10 = 0 м/с

   Это и есть тот пример, ради которого страница существует. Перемещение равно нулю, а одометр показывает 45,72 м, и оба правы: тело вернулось туда, откуда вышло. Любой, кто задал бы странице один вопрос и получил 0, с полным основанием решил бы, что она сломалась, поэтому пройденный путь стоит отдельной строкой, а не сноской. На конечную скорость тоже стоит посмотреть: она отрицательна и равна по модулю начальной, потому что симметричное замедление за вдвое большее время возвращает тело к старту. А строка средней скорости говорит вещь, которая многих удивляет, — 0 м/с, что верно и бесполезно, и показывает, почему усреднять скорости, через которые тело прошло, не то же самое, что усреднять по всему пути.

2. Автомобиль разгоняется с места до 96,56 км/ч за 5 секунд

   1. 96,56 км/ч — это 26,8224 м/с, значит нужное ускорение 26,8224 ÷ 5 = 5,36448 м/с²
   2. Перемещение: 0 × 5 + ½ × 5,36448 × 25 = 67,06 м
   3. Пройденный путь: те же 67,06 м, потому что машина ни разу не поворачивает назад
   4. Конечная скорость: 5,36448 × 5 = 26,82 м/с, то есть 96,56 км/ч
   5. Средняя скорость: 67,06 ÷ 5 = 13,41 м/с, ровно половина конечной

   67 метров — вполне реальная цифра для бодрой машины, а 5,36 м/с² это около 0,55 g, то есть на пределе того, что способен дать с места переднеприводный семейный автомобиль. Последний шаг и есть полезное тождество: с места средняя скорость ровно вдвое меньше конечной, поэтому путь равен конечной скорости, умноженной на половину времени. Этот приём годится только при постоянном ускорении и нулевой начальной скорости, и это самый быстрый способ прикинуть, разумен ли ответ, который вам выдала страница.

3. Тормозной путь со 112,65 км/ч при замедлении 1 g

   1. 112,65 км/ч — это 31,2928 м/с; замедление в 1 g это 9,80665 м/с²
   2. Время до остановки: 31,2928 ÷ 9,80665 = 3,19 с
   3. Перемещение: 31,2928 × 3,191 + ½ × (−9,80665) × 3,191² = 99,86 − 49,93 = 49,93 м
   4. Конечная скорость: 0 м/с — машина стоит
   5. Средняя скорость: 49,93 ÷ 3,191 = 15,65 м/с, половина начальной

   Немного меньше пятидесяти метров, и это то число, которое водителю стоит носить с собой: 1 g — примерно лучшее, что даёт сухая дорога обычной машине, и именно его показывает аварийное торможение. Читайте его рядом со временем реакции, которого страница не моделирует: водитель, которому нужна секунда, чтобы перенести ногу на педаль, проедет ещё 31 м до начала торможения, так что реальная дистанция со 112,65 км/ч ближе к 80 м. Отсюда же видно, почему скорость так дорого стоит: тормозной путь растёт как квадрат скорости, поэтому 112,65 км/ч требуют примерно вдвое больше места, чем 80 км/ч, а последние километры в час перед ударом и решают, насколько всё будет плохо.

Здесь всё предполагает постоянное ускорение, а в реальном мире постоянно почти ничего: тормоза машины не идеально прогрессивны, сопротивление воздуха растёт как квадрат скорости, а заблокированное колесо ведёт себя не так, как катящееся. Страница одномерна, то есть описывает движение вдоль прямой; всё, что изгибается, — поворот, полёт брошенного тела, мяч, брошенный под углом, — это тот же расчёт по каждой оси отдельно, и итог получается векторной суммой, а не тем числом, которое печатает страница. Правило знаков здесь важно и легко ошибиться: начальную скорость и ускорение надо отсчитывать вдоль одного и того же направления, и тормозящей машине с положительной начальной скоростью нужно отрицательное ускорение, а не меньшее положительное. Тело считается точкой, поэтому ничего не говорится о колёсной базе, ходе подвески и о том, что настоящая машина при торможении клюёт носом. Никакой помощи с происхождением ускорения страница не даёт: трение, которое может дать дорога, зависит от покрытия и шин, и именно страница коэффициента трения превращает покрытие в м/с². И наконец, выход пройденного пути предполагает, что тело разворачивается не более одного раза, — больше постоянное ускорение дать и не может; всё, что колеблется, из этой модели выпадает.

Какова формула перемещения?

s = ut + ½at², одно из стандартных уравнений кинематики для постоянного ускорения, где u — начальная скорость, a — ускорение, t — время. С места при 2 м/с² в течение 5 секунд это 0 + ½ × 2 × 25 = 25 м, а конечная скорость v = u + at = 10 м/с. Множитель ½ и есть причина, по которой путь растёт как квадрат времени: вдвое больше времени с места дают вчетверо больший путь.

Чем перемещение отличается от пройденного пути?

Перемещение — это прямая от точки старта до точки финиша, с направлением; пройденный путь — сколько тело реально прошло. Торможение с 10 м/с при 2 м/с² в течение 10 секунд уводит его на 25 м вперёд и на 25 м назад: перемещение 0 м, пройденный путь 50 м. Оба верны, поэтому страница и печатает оба: водителю с одометром нужны 50, а человеку, рисующему схему, — 0.

Как посчитать тормозной путь?

Возьмите s = ut + ½at² с отрицательным ускорением и остановите расчёт, когда конечная скорость дойдёт до нуля. Со 112,65 км/ч (31,29 м/с) при 1 g время до остановки 3,19 с, а путь 49,9 м. В реальном вождении в эту цифру не входят две вещи: время реакции до нажатия на тормоз — одна секунда на 112,65 км/ч это ещё 31 м — и само замедление 1 g, которое даёт только сухая дорога.

Средняя скорость это то же самое, что (u + v) ÷ 2?

Да, когда ускорение постоянно, — и она же равна перемещению, делённому на время, что даёт то же число. С места до 26,82 м/с за 5 секунд оба пути дают 13,41 м/с. Расходятся эти два определения в тот момент, когда тело разворачивается: в примере, который возвращается к старту, (u + v) ÷ 2 тоже равно нулю, но это совпадение симметрии, а вообще осмысленным остаётся именно перемещение, делённое на время.

Что означает отрицательное перемещение?

Что тело закончило движение по другую сторону от точки старта, если мерить вдоль того направления, которое вы выбрали положительным. Это направление, а не ошибка. То же касается скорости и ускорения: в задаче о торможении начальная скорость положительна, а ускорение отрицательно, и читатель, введший оба числа положительными, получит машину, которая исправно разгоняется вместо того, чтобы останавливаться, и никакого сообщения об ошибке не увидит.

Что будет, если ускорение равно нулю?

Формула сводится к s = ut, и страница превращается в обычный расчёт «скорость, умноженная на время», а это работа страницы о скорости, расстоянии и времени. Такое значение здесь законно и ошибкой не считается — это граничный случай, где обе страницы согласны, — а конечная скорость просто равна начальной. Все интересные случаи на этой странице идут с ненулевым ускорением, а именно их другая страница выразить и не может.

• Displacement (College Physics 2e, §2.1) — displacement as a signed straight-line quantity, and how it differs from the distance walked — OpenStax
• Equations of motion — the kinematic equations for constant acceleration, the sign conventions, and the standard braking-distance derivation — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the metre, the second and the exact mile and foot factors used to convert the speeds in the examples above — National Institute of Standards and Technology