Калькулятор IRR

Найти такую ставку r, при которой −Начальные инвестиции + ДП₁ ÷ (1+r) + ДП₂ ÷ (1+r)² + … + ДПₙ ÷ (1+r)ⁿ = 0, где ДП — денежные потоки по периодам. При более чем паре периодов алгебраического решения относительно r не существует, поэтому его находят сужением интервала, пока чистая приведённая стоимость не станет равна нулю с точностью до двух знаков после запятой.

Начальные инвестиции

То, во что проект обходится сегодня, в момент старта. Величина вводится положительным числом и вычитается в уравнении, а не записывается отрицательным денежным потоком в списке, — так правило знаков остаётся на виду, а не прячется в ряду чисел.

Денежные потоки (ДП)

То, что возвращается, период за периодом, через пробел. Первая запись относится к моменту через один период, а не к сегодняшнему дню: деньги, полученные в нулевой момент, относятся к начальным инвестициям как их уменьшение. Чем считать период — месяцем или годом — решаете вы, лишь бы ставка дисконтирования была выражена за тот же период.

Ставка дисконтирования

На этой странице — ваша планка: то, во что обходится капитал, или доходность, которую можно было бы получить в другом месте при том же риске. На саму внутреннюю норму доходности она не влияет никак. Она решает, проходит ли проект планку, и именно она превращает ставку в ответ.

Чистая приведённая стоимость

То, сколько проект стоит сегодня, если каждое будущее поступление продисконтировать по вашей ставке и вычесть вложения. Положительная означает, что планка взята; внутренняя норма доходности — это ставка, при которой эта величина проходит через ноль.

Внутренняя норма доходности

Ставка дисконтирования, при которой чистая приведённая стоимость обращается в ноль, выраженная в процентах. Она зависит только от денежных потоков: у одного и того же проекта внутренняя норма доходности одна и та же, какую бы планку вы ни взяли, — и именно поэтому два результата не могут противоречить друг другу, хотя выглядят как два разных совета.

Она нужна, когда проект сравнивают со стоимостью капитала, а не с другим проектом: именно с этого вопроса обычно начинается бюджетирование капитала. О ставке удобно говорить, и для неё не требуется знать сумму вложений, поэтому она годится как первый фильтр длинного списка кандидатов. Три вещи она не умеет. Она ничего не говорит о размере: проект, приносящий 200 % на 1000, и проект, приносящий 25 % на миллион, могут иметь одну и ту же внутреннюю норму доходности, и какой из них предпочесть, скажет только чистая приведённая стоимость. Она предполагает, что каждое поступление реинвестируется по той же ставке до самого конца, а при очень высокой ставке это сильное допущение: арифметика верна, а рассказ при ней — оптимистичный. И ей нужно, чтобы денежные потоки меняли знак ровно один раз: сначала вложение, затем поступления. Если в каком-то позднем периоде есть расход, у уравнения может быть больше одного решения, и страница отклоняет такие данные вместо того, чтобы молча вернуть один из корней.

1. Вложено 100 000, возврат 205 000 за шесть лет, деньги стоят 8 %

   1. Поступления в сумме дают 205 000 против вложенных 100 000, но такое сравнение не учитывает, когда именно приходят деньги
   2. Дисконтирование каждого года по ставке 8 % даёт приведённую стоимость 153 968,13 против 100 000 вложений, то есть чистая приведённая стоимость равна 53 968,13
   3. Ставка, при которой чистая приведённая стоимость обращается в ноль, равна 22,49 %
   4. 22,49 выше планки в 8 %, поэтому вывод — «принять»

   Читайте два ответа вместе. Внутренняя норма доходности говорит, что проект выдержит стоимость капитала до 22,49 %, а чистая приведённая стоимость — что при 8 % он стоит на 53 968,13 больше, чем обходится; это одно и то же суждение, выраженное один раз ставкой, а другой раз деньгами. Третье число, 205 000, приведено для тех, кто хочет обойтись без дисконтирования: оно на 105 000 больше вложений, и при нулевой планке чистая приведённая стоимость была бы ровно такой.

2. Одно поступление: 10 000 вложено, 12 000 возвращается через один период

   1. При одном периоде есть замкнутое выражение: 12 000 ÷ 10 000 − 1 = 20 %
   2. Дисконтирование 12 000 по ставке 20 % даёт 10 000, то есть ровно величину вложений
   3. Чистая приведённая стоимость: 10 000 − 10 000 = 0
   4. Вывод — «безубыточно»

   Это тот случай, по которому страница проверяет собственный решатель, потому что ответ можно получить и вручную. Это же единственное место, где вывод может выглядеть странно: чистая приведённая стоимость показывается как 0,00, а плашка говорит «безубыточно», а не «отклонить». Всё, что округляется до нуля с точностью до двух знаков, помечается как безубыточность, потому что вердикт «отклонить» рядом с чистой приведённой стоимостью 0,00 читается как арифметическая ошибка, — а сверяет читатель плашку именно с тем, что показывает панель.

3. Тот же проект при планке 25 %

   1. Внутренняя норма доходности не меняется и остаётся 20 % — она не зависит от планки
   2. Дисконтирование 12 000 по ставке 25 % даёт 9600
   3. Чистая приведённая стоимость: 9600 − 10 000 = −400
   4. 20 % ниже планки в 25 %, поэтому вывод переворачивается на «отклонить»

   Два прогона одного и того же проекта с одинаковым первым результатом и противоположными выводами — самый наглядный способ увидеть, для чего нужна каждая цифра. Внутренняя норма доходности описывает проект, планка описывает вас. Измените одно — и вывод может перевернуться, хотя в самом проекте ничего не изменилось.

4. Проект, который уничтожает стоимость: 10 000 вложено, 5000 возвращается

   1. Снова один период, поэтому работает замкнутое выражение: 5000 ÷ 10 000 − 1 = −50 %
   2. Даже вовсе без дисконтирования поступление на 5000 меньше вложений
   3. Чистая приведённая стоимость при нулевой планке: 5000 − 10 000 = −5000
   4. Вывод — «отклонить», и отрицательная ставка здесь честное описание

   Отрицательная внутренняя норма доходности — это настоящий ответ, а не ошибка: она говорит, что проект окупился бы только при отрицательной стоимости капитала, то есть не окупится никогда. Именно этот случай определяет нижнюю границу поиска: версия страницы, позаимствовавшая у решателя доходности облигаций диапазон от нуля до ста процентов, сообщила бы здесь об ошибке вместо минус 50.

5. Десять тысяч вложено, одна единица возвращается через пять лет

   1. Нули в первых четырёх периодах допустимы: деньги не приходят, но и не расходуются
   2. Уравнение превращается в 1 ÷ (1+r)^5 = 10 000 ÷ 10 000, то есть (1+r)^5 = 0,0001
   3. Решение даёт r = −84,15 %, а не −100 %, потому что поступление мало, но не равно нулю
   4. Чистая приведённая стоимость при нулевой планке: 1 − 10 000 = −9999

   Допустимые входные данные могут увести ответ далеко ниже нуля, и страница обязана туда дотянуться, иначе она сообщит об ошибке на вполне корректно определённом наборе чисел. Различие, которое стоит запомнить: у этого проекта внутренняя норма доходности минус 84 процента, а у проекта, который вообще ничего не возвращает, внутренней нормы доходности нет — ни одна ставка не сделает стоимость ничего равной затратам.

Внутренняя норма доходности — это ставка, а ставки скрывают масштаб. Два проекта могут иметь одну и ту же норму, различаясь в тысячу раз по вложенным деньгам, поэтому этот показатель служит фильтром, а не решением: когда список кандидатов прошёл планку, ранжирует их чистая приведённая стоимость. Кроме того, предполагается, что поступления реинвестируются по самой внутренней норме доходности до конца проекта, — при умеренной ставке это справедливое описание, а при 200 % натяжка: арифметика остаётся верной, а вот толкование, будто каждая вложенная единица в промежутке принесёт ту же доходность, — нет. Денежные потоки должны менять знак ровно один раз: сначала вложение, затем поступления; проект с расходами на демонтаж в последний год может иметь две математически допустимые ставки, и страница отказывается принимать такие данные вместо того, чтобы выбрать одну из них. Ставка не очищена ни от риска, ни от налогов, ни от инфляции: все эти допущения несёт введённая вами ставка дисконтирования.

Что такое внутренняя норма доходности?

Это ставка дисконтирования, при которой будущие денежные потоки проекта стоят ровно столько, сколько стоит сам проект, — ставка, при которой чистая приведённая стоимость равна нулю. Выше этой ставки проект создаёт стоимость, ниже — разрушает. На значениях по умолчанию, когда вложено 100 000 и получено 205 000 за шесть лет, внутренняя норма доходности равна 22,49 %, то есть проект выдерживает стоимость капитала до 22,49 %, прежде чем перестанет себя оправдывать.

Чем это отличается от чистой приведённой стоимости?

Это одно и то же уравнение с разными неизвестными. Чистая приведённая стоимость принимает ставку дисконтирования заданной и говорит, сколько стоит проект; внутренняя норма доходности принимает заданной стоимость — равной нулю — и говорит, какая ставка к этому приводит. Поскольку уравнение одно, они не могут противоречить друг другу: ставка выше вашей планки и положительная чистая приведённая стоимость — это одно и то же утверждение. Разница в том, что нужно знать заранее: для чистой приведённой стоимости нужна ваша стоимость капитала, а ставку можно назвать и без неё, поэтому ставки сравнивают между проектами, а чистой приведённой стоимостью их ранжируют.

Что взять в качестве планки?

То, во что капитал действительно обходится именно для этого проекта: ставку по займу, если он финансируется в долг; доходность, которую те же деньги принесли бы при сопоставимом риске, если нет; или опубликованную ставку, если её предписывает правило. Страница не выберет её за вас, а это самая произвольная из всех входных величин. Её роль легко увидеть, посчитав один и тот же проект дважды: при планке 20 % проект с доходностью 20 % выходит в ноль, а при 25 % тот же самый проект отклоняется. Сдвинулась только планка.

Почему внутренняя норма доходности не решается формулой?

Потому что формулы нет. У одного поступления есть замкнутое выражение — 12 000 на 10 000 дают 20 %, — но начиная с двух периодов уравнение становится многочленом этой степени, и никакая перестановка не выделяет ставку. Вместо этого калькулятор сужает интервал: он находит ставку, при которой чистая приведённая стоимость положительна, и ставку, при которой она отрицательна, а затем снова и снова делит промежуток между ними пополам, пока значение не станет нулевым с точностью до двух знаков после запятой. По той же причине страница аккуратно выбирает диапазон поиска: проект с минус 84 % должен в него попадать.

Почему среди денежных потоков не может быть отрицательного числа?

Потому что тогда ответ перестал бы быть единственным. Если сначала идёт вложение, а затем поступления, чистая приведённая стоимость монотонно падает с ростом ставки, поэтому ноль она пересекает ровно один раз, и поиск гарантированно его находит. Вставьте расход в более поздний период — счёт за демонтаж на пятый год, — и кривая может изогнуться обратно и пересечь ноль дважды, что даст две математически допустимые внутренние нормы доходности. Страница отказывается принимать отрицательные денежные потоки и прямо об этом говорит, вместо того чтобы вернуть один из двух корней, не показывая, что существует второй.

Может ли внутренняя норма доходности быть отрицательной?

Да, и это означает, что проект не возвращает потреблённые деньги. Если вложить 10 000 и получить обратно 5000, выйдет минус 50 %, то есть проект окупился бы только при отрицательной стоимости денег. Именно поэтому страница намеренно ищет и ниже нуля: реализация, позаимствовавшая диапазон, начинающийся с нуля, как это разумно для решателя доходности облигаций, сообщила бы об ошибке на этом совершенно обычном наборе чисел.

Когда внутренняя норма доходности — неподходящий инструмент?

Когда проекты различаются размером или сроком, а также когда ответ зависит от того, что происходит с деньгами в промежутке. Ставка не видит масштаба, поэтому маленький проект с эффектной нормой может обойти крупный, создающий куда больше стоимости в деньгах; именно поэтому в бюджетировании капитала ставку используют вместе с чистой приведённой стоимостью, а не отдельно. Она также молча предполагает, что поступления реинвестируются по той же ставке до самого конца, — при 8 % это разумное описание, а при 200 % оптимистичное. Там, где важно и то и другое, ранжируйте по чистой приведённой стоимости, а ставку используйте как фильтр.

• Circular A-94, Guidelines and Discount Rates for Benefit-Cost Analysis of Federal Programs (revised November 9, 2023) — section 5a on the decision rule this page's verdict follows: projects with positive discounted net benefits generally increase welfare the most and are preferred, while those with negative discounted net benefits should generally be avoided — Office of Management and Budget, Executive Office of the President (United States)
• Compound Interest — the glossary definition of the growth that discounting runs backwards, which is the whole of the arithmetic behind a present value — Investor.gov, U.S. Securities and Exchange Commission (United States)