Перейти к основному содержанию
CalcMax

Калькулятор общего знаменателя

Результат

60

Наименьший общий знаменатель

Дроби с общим знаменателем
45/60, 50/60, 42/60

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее число, на которое без остатка делится каждый знаменатель набора дробей. Для 3/4, 5/6 и 7/10 это 60: 60 — это 15 четвёрок, 10 шестёрок и 6 десятков, и никакое меньшее число не подходит для всех трёх сразу. В записи эти дроби превращаются в 45/60, 50/60 и 42/60 — те же значения с одним общим знаменателем, то есть ровно в ту форму, которая нужна, прежде чем дроби можно складывать, вычитать или сравнивать: числитель и знаменатель каждой дроби умножены на одно и то же число, а от этого значение не меняется. К ответу ведут два шага, и первый легко пропустить. Сокращение дробей — шаг обязательный: 6/8 и 3/4 — равные дроби, но знаменатели у них разные, и если читать знаменатель, не сократив дробь, получится общий знаменатель, но не наименьший. Сократите 6/8 и 10/12 до 3/4 и 5/6 — и ответ будет 12, а не 24. Затем знаменатели объединяются: наименьший общий знаменатель набора дробей — это наименьшее общее кратное их сокращённых знаменателей. В этом всё вычисление, и поэтому эта страница и страница наименьшего общего кратного приходят к одному и тому же числу с разных сторон. При трёх и более дробях кратные сворачиваются по два за раз: 4 и 6 дают 12, а затем 12 и 10 дают 60. Вычитывать по таблице — запасной способ: выпишите кратные каждого сокращённого знаменателя и возьмите первое общее число. Два особых случая встречаются достаточно часто, чтобы знать их заранее. Целые числа принимаются и считаются дробями со знаменателем 1, поэтому ответ они не поднимают, но печатаются обратно с общим знаменателем: 2 превращается в 4/2, когда всё приведено к 2. А знаменатель, кратный другому, — например 4 при 2 и 4, — ничего не добавляет: 2 уже входит в 4. Результат — ровно та величина, которая нужна для сложения дробей с разными знаменателями, и знаменатель суммы равен именно ей.

1/2, 2/3 и 3/4, переписанные с наименьшим общим знаменателем

дробьзнаменательс общим знаменателем
1/226/12
2/338/12
3/449/12

Прочитайте средний столбец сверху вниз, и три числа окажутся 2, 3 и 4. Их наименьшее общее кратное равно 12 — это и есть ответ, и это первое число, на которое делятся все три: 12 — шестое кратное 2, четвёртое кратное 3 и третье кратное 4. Правый столбец показывает каждую дробь переписанной через 12, и каждую запись стоит сверить с той, которую она заменила: 6/12 — это половина, 8/12 — две трети, 9/12 — три четверти, и все они таковыми и остаются, потому что числитель и знаменатель умножены на одно и то же число. Этот множитель равен ответу, делённому на собственный знаменатель дроби: 12 ÷ 2 = 6 для первой строки, 12 ÷ 3 = 4 для второй, 12 ÷ 4 = 3 для третьей. Заметьте, что третий знаменатель, 4, не самый весомый вклад, хотя он самое большое число: важны простые множители, а 12 требует двух двоек — от 2 или от 4, — плюс тройку, которую приносит только 3. Таблица зафиксирована на этих трёх дробях и не следует за введёнными данными — на ваш ввод отвечает панель выше, а здесь показан метод со строками, которые можно проверить на глаз.

Формула

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ наименьший общий знаменатель = НОК(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10
Дроби, с которыми работаем, — от двух до десяти, каждая записана как числитель/знаменатель, обе части целые от 1 до 1 000 000 и разделены пробелами, запятыми или точками с запятой. Целые числа вроде 2 принимаются и читаются как 2/1. Каждая дробь сокращается до несократимого вида прежде, чем берётся её знаменатель, — именно этот шаг не даёт ответу вырасти
4, 6, 10
Сокращённые знаменатели. Именно сокращение делает их 4, 6 и 10, а не чем-то большим: 6/8 дало бы 8, если бы не сократилось до 3/4. Всё дальнейшее работает только с этими числами; на ответ числители не влияют вообще
наименьший общий знаменатель = НОК(4, 6, 10)
Всё вычисление одной строкой: наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное сокращённых знаменателей. 4 — это 2², 6 — это 2 × 3, 10 — это 2 × 5, значит нужны 2², 3 и 5, что даёт 4 × 3 × 5 = 60. При большем числе дробей это сворачивается по два за раз: 4 и 6 дают 12, затем 12 и 10 дают 60
60
Ответ. На него делится без остатка каждый сокращённый знаменатель, и никакое меньшее число таким не является — именно это делает его наименьшим, а не просто общим
n × (60 ÷ d)
Как переписывается каждая дробь: числитель умножается на ответ, делённый на собственный знаменатель этой дроби. Для 3/4 это 3 × 15 = 45, поэтому 3/4 превращается в 45/60. Значение дроби при этом не меняется: числитель и знаменатель умножаются на одно и то же число — в этом и смысл равных дробей
45/60, 50/60, 42/60
Переписанные дроби, все с общим знаменателем. Целое число из ввода появляется здесь с приставленным знаменателем, а не сокращается обратно: 2 возвращается как 4/2, когда ответ равен 2, потому что строка, напечатанная голым целым числом в этом столбце, читалась бы как пропущенная

Сложение дробей с разными знаменателями начинается отсюда: 3/4 и 5/6 нельзя объединить, пока обе не приведены к 12, и общий знаменатель — первая строка решения. Сравнение дробей — тот же шаг: на глаз не сказать, больше ли 5/6, чем 7/10, а 50/60 против 42/60 решает вопрос сразу, и при одинаковых знаменателях остаётся прочитать только числители. Вычитание требует того же. Вне класса арифметики общий знаменатель нужен всюду, где величины записаны в разных долях: без него их не сложить в общую сумму. Таблица ниже — способ вручную: кратные каждого сокращённого знаменателя и первое число, которое появляется в каждом столбце. Два приёма экономят почти всю работу, и оба встречаются часто: знаменатель, кратный другому, можно просто игнорировать, а знаменатели без общих простых множителей — скажем, 6 и 5 — перемножаются в ответ напрямую. Если дробь не в несократимом виде, сокращение не вариант, и делать его стоит первым, а не последним: это единственный шаг, пропуск которого даёт ответ, выглядящий совершенно разумно.

Разобранные примеры

  1. Три дроби: 3/4, 5/6 и 7/10

    1. Все три дроби уже несократимые, поэтому объединять нужно знаменатели 4, 6 и 10
    2. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
    3. Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
    4. Кратные 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60
    5. Первое число, которое есть во всех трёх списках, — 60, значит наименьший общий знаменатель равен 60
    6. 3/4 превращается в 45/60, потому что 60 ÷ 4 = 15 и 3 × 15 = 45
    7. 5/6 превращается в 50/60, потому что 60 ÷ 6 = 10 и 5 × 10 = 50
    8. 7/10 превращается в 42/60, потому что 60 ÷ 10 = 6 и 7 × 6 = 42

    Ввод по умолчанию. Путь через свёртку короче списков: 4 и 6 дают 12, а 12 вместе с 10 дают 60. Столбец переписанных дробей — полезная проверка: каждая из трёх новых дробей обязана равняться той, которую она заменила, то есть 45/60 — это 3/4, 50/60 — это 5/6, а 42/60 — это 7/10. Если бы какая-то из них не равнялась, множитель применили бы только к одной части дроби.

  2. Зачем дроби сокращают заранее: 6/8 и 10/12

    1. 6/8 и 10/12 записаны не в несократимом виде
    2. Делим обе части 6/8 на 2: получается 3/4, знаменатель 4
    3. Делим обе части 10/12 на 2: получается 5/6, знаменатель 6
    4. Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12, значит наименьший общий знаменатель равен 12
    5. 3/4 превращается в 9/12, а 5/6 — в 10/12
    6. Если бы знаменатели читались без сокращения, это были бы 8 и 12, а их наименьшее общее кратное равно 24

    Ответ, ради которого эта страница и существует. 24 — не неверный общий знаменатель: 6/8 и 10/12 действительно можно записать со знаменателем 24, — он просто не наименьший, а панель с числом 24 выглядела бы совершенно нормально. Именно сокращение разделяет эти два ответа, и поэтому поле сокращает каждую дробь прежде, чем прочитать её знаменатель.

  3. Целое число среди дробей: 1/2, 2 и 3

    1. 2 и 3 читаются как 2/1 и 3/1, со знаменателем 1
    2. Объединять нужно знаменатели 2, 1 и 1
    3. Любое целое число кратно 1, поэтому единица в ответ ничего не приносит
    4. Наименьшее общее кратное 2, 1 и 1 равно 2
    5. 1/2 остаётся 1/2, а 2 превращается в 4/2 и 3 — в 6/2

    Записи 4/2 и 6/2 сделаны намеренно и не являются недосокращёнными. Страница называется «дроби с общим знаменателем», и каждая её строка обязана нести этот знаменатель: строка, напечатанная голым числом 2, читалась бы как та, которую не тронули. Значение в обоих случаях одно и то же — 4/2 это 2, — и это единственное место на странице, где вывод выглядит несокращённым нарочно.

  4. У самого потолка: 1/1000 и 2/999983

    1. 1000 — это 2³ × 5³, а 999 983 — простое число, поэтому общих множителей у знаменателей нет
    2. Когда общего нет, наименьшее общее кратное равно произведению: 1000 × 999 983 = 999 983 000
    3. 1/1000 превращается в 999983/999983000, потому что 999 983 000 ÷ 1000 = 999 983
    4. 2/999983 превращается в 2000/999983000, потому что 999 983 000 ÷ 999 983 = 1000, а 2 × 1000 = 2000

    Два знаменателя без общих простых множителей — случай, когда ответ для данной пары получается наибольшим из возможных, и этот пример стоит прямо под потолком, за которым страница останавливается. Числители здесь остаются точными: 999 983 — шестизначное число, а знаменатель 999 983 000 — девятизначное, и оба ещё лежат внутри диапазона, который машина хранит точно. Но числитель побольше вместе с большим общим знаменателем вытолкнул бы произведение за этот предел, поэтому за определённым знаменателем страница отказывается считать, а не печатает округлённую запись.

Ограничения

Каждая дробь записывается как числитель/знаменатель, обе части — целые от 1 до 1 000 000, и дробей должно быть от двух до десяти. Десятичная запись отклоняется, а не преобразуется: 0,75 — это не дробь, записанная в виде дроби, и превратить её в 3/4 значило бы угадывать, что имел в виду автор. Знак минус принимается только перед числителем: 3/-4 отклоняется, потому что знак дроби принадлежит одному месту, и страница не станет выбирать это место за вас. Знаменатель, равный нулю, отклоняется: на ноль частей ничего не делится. Потолок здесь один, и он не на входе, а на ответе: наименьший общий знаменатель должен остаться в пределах 1 000 000 000, и за этой границей страница отказывается считать вместо того, чтобы печатать переписанные дроби. Причина в том, что каждый новый числитель — это исходный числитель, умноженный на ответ, делённый на его собственный знаменатель: большой общий знаменатель в паре с большим числителем перестаёт быть точным, а неточная запись выглядела бы как любая другая строка. Двух дробей достаточно как минимум, потому что одной дроби не с чем делить знаменатель. Дробь, повторённая в списке, ничего не меняет, а знаменатель, кратный другому, просто избыточен. Таблица ниже зафиксирована на 1/2, 2/3 и 3/4 и не следует за вводом: на ваши дроби отвечает панель выше, а таблица показывает метод и три переписанные строки. Ответ всегда точный и никогда не округляется.

Частые вопросы

Чем общий знаменатель отличается от наименьшего общего знаменателя?
Общий знаменатель — любое число, на которое делится каждый знаменатель, а наименьший — самое маленькое из таких чисел. Для 4, 6 и 10 общими знаменателями будут и 60, и 120, но наименьший из них — 60. Вручную стоит вычислять только наименьший: больший означает большие числа в каждой переписанной дроби, а на больших числах и случаются ошибки в счёте. Страница всегда возвращает наименьший.
Почему дроби сокращают прежде, чем читать знаменатель?
Потому что две дроби, равные одному числу, могут иметь разные знаменатели. 6/8 и 3/4 равны, но общий знаменатель, построенный от 8, даёт 24, тогда как правильный ответ — 12. Неверный ответ при этом не выглядит неверным: 24 — настоящий общий знаменатель этих дробей, — поэтому поле сначала сокращает каждую дробь до несократимого вида, и пример выше закрепляет именно этот случай.
Как наименьший общий знаменатель связан с наименьшим общим кратным?
Это одно и то же вычисление на разных данных. Возьмите знаменатели сокращённых дробей и найдите их наименьшее общее кратное — это и будет наименьший общий знаменатель. Поэтому обе страницы согласуются: у 4, 6 и 10 наименьшее общее кратное равно 60, и у набора дробей с такими знаменателями наименьший общий знаменатель тоже 60. Числители в ответ не входят вообще.
Почему целое число возвращается с приставленным знаменателем?
Потому что целое число из ввода читается как дробь со знаменателем 1, а выходной столбец этой страницы называется «дроби с общим знаменателем»: каждая строка в нём обязана нести этот знаменатель. 2 превращается в 4/2, когда ответ равен 2, — это то же значение, записанное через общий знаменатель, а не ошибка сокращения. Это единственный случай на странице, когда вывод выглядит несокращённым нарочно.
Каким может быть самый маленький ответ?
Самый большой из сокращённых знаменателей, если все остальные на него делятся. Для 1/2, 1/4 и 3/4 ответ равен 4: 2 делит 4, а 4 делится само на себя. Меньше самого большого знаменателя ответ быть не может, потому что он обязан быть кратным каждому из них, а кратное числа никогда не меньше самого числа.
Могут ли числители изменить ответ?
Нет. Наименьший общий знаменатель вычисляется только по знаменателям, и у 1/4 и 3/4 он один и тот же. Числители появляются в переписанных дробях, где каждый умножается на ответ, делённый на его собственный знаменатель, поэтому они меняют то, что написано в строках, но никогда — то, на сколько частей разделено целое.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор НОКПервые общие кратные нескольких чисел и наименьшее из них.Калькулятор сложения дробейСкладывает дроби с разными знаменателями и сокращает.Калькулятор вычитания дробейВычитает дроби с разными знаменателями, находя общий.Калькулятор эквивалентных дробейДроби, равные заданной, до выбранного предела.