Перейти к основному содержанию
CalcMax

Калькулятор НОК

Результат

180

Наименьшее общее кратное

Первые четыре общих кратных
180, 360, 540, 720

Наименьшее общее кратное, сокращённо НОК, — это наименьшее целое число, которое делится на каждое число из списка без остатка. Для 12, 18 и 30 это 180: 180 — это 15 раз по 12, 10 раз по 18 и 6 раз по 30, и ничего меньшего для всех трёх не подходит. Общие кратные — это все числа, которые делятся на каждое из чисел списка, а наименьшее из них и есть ответ. Страница печатает ещё и первые четыре общих кратных, потому что самое маленькое в одиночку проверить трудно: 180 могло бы быть кратным каждому числу и при этом не наименьшим, а ряд 180, 360, 540, 720 показывает, что ниже 180 ничего не пропущено. К ответу ведут три пути. Первый — выписать кратные каждого числа и взять первое совпавшее; это то, что делает таблица ниже, и это самый наглядный и самый долгий способ. Второй — разложение на простые множители, и он быстрее: запишите каждое число произведением простых и возьмите каждое простое, которое встречается хоть у кого-нибудь, в его наибольшей степени. Двенадцать — это 2² × 3, восемнадцать — 2 × 3², тридцать — 2 × 3 × 5, значит нужны 2², 3² и 5, а 4 × 9 × 5 = 180. Обратите внимание на отличие от наибольшего общего делителя: там берут наименьшую степень общих простых, а здесь — наибольшую степень каждого простого, которое вообще встретилось. Третий путь — сначала выделить наибольший общий делитель, а потом умножать: для двух чисел наименьшее общее кратное, умноженное на наибольший общий делитель, равно произведению самих чисел, поэтому 4 × 6 = 24, а наибольший общий делитель 4 и 6 равен 2, что оставляет 12. Для двух чисел этот приём точен, а дальше он не работает и потому часто становится источником ошибок — страница вместо этого сворачивает числа по два за раз, и поэтому даёт верный ответ и для десяти. Взаимно простые числа — самый простой случай: у 7, 11 и 13 нет общих простых множителей, сокращать нечего, и ответ равен их произведению, 1001. Кратное нужно, чтобы складывать и сравнивать дроби: 1/12 и 1/18 можно сложить, только приведя обе к 36 — их наименьшему общему кратному. Общий знаменатель дробей — это ровно это число: наименьшее общее кратное их знаменателей, и именно его вычисляет страница общего знаменателя.

Кратные 4, 6 и 8 рядом — ответ это первое число, которое встречается во всех трёх столбцах

n4 × n6 × n8 × n
1468
281216
3121824
4162432
5203040
6243648
7284256
8324864

Читайте по строкам: ответ — та первая строка, где три правых числа совпадают. 4 × 6, 6 × 4 и 8 × 3 равны 24, значит наименьшее общее кратное 4, 6 и 8 равно 24. Чтение таблицы и есть метод, поэтому она построена как лестница, а не как готовый результат. Заметьте, что столбцы сходятся не на одном и том же номере строки: 24 — это шестое кратное 4, четвёртое кратное 6 и третье кратное 8, поэтому таблицу строят до первого совпадения по всем столбцам, а не на фиксированное число строк. Заметьте и то, что ни одна строка до неё не даёт совпадения сразу во всех трёх: 12 стоит под 4 и 6, а 16 — под 4 и 8, и оба раза это тупик. Именно это и стоит унести с собой: общее кратное получить легко, а вопрос всегда в наименьшем. Таблица зафиксирована на 4, 6 и 8 и не следует за введёнными числами, а на восьми строках она останавливается потому, что 24 приходит раньше.

Формула

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ НОК(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, а первые четыре общих кратных — 180, 360, 540, 720

12, 18, 30
Числа, с которыми работаем, — от двух до десяти, каждое целое от 1 до 1 000 000. Пробелы, запятые и точки с запятой разделяют одинаково, поэтому 12 18 30 и 12, 18, 30 — один и тот же ввод. Ноль, отрицательные и дробные отклоняются: кратность — утверждение о счёте, и у каждого числа в списке должно быть своё кратное
2² × 3² × 5
Нужные простые числа, каждое в наибольшей степени по всему списку: 2² из 12, 3² из 18 и 5 из 30. Именно наибольшая степень, а не наименьшая, отличает это от наибольшего общего делителя и объясняет, почему это число всегда не меньше самого большого из входных
180
Ответ и первое общее кратное. Оно делится на каждое число списка, и никакое меньшее число на все сразу не делится — в этом весь смысл слова «наименьшее»
180, 360, 540, 720
Первые четыре общих кратных, напечатанные для проверки: это ответ, умноженный на 1, 2, 3 и 4, а промежуток между ними равен самому ответу. Если бы существовало меньшее общее кратное, оно оказалось бы ниже 180, а ряд показывает, что последовательность начинается именно здесь
НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)
Как поступать с более чем двумя числами: по два за раз, вкладывая текущий результат в следующее число. Это тот же приём, что и на странице наибольшего общего делителя, и именно поэтому здесь не используется правило «умножить и разделить»: оно верно только для двух чисел
1 000 000 000 000
Потолок ответа, а не ввода. Список из десяти шестизначных чисел может дать ответ далеко за той границей, где машина ещё считает точно, а неточный ответ выглядел бы совершенно обыкновенно. За этим потолком страница отказывается считать, а не печатает почти правильное число

Сложение и сравнение дробей — то место, где кратное себя оправдывает. 1/12 и 1/18 нельзя сложить как есть: обе приводят к 36, а 36 — их наименьшее общее кратное. Подошло бы любое общее кратное, но наименьшее держит числа маленькими, поэтому его и учат первым. Знаменатель суммы — ровно эта величина, и страница общего знаменателя делает то же вычисление для набора дробей. Расписания — бытовой вариант вне арифметики: два события с периодами 12 и 18 дней снова совпадут через 36 дней, три мигающих лампы совпадут по кратному всех трёх, и вопрос «когда они встретятся в следующий раз» — это всегда вопрос о кратном. Зубчатые передачи работают так же: картина зацепления повторяется через целое число оборотов, которое совершают обе шестерни. В учебных задачах кратное спрашивают напрямую, и ожидаемое решение — таблица ниже: кратные каждого числа выписываются, пока какое-нибудь не появится во всех столбцах. Числа без общих простых множителей — лёгкий случай: их кратное равно произведению, и, заметив это, можно вообще не считать.

Разобранные примеры

  1. Наименьшее общее кратное чисел 12, 18 и 30

    1. Кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … 180
    2. Кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180
    3. Кратные 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180
    4. Первое число, которое встречается во всех трёх списках, — 180
    5. Через разложение на простые множители: 2² из 12, 3² из 18 и 5 из 30, значит 4 × 9 × 5 = 180

    Ввод по умолчанию. Заметьте, что 36 кратно и 12, и 18, но не кратно 30, а 60 кратно 12 и 30, но не кратно 18: ответ обязан удовлетворять каждое число списка, а не большинство из них. Оба пути сходятся, и путь через разложение нужен тогда, когда списки кратных стали бы слишком длинными.

  2. Два числа: 4 и 6

    1. Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24
    2. Кратные 6: 6, 12, 18, 24
    3. Первое общее число — 12
    4. Проверка через произведение: 4 × 6 = 24, а наибольший общий делитель 4 и 6 равен 2, значит 24 ÷ 2 = 12

    Два числа — единственный случай, когда правило произведения работает, и эту проверку стоит один раз проделать вручную: она показывает, почему дальше правило ломается. Для 4, 6 и 9 произведение равно 216, а ответ — 36, и деление на наибольший общий делитель только первых двух чисел третье число не исправляет. Страница сворачивает числа по два за раз и на этом не попадается.

  3. Взаимно простые числа: 7, 11 и 13

    1. 7, 11 и 13 — простые числа, поэтому ни у каких двух из них нет общего множителя
    2. В произведении ничего не сокращается, значит наименьшее общее кратное равно 7 × 11 × 13
    3. 7 × 11 = 77, а 77 × 13 = 1001
    4. Первые четыре общих кратных идут с шагом 1001

    Когда общих простых множителей нет, ответ — просто произведение, и это единственный случай, когда ответ получается таким большим. Число 1001 знакомо по совсем другой причине: оно раскладывается как 7 × 11 × 13, и именно поэтому работает приём с повторяющейся трёхзначной группой. Страница обращается с ним так же, как со всем остальным.

  4. Список, в котором одно число делит остальные: 6, 8 и 12

    1. 12 кратно 6, поэтому 6 не добавляет ничего такого, чего не требует уже 12
    2. Кратные 8: 8, 16, 24
    3. Кратные 12: 12, 24
    4. Первое общее число — 24, и ответ не является кратным самого большого числа из списка

    Ответу вовсе не обязательно быть одним из введённых чисел — и это прямая противоположность наибольшему общему делителю, который всегда делит самое маленькое число списка. Здесь ответ 24 больше каждого числа в списке, потому что общее кратное должно быть таким числом, на которое делятся все они. Убрать 6 ничего не изменит: 12 уже несёт все простые множители, которые нужны 6, поэтому на свёртке ответ не сдвинется.

Ограничения

Каждое число должно быть целым, от 1 до 1 000 000, и всего чисел должно быть от двух до десяти. Вход ограничен этим, но по-настоящему важен потолок ответа: наименьшее общее кратное должно остаться в пределах 1 000 000 000 000, а список из десяти больших чисел упирается в этот потолок задолго до того, как исчерпает диапазон ввода. За потолком страница отказывается считать вместо того, чтобы напечатать ответ: такое большое число нельзя удержать точно, и оно вернулось бы с виду совершенно обычным результатом. Ноль и отрицательные числа отклоняются: утверждение «любое целое число кратно нулю» бесполезно, а наименьшее общее кратное определено для положительных чисел. Дробные записи отклоняются, а не округляются, по той же причине, что и на странице наибольшего общего делителя. Разделителями могут быть пробелы, запятые или точки с запятой, в любом сочетании. Повторяющиеся числа допускаются и ничего не меняют, а число, которое делит другое число из того же списка, просто избыточно. Таблица ниже зафиксирована на 4, 6 и 8 и не следует за вводом: на ваши числа отвечает панель, а таблица показывает, как ответ вычитывается. Сам ответ всегда точный и никогда не округляется.

Частые вопросы

Как найти наименьшее общее кратное вручную?
Выписывайте кратные каждого числа, пока какое-нибудь значение не появится во всех списках. Для 12, 18 и 30 это 180: оно пятнадцатое кратное 12, десятое кратное 18 и шестое кратное 30. Быстрее через разложение на простые множители — берут каждое простое, которое встречается в списке где угодно, в наибольшей степени: для этих трёх чисел это 2², 3² и 5, что и даёт 180. Оба пути показаны в примерах выше.
Чем НОК отличается от НОД?
Наибольший общий делитель — это наибольшее число, которое делит все входные числа; наименьшее общее кратное — наименьшее число, которое делится на все входные. Делитель никогда не больше самого маленького ввода, кратное никогда не меньше самого большого. Через разложение разница укладывается в одно слово: делитель берёт наименьшую степень общих простых, а кратное — наибольшую степень каждого присутствующего простого.
Можно ли просто перемножить числа?
Так получится общее кратное, но редко наименьшее. Для двух чисел точное правило такое: произведение равно наименьшему общему кратному, умноженному на наибольший общий делитель. Для 4 и 6 произведение равно 24, делитель равен 2, значит ответ 12. Дальше двух чисел это правило не работает, поэтому страница сворачивает числа по два за раз, а не перемножает всё сразу.
Почему страница отказывается считать очень большие ответы?
Потому что начиная с некоторого размера машина перестаёт хранить целые числа точно, и такой ответ вернулся бы округлённым, выглядя при этом совершенно обычно. Ввод ограничен 1 000 000 на каждое число, но ответ может вырасти куда дальше — список из десяти шестизначных чисел перемножается в огромное число, — поэтому страница проверяет ответ по потолку и отказывается считать вместо того, чтобы печатать почти правильное значение.
Чему равно наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел?
Их произведению, потому что сокращать нечего: 7 и 11 взаимно простые, поэтому их наименьшее общее кратное равно 77. Взаимная простота означает, что у чисел нет ни одного общего простого множителя, поэтому наибольшая степень каждого простого в списке — это само простое. Последовательные целые числа взаимно просты всегда, как и простое число в паре с числом, которое на него не делится.
Где применяется наименьшее общее кратное?
Сложение и сравнение дробей требует общего знаменателя, и наименьший из них — это ровно наше кратное: 1/12 и 1/18 приводят к 36. Вне арифметики всё, что повторяется по двум циклам, совпадает снова через их наименьшее общее кратное: события с периодом 12 и 18 дней встречаются через 36 дней, а зубья шестерён входят в одну и ту же картину зацепления через кратное числа зубьев.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор НОДОбщие делители нескольких чисел и наибольший из них.Калькулятор общего знаменателяНаименьший общий знаменатель для набора дробей.Калькулятор сложения дробейСкладывает дроби с разными знаменателями и сокращает.Калькулятор дробейСложение, вычитание, умножение и деление дробей с сокращением.Калькулятор делителей числаВсе делители числа и пары делителей, которые его дают.