Калькулятор закона Гука

сила упругости = жёсткость пружины × смещение

k

Жёсткость пружины, или коэффициент жёсткости, в N/m. Это сила, нужная на каждый метр растяжения: у шариковой ручки около 10 Н/м, у пружинного безмена 100 Н/м, у пружины автомобильной подвески 30 Н/мм, у промышленной тарельчатой пружины 100 кН/м. Поле принимает также kN/m, N/mm и lbf/in, и таблица ниже записывает одну жёсткость сразу в трёх из них. Значение обязано быть положительным: жёсткость ноль — это уже не пружина

x

Смещение в сантиметрах — насколько пружину сдвинули от длины покоя. Поле принимает также метры, миллиметры и дюймы. Это величина, а не знаковое число, поэтому сжатие и растяжение здесь не различаются: пружина, растянутая на 10 см, и пружина, сжатая на 10 см, тянут назад одинаковыми 10 Н, только в противоположные стороны. Ноль допустим и означает, что пружина в покое

F

Сила упругости в ньютонах, килоньютонах, фунт-силах и килограмм-силах. Это сила, которую пружина развивает, а заодно и та, которую надо приложить, чтобы удержать её на месте. Оставьте поле пустым — и страница найдёт его из двух других; заполните его вместе с одним из остальных — и она найдёт третье

Эта страница нужна, когда требуется показание, а не энергия: как сильно тянет пружинный безмен при данном удлинении, достаточна ли жёсткость пружины, чтобы держать дверь открытой, какую силу тетива лука передаёт плечам в полном натяжении, насколько сожмётся пружина подвески под известным весом на колесе и какой должна быть жёсткость, если при заданном ходе нужно получить заданную силу. Последнее и есть то направление, ради которого страница сделана, а большинство калькуляторов — нет: два поля из трёх можно оставить пустыми, и от того, какие два вы заполнили, зависит, что именно будет найдено. Две привычки стоит выработать — про единицы и про диапазон. Про единицы: поле по умолчанию принимает сантиметры, а формуле нужны метры, и страница пересчитывает внутри себя, — но жёсткость может прийти из каталога изготовителя в N/mm или lbf/in, а они отличаются от N/m в тысячу и в 175 раз соответственно; ровно для этого и нужна таблица ниже. Про диапазон: закон Гука верен лишь до предела упругости, и любая настоящая пружина где-то уходит с прямой; пружина, растянутая дальше этой точки, даёт силу меньше предсказанной и не возвращается к исходной длине. Энергия, запасённая в той же пружине при растяжении, считается на странице энергии пружины — там те же два входных числа и та же пружина.

1. Пружина по умолчанию, растянутая на 10 см

   1. Жёсткость: 100 Н/м. Смещение: 10 см, то есть 0,1 м — формуле нужны метры
   2. Сила упругости: 100 × 0,1 = 10 Н
   3. Две другие строки просто повторяют ввод, потому что решать было нечего
   4. Сравните с грузом 1 кг на той же пружине: он тянул бы с силой 9,81 Н и растянул бы её на 9,81 см

   Десять ньютонов — это вес литра воды, и такое сравнение быстрее всего даёт чувство того, что значит 100 Н/м: подвесьте на эту пружину литровую бутылку, и она будет растягиваться примерно на сантиметр на каждые 100 граммов. Другое, что стоит вынести из этой строки, — ловушка с единицами, через которую она проходит: 10 см пришлось превратить в 0,1 м до умножения, а если сделать наоборот, получится 1000 Н, то есть в сто раз больше. Это самая частая арифметическая ошибка на этой странице, и именно поэтому поле подписано сантиметрами, а формула — нет.

2. Сила известна, жёсткость нет: 25 Н при 10 см

   1. Оставьте поле жёсткости пустым и заполните два других: смещение 10 см, сила 25 Н
   2. Перепишем F = kx относительно k: k = F ÷ x
   3. Сначала перевести: 10 см = 0,1 м
   4. Жёсткость: 25 ÷ 0,1 = 250 Н/м

   Это то направление, ради которого страница и существует. И силу, и расстояние легко измерить кухонными весами и линейкой, а жёсткость — то число, которое напрямую не измеришь, поэтому растянуть пружину и прочитать силу и есть способ, которым константу получают на практике. Та же арифметика в имперских единицах — источник жёсткостей в lbf/in во всех автомобильных каталогах: 25 lbf при 10 дюймах дали бы 2,5 lbf/in. Заметьте, что заполненными остались смещение и сила, а страница всё равно нашла все три величины, потому что в F = kx три переменные и любые две из них задают третью.

3. Пружина известна, сила известна: насколько она сдвинется?

   1. Жёсткость 1000 Н/м — у пружины автомобильной подвески примерно в 30 раз больше, у промышленной тарельчатой около 100 раз
   2. Перепишем F = kx относительно x: x = F ÷ k
   3. Смещение: 30 ÷ 1000 = 0,03 м
   4. Обратно для показа: 3 см

   Ответ получается в метрах, а страница показывает его в сантиметрах — это тот же пересчёт, что в первом примере, только в обратную сторону. Стоит заметить, какой это маленький ход: 30 Н, вес трёх литров воды, сдвигают эту пружину всего на три сантиметра, тогда как те же 30 Н сдвинули бы пружину 100 Н/м из первых двух примеров на тридцать сантиметров. Жёсткость — ровно это отношение, и поэтому жёсткая пружина кажется неподатливой под малой нагрузкой, а мягкая садится до упора под большой. Ни одна не лучше: выбор определяется тем, какой ход есть у механизма.

Закон Гука — линейное приближение, и любая настоящая пружина рано или поздно перестаёт ему подчиняться. За пределом упругости сила растёт медленнее, чем kx, и пружина не возвращается к исходной длине, так что ответ, посчитанный по каталожной жёсткости, верен лишь внутри номинального хода — а он у тарельчатой пружины может составлять несколько миллиметров, у тетивы лука же большую часть её длины. Витковые пружины к тому же не идеально линейны и внутри своего диапазона: концы витков смыкаются по мере сжатия, поэтому эффективная жёсткость растёт к полному сжатию, а растянутая достаточно далеко пружина выпрямляется совсем. Страница считает пружину невесомой и без трения, что неверно для пружины, которая сама тяжела или должна скользить по направляющему стержню. Она не различает ни сжатие и растяжение, ни прямое направление и обратное, потому что модель этого действительно не делает: если приложению эта разница важна, искать её надо не в этом уравнении. Есть и практическая ловушка в том, как устроены поля. Поскольку первые два поля заполнены изначально, тому, кто хочет найти жёсткость, придётся сначала очистить одно из них: если вписать силу поверх существующих значений по умолчанию, страница сообщит, что числа друг другу противоречат, а не подставит молча новое, — это сделано намеренно, но людей действительно застаёт врасплох. И в ответе нет никакой энергии: работа, затраченная на растяжение пружины до этого состояния, равна ½kx², а она больше, чем можно было бы предположить по F × x, потому что сила не была на конечном значении всю дорогу.

Какова формула закона Гука?

F = kx: сила упругости равна жёсткости пружины, умноженной на смещение. Пружина жёсткостью 100 Н/м, растянутая на 10 см (0,1 м), тянет назад с силой 100 × 0,1 = 10 Н. Зависимость линейная, поэтому вдвое больше смещение — вдвое больше сила, и она работает в обе стороны, при растяжении и при сжатии, — именно поэтому пружину можно использовать как весы. Знаменитый квадрат в расчётах пружин относится к запасённой энергии, ½kx², а не к силе.

Как найти жёсткость пружины, если её нельзя измерить напрямую?

Подвесьте к пружине известный груз, измерьте, насколько она растянулась, и поделите. Груз 2 кг даёт силу 19,62 Н; если пружина растянулась на 4 см, то k = 19,62 ÷ 0,04 = 490,5 Н/м. Две предосторожности. Измеряйте между длиной покоя и длиной под нагрузкой, а не от верхнего крепления, и снимайте показание, когда пружина успокоится, а не пока она ещё качается. Если пружина слишком жёсткая, чтобы заметно растянуться от груза, который у вас есть, добавьте груз или используйте рычаг: арифметика та же, а точность ограничивает погрешность измерения в 1 мм на растяжении в 4 см.

Какие два поля нужно заполнить?

Любые два из трёх, и третье страница найдёт сама. Жёсткость и смещение дают силу — это обычное направление. Смещение и сила дают жёсткость — так её и измеряют. Жёсткость и сила дают ход, а это обычно и нужно при подборе механизма. Заполняйте все три, только если хотите их сверить: если они противоречат друг другу, страница скажет об этом, а не выберет одно, потому что показывать в панели результата силу, спорящую с силой во введённом поле на том же экране, хуже, чем показать ошибку.

В чём разница между N/m, N/mm и lbf/in?

Это три записи одной и той же жёсткости, и множители между ними большие. 1 Н/мм равен 1000 Н/м, потому что и сила, и длина отличаются в тысячу раз. 1 lbf/in равен примерно 175,13 Н/м, и число это не круглое, потому что ни фунт-сила, ни дюйм метрической системой не определяются. Практическое следствие: пружина, заявленная как 30 Н/мм, это 30 000 Н/м — в тридцать раз жёстче пружины 1000 Н/м из третьего примера, а не в тридцать раз мягче, — а жёсткость, переписанная из имперского каталога без пересчёта, ошибается ровно в 175 раз.

Имеет ли значение, сжата пружина или растянута?

Для этого уравнения — нет. В F = kx берётся величина смещения, поэтому пружина, сжатая на 10 см, и пружина, растянутая на 10 см, тянут назад с одинаковой по модулю силой, только направлена она в разные стороны. Настоящие пружины не идеально симметричны: витковую пружину можно навить так, что при сжатии она поведёт себя чуть иначе, а сжатая достаточно сильно пружина сомкнётся витками, и тогда она становится практически жёсткой, и это уравнение перестаёт работать. Но внутри номинального хода считать оба направления одинаковыми — это то, что модель и делает, и для большинства задач этого достаточно.

Почему энергия равна ½kx², а не kx²?

Потому что, пока пружину растягивают, сила не стоит на конечном значении: она начинается с нуля и растёт равномерно, так что средняя сила за весь ход равна половине конечной, а работа — это средняя сила, умноженная на путь. Перемножьте, и получится ½kx². По той же причине площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Эта страница намеренно не показывает это число: запасённая в пружине энергия — отдельный расчёт с отдельными разобранными примерами, а квадратичный член рядом с линейным на одном экране подталкивает читателя к мысли, что это два результата одной формулы.

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — the linear region, the spring constant, and where real springs leave the straight line — OpenStax
• Hooke's law — the force-displacement relation, the elastic limit, and why the constant is a property of the spring rather than of the material — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the newton, the pound-force and kilogram-force factors, and the unit prefixes used by the stiffness field and the reference table — National Institute of Standards and Technology