Калькулятор силы тяготения

сила тяготения = G × m₁ × m₂ / r²

G

Гравитационная постоянная, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Это самая неточно измеренная постоянная в физике: рекомендуемое значение несёт относительную неопределённость 2,2 × 10⁻⁵, на четыре порядка хуже, чем следующая по изученности константа, — так что последние цифры любого ответа на этой странице ничего не значат, и никакой ввод это не исправит

m₁

Масса первого тела в килограммах. Поле принимает также граммы, тонны и фунты, и это должна быть именно масса, а не вес: два человека по 70 кг здесь просто два количества вещества. Масса обязана быть положительной, потому что тело без массы не создаёт тяготения

m₂

Масса второго тела, в тех же единицах и по тому же правилу. В формулу обе массы входят перемноженными, поэтому они взаимозаменяемы: поменять их местами ничего не меняет — вот почему странице не нужно указывать, какая из них какая

r

Расстояние между центрами масс, в метрах, а не зазор между поверхностями. Спутник на высоте 400 км находится в 6771 км от центра Земли, и формуле нужно именно второе число. Поле принимает также километры, сантиметры, футы и мили, и значение обязано быть положительным

F

Сила тяготения, с которой тела притягивают друг друга, в ньютонах и в фунт-силах, в научной записи. Это одна сила, а не две: Земля притягивает вас с силой 687 Н, и вы притягиваете Землю с теми же 687 Н в обратную сторону. Вторая строка результата — то же число в других единицах, а не второй результат

Эта страница нужна, когда есть две массы и расстояние между ними, а нужно притяжение: сила, удерживающая Луну на орбите, притяжение между спутником и планетой, вокруг которой он летает, вопрос, измеримо ли вообще тяготение между двумя лабораторными грузами (нет — оно порядка 10⁻⁷ Н, и потому опыт поставили только в 1798 году), или чему равно ускорение свободного падения на теле, если подставить в ту же формулу его собственную массу и его собственный радиус. Последнее и есть таблица ниже: восемь тел, для которых сила тяжести на поверхности посчитана именно так, а это и есть число, определяющее, сколько вы там весили бы. Две вещи стоит проверить, прежде чем доверять ответу. Во-первых, r — это расстояние между центрами: подставить в него высоту вместо радиуса значит завысить силу примерно в 290 раз, а пренебречь высотой и взять один радиус тела — занизить чуть больше чем на десять процентов, причём с ростом высоты разрыв растёт. Во-вторых, формула считает каждое тело точкой, что точно для шаров и хорошо для всего, что мало по сравнению с r, — но два почти соприкасающихся тела в неё не влезают совсем.

1. Два человека по 70 кг на расстоянии метр

   1. Массы: 70 кг и 70 кг, расстояние между их центрами 1 м
   2. Произведение масс: 70 × 70 = 4900 кг²
   3. Квадрат расстояния: 1² = 1 м²
   4. Сила: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3,2704 × 10⁻⁷ Н
   5. В фунт-силах: 3,2704 × 10⁻⁷ ÷ 4,4482 = 7,352 × 10⁻⁸ lbf

   Треть микроньтона — и это тот ответ, после которого тема укладывается в голове: два человека, стоящие рядом, притягиваются примерно с той силой, с какой весят несколько десятков микрограммов вещества, и ничего в повседневности этого не выдаёт. Обратите внимание, что арифметика ни разу не покидает показатель степени: 4900 — всего четыре цифры, а уменьшает ответ множитель 10⁻¹¹. Именно в этом смысле тяготение слабое: не в том, что постоянная мала по сравнению с другими числами, а в том, что она мала по сравнению с любой массой, которую человек способен собрать.

2. Земля и Луна

   1. Массы: 5,972 × 10²⁴ кг у Земли, 7,342 × 10²² кг у Луны
   2. Расстояние между центрами: 384 400 км = 3,844 × 10⁸ м
   3. Произведение масс: 5,972 × 10²⁴ × 7,342 × 10²² = 4,3846 × 10⁴⁷ кг²
   4. Квадрат расстояния: (3,844 × 10⁸)² = 1,4776 × 10¹⁷ м²
   5. Сила: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,3846 × 10⁴⁷ ÷ 1,4776 × 10¹⁷ = 1,980 × 10²⁰ Н
   6. В фунт-силах: 1,980 × 10²⁰ ÷ 4,4482 = 4,452 × 10¹⁹ lbf

   1,98 × 10²⁰ Н — это примерно 200 экзаньютонов, и именно это число заставляет думать, будто тяготение сильное: это сила, которая заставляет тело в 384 400 км разворачиваться каждый месяц. Сравните с предыдущим примером, и весь урок окажется в показателях: массы выросли примерно в 10⁴⁴ раз, расстояние — в 3,8 × 10⁸ раз (то есть в 1,5 × 10¹⁷ после возведения в квадрат), а сила — в 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷ раз. В самом законе между этими двумя расчётами не изменилось ничего; изменилось лишь то, сколько вещества стоит по обе стороны от него.

3. Земля и человек на 70 кг, стоящий на ней

   1. Формуле нужно среднее расстояние до центра Земли: 6371 км = 6,371 × 10⁶ м, а не расстояние до пола под ногами
   2. Произведение масс: 5,972 × 10²⁴ × 70 = 4,1804 × 10²⁶ кг²
   3. Квадрат расстояния: (6,371 × 10⁶)² = 4,05896 × 10¹³ м²
   4. Сила: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,1804 × 10²⁶ ÷ 4,05896 × 10¹³ = 687,398 Н
   5. В фунт-силах: 687,398 ÷ 4,4482 = 154,533 lbf

   Это те же 687 Н, которые ваши напольные весы показывают как 70 кг, и стоит проговорить, что весы измеряют силу, а делят её на 9,8, чтобы напечатать массу. Это ещё и единственная строка на странице, попадающая в обычную запись: ответ лежит между 10⁻³ и 10⁶, поэтому страница оставляет его как 687,398, а не переписывает в 6,874 × 10². И значение намеренно немного занижено: взят средний радиус, так что человек на экваторе на 21 км дальше от центра, чем человек на полюсе, а это число — среднее между ними.

Самое крупное ограничение здесь не в модели, а в самой постоянной. G известна примерно с четырьмя значащими цифрами — рекомендованное CODATA значение 6,67430 с неопределённостью 15 в последних двух цифрах, то есть относительной неопределённостью 2,2 × 10⁻⁵, — и это самая плохо измеренная константа в физике, на четыре порядка хуже следующей по изученности. Поэтому у каждого ответа на этой странице четвёртая цифра — украшение: 1,980 × 10²⁰ Н на самом деле 1,98 × 10²⁰ Н, и более точные массы тут ничего не улучшат. Помимо этого уравнение считает оба тела точками, что точно только для шаров; оно игнорирует все прочие силы, поэтому ничего не говорит о том, летят ли эти тела друг на друга или находятся на орбите; оно игнорирует общую теорию относительности, а она важна для перигелия Меркурия и для всего вблизи чёрной дыры; и оно предполагает массы постоянными, что неверно для ракеты или испаряющейся кометы. На малом конце модель к тому же используется вне её области: два тела в миллиметре друг от друга точками описываются плохо, а притяжение двух атомов — это химия, а не это уравнение, и поэтому поле расстояния останавливается на 1 мм. И наконец, сила тяжести в таблице считается по средним радиусам и предполагает, что тело — идеальный шар без вращения, так что строка Земли даёт 9,82 м/с² вместо определённого стандартного значения 9,80665 м/с².

Какова формула силы тяготения?

F = G × m₁ × m₂ / r², где G — гравитационная постоянная 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², два m — массы в килограммах, а r — расстояние между их центрами в метрах. Два человека по 70 кг на расстоянии метр дают 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3,270 × 10⁻⁷ Н. Именно r² в знаменателе делает закон обратно квадратичным: разведите тела вдвое дальше, и сила упадёт вчетверо, а не вдвое. Это и есть закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном.

Почему притяжение между двумя людьми так мало?

Потому что мала сама G: 6,6743 × 10⁻¹¹, то есть на одиннадцать порядков меньше единицы. В другую сторону работают только массы, а 70 кг на каждого — это немного. Подставьте в ту же формулу планету, и показатель перевернётся: Земля и Луна притягиваются с силой 1,98 × 10²⁰ Н. В самом законе между этими случаями нет никакой разницы: тяготение слабое, и чтобы оно выглядело иначе, нужна масса целой планеты, — поэтому сила, скрепляющая Солнечную систему, это та же сила, которая не способна притянуть друг к другу двух людей.

r — это расстояние между поверхностями или между центрами?

Между центрами, всегда. Для человека, стоящего на Земле, r — это радиус Земли, 6371 км, а не ноль. Для спутника на высоте 400 км r равно 6771 км, а не 400 км: высота отсчитывается от поверхности, и радиус надо прибавить. Это самый частый способ получить неверный ответ, и величину ошибки стоит увидеть: подстановка высоты 400 км на место радиуса завышает силу примерно в 290 раз, а если вовсе пренебречь высотой и взять 6371 км, ошибка всё равно около 12 процентов.

Что такое сила тяжести на поверхности и как она здесь считается?

Это ускорение, которое тело сообщает стоящему на нём предмету, g = GM/R², то есть та же формула тяготения со второй массой, равной 1, и r, равным радиусу самого тела. Таблица на этой странице делает это для восьми тел: Луна даёт 1,62 м/с², Земля 9,82 м/с², Солнце 274 м/с². Именно это число решает, сколько вы там весили бы: человеку на 70 кг нужно 687 Н на Земле, 113 Н на Луне и около 19 кН на Солнце, — и потому вопрос о высадке на Солнце закрывается раньше, чем разговор доходит до температуры.

Насколько точен этот расчёт?

Примерно до четырёх значащих цифр, и упирается это в постоянную, а не в арифметику. G — самая неточно известная константа в физике: рекомендуемое значение 6,67430 с неопределённостью 15 в последних двух цифрах, то есть относительная неопределённость 2,2 × 10⁻⁵, на четыре порядка хуже следующей по изученности константы. Поэтому 1,980 × 10²⁰ Н надо читать как 1,98 × 10²⁰ Н, и ввод масс с десятью цифрами не добавит пятой значащей. Входные массы и расстояния обычно и сами грубее: масса Земли известна примерно до одной части на 10⁵, а здесь взят средний радиус, а не радиус на вашей широте.

Более тяжёлое тело притягивает сильнее, или они притягивают одинаково?

Одинаково. Обе массы входят в формулу перемноженными, поэтому сила, действующая на Землю со стороны вас, и сила, действующая на вас со стороны Земли, — это те же 687 Н в противоположных направлениях, и никакого смысла, в котором Земля притягивала бы сильнее, нет. Различается то, что эта сила делает: 687 Н разгоняют вас с ускорением 9,82 м/с², а Землю — с ускорением 1,15 × 10⁻²² м/с², поэтому падаете вы, а планета заметно не двигается. По той же причине странице достаточно одного расстояния и одного ответа, а не пары сил.

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — the inverse-square law, the value of G, and the Cavendish experiment that first measured it — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — centre-to-centre distance, the shell theorem for spherical bodies, and the range over which the point-mass idealisation holds — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — the recommended 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² and its relative standard uncertainty of 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology