Перейти к основному содержанию
CalcMax

Калькулятор эллипса

Диапазон: 0 cm – 1 000 000 000 cm

Диапазон: 0 cm – 1 000 000 000 cm

Результат

47,1239 cm²

Площадь

Периметр
25,5270 cm
Эксцентриситет
0,8000

Калькулятор эллипса берёт две оси овала и возвращает три величины: площадь, которую он занимает, длину его обода и то, насколько он далёк от круга. Первые две выходят в сантиметрах — площадь в квадратных, периметр в обычных, — а третья это число без всякой единицы, и почему так, страница объясняет ниже. Эллипс — это то, во что превращается окружность, когда её растянули в одном направлении сильнее, чем в другом, и две оси это те два направления. Большая ось — та, что длиннее: она проходит через центр из конца в конец; малая ось — та, что короче, и она перпендикулярна ей. Половина каждой называется полуосью, и это различие здесь важно, потому что стандартные формулы записаны через полуоси, а страница спрашивает полные длины: оба поля принимают то, что дала бы рулетка поперёк столешницы или беговой дорожки, а деление пополам происходит внутри. Площадь — единственная величина, для которой формула есть у всех. Это пи, умноженное на две полуоси, то же самое выражение, что и площадь круга, если заметить, что круг — это просто эллипс с равными осями. Если ваши два измерения равны, эта страница и страница площади круга совпадут в точности, и длина обода здесь совпадёт с длиной окружности там; первая строка таблицы и стоит для того, чтобы сверить её с обеими. Периметр — та величина, которая требует предупреждения. В отличие от площади, у расстояния по ободу эллипса нет формулы, которую можно записать конечным числом обычных действий; это эллиптический интеграл, и единственный практический способ получить число — приближение. Здесь используется второе приближение Рамануджана: оно достаточно точное, чтобы погрешность не проступала в четырёх печатаемых знаках у любого эллипса, который вы способны измерить, — но это приближение, и ведёт оно себя определённым образом на двух крайностях. Когда две оси равны, оно точно, потому что два конца формулы сокращаются. Когда малая ось уменьшается до нуля, эллипс сплющивается в отрезок, и приближение выходит слегка заниженным: при большой оси 10 и малой 0 обод должен был бы равняться 20 по удвоенной полуоси, а страница печатает 19,992. Эксцентриситет — третья величина, и её никто не ждёт. Это одно число от 0 до 1, говорящее, насколько эллипс далёк от круга: 0 — это круг, и чем ближе к 1, тем более сплющен эллипс. Единицы у него нет, потому что это отношение: оно одинаково, измеряете вы в сантиметрах или в милях, и страница печатает его без единицы именно поэтому. Три величины масштабируются по-разному, и таблица показывает это на одной паре строк. Удвойте обе оси — площадь вырастет в четыре раза, обод только вдвое, а эксцентриситет не сдвинется вообще, потому что больший эллипс тех же пропорций имеет ту же форму. Поэтому фотографию можно увеличить, не изменив того, что на ней изображено, и поэтому одного эксцентриситета достаточно, чтобы описать форму орбиты, тогда как для её размера нужны ещё и оси. И одного страница делать не станет: она не станет сама приводить в порядок ваши два измерения. Если короткая ось введена в длинное поле, страница скажет об этом и остановится, а не поменяет их молча: страница, переставляющая ваши числа, заставляет число на экране расходиться с подписью рядом с ним, и вы не смогли бы узнать, что это произошло.

Распространённые эллипсы: площадь, периметр и эксцентриситет по двум осям

Большая ось (cm)Малая ось (cm)Площадь (cm²)Периметр (cm)Эксцентриситет
101078.539831.41590
10862.831928.36170.6
10647.123925.5270.8
2012188.495651.0540.8
10431.415923.01310.9165
10215.70821.010.9798
1017.85420.31960.995
100019.9921

Восемь эллипсов и пять столбцов: на входе две оси, на выходе три величины. Первая строка — круг, и именно её надо сверять с другими страницами: эллипс 10 на 10 это круг радиуса 5, поэтому его площадь 78,5398 — та, которую печатает страница площади круга, а его периметр 31,4159 — та, которую печатает страница длины окружности. Вторая строка — более мягкий овал, 10 на 8, с эксцентриситетом 0,6: форма очень многих реальных предметов, от ипподрома до овального стола. Третья строка — та пара, с которой страница загружается, 10 на 6, её эксцентриситет равен ровно 0,8. Четвёртая строка — тот же эллипс с обеими удвоенными осями, и три величины отвечают на это тремя разными способами: площадь вчетверо больше, периметр вдвое, эксцентриситет без изменений, — и это и есть вся причина, по которой эксцентриситет приводят отдельно от размера. Пятая, шестая и седьмая строки сплющивают ту же большую ось в 10 сантиметров дальше — до 4, потом до 2 и потом до 1, — и показывают, как эксцентриситет поднимается к своему пределу, а периметр почти не двигается. Последняя строка — вырожденный случай, когда эллипс схлопнулся в отрезок: площадь равна нулю, эксцентриситет дошёл до своего предела 1, а в столбце периметра стоит 19,992 там, где истинное значение равно ровно 20, и это самая большая погрешность приближения во всей таблице. Заметьте, что у двух последних строк периметр почти одинаков — 20,3196 и 19,992, — хотя одна из них тонкий эллипс, а другая прямая линия: длина обода перестаёт откликаться на малую ось, как только фигура становится достаточно плоской. И замечание о чтении: десятичные знаки в ячейках печатает программа — она ставит точку и не разделяет разряды, поэтому в таблице стоят 78.5398, 31.4159 и 19.992; в тексте этой же страницы те же числа записаны с запятой — 78,5398, 31,4159 и 19,992. Это одно и то же число в двух записях, а не два разных числа.

Формула

A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)

a
Половина большой оси — большая полуось. Страница спрашивает полную большую ось и делит её пополам, потому что именно это и даёт рулетка; а формула записана через полуоси, потому что так её всегда и пишут
b
Половина малой оси. Когда b равно a, эллипс становится кругом, и формула площади сводится к привычной πr², где r — любая из двух полуосей
πab
Площадь. Она точна, в отличие от периметра ниже: перемножьте две полуоси, умножьте на π — и получите ответ с любым числом знаков, до которого готовы считать
h
Мера того, насколько две полуоси не равны: квадрат их разности, делённый на их сумму. Для круга это 0, а при сплющивании эллипса в отрезок она стремится к 1, и именно на этой величине и построено приближение для периметра
P
Периметр эллипса, в сантиметрах. Элементарной замкнутой формы у него нет, поэтому здесь стоит второе приближение Рамануджана: точное при равных осях и слегка заниженное, когда малая ось стремится к нулю
e = √(1 − b² ÷ a²)
Эксцентриситет — чистое число от 0 до 1, без единицы. Для круга он равен 0 и растёт к 1 по мере сплющивания, и именно его называют астрономы и оптики, когда важна только форма, а не размер
Четыре знака после запятой
Ширина, с которой печатаются значения. Площадь под ней точна, периметр — приближение, а эксцентриситет — отношение, поэтому у почти круглого эллипса почти вся информация сидит в его первых знаках

Любой овал, который надо измерить, — самый простой случай: круглый стол, который оказался не круглым, овальное зеркало, ковёр или раковина, ипподром или беговая дорожка, у которых две прямые и два поворота описываются осями, овальный стол для переговоров, бассейн со скруглёнными концами, рама или паспарту с овальным вырезом. Во всех этих случаях площадь нужна для расчёта количества материала или покрытия, а длина обода — это то, по чему покупают раму, окантовку, обечайку или погонный метр кромки. Ландшафтный дизайн и строительство используют её для овальных клумб, криволинейных мостовых, эллиптических площадок и вообще любой фигуры, вычерченной верёвкой между двумя колышками, — а это стандартный способ разметки эллипса на земле. Производство использует её для эллиптических люков, овальных труб, сплющенного проката и поперечного сечения всего, что вытянуто или отпрессовано в овал; эксцентриситет там важен потому, что два овала одной площади могут быть заметно разной формы, и подойдёт из них только один. В астрономии эксцентриситет — самая важная величина: орбиты планет это эллипсы с Солнцем в одном из фокусов, и эксцентриситет говорит, насколько каждая орбита близка к кругу, — у Земли он равен 0,0167, а у кометы куда выше. Оптика использует его для эллиптических плоских зеркал, складывающих ход луча в телескопе, где оси зеркала задаются углом его наклона, а медицина — для поперечных сечений сосудов и камер сердца и для эллиптических полей в лучевой терапии. В статистике это форма доверительного эллипса, оси которого берутся из двух стандартных отклонений, а площадь даёт меру охвата. На уроке это демонстрация того, что круг — частный случай более общего: накиньте петлю верёвки на два вбитых гвоздя, обведите карандашом — и форма меняется по мере того, как гвозди раздвигают, а периметр остаётся ровно таким же, как у петли, и это само по себе стоит заметить. А в повседневной арифметике страница отвечает на вопросы, накроет ли овальный ковёр пол, сколько ткани уйдёт на овальную скатерть и какая длина кромки нужна овальной клумбе.

Разобранные примеры

  1. Эллипс 10 поперёк и 6 в другую сторону

    1. Делим обе пополам: большая полуось равна 5, малая полуось равна 3
    2. Площадь: π × 5 × 3 = 47,1239 квадратного сантиметра
    3. Эксцентриситет: √(1 − 3² ÷ 5²) = √0,64 = 0,8
    4. Периметр: h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0,0625, что даёт π × 8 × 1,0157… = 25,527 сантиметра

    Пара, с которой страница загружается, и выбрана она потому, что эксцентриситет выходит ровно 0,8 — число, которое читатель может проверить руками, и наглядная иллюстрация того, что эта величина означает. Шаги начинаются с деления пополам, а это и есть тот шаг, который прячут два поля: если умножить 10 на 6, а потом на π, площадь выйдет вчетверо больше, и это самая частая ошибка на этой странице.

  2. Тот же эллипс, увеличенный вдвое: 20 на 12

    1. Делим обе пополам: 10 и 6
    2. Площадь: π × 10 × 6 = 188,4956 — вчетверо больше, чем в прошлом примере
    3. Эксцентриситет: √(1 − 36 ÷ 100) = 0,8, без изменений
    4. Периметр: 51,054 — вдвое больше, чем в прошлом примере

    Обе оси удвоены, и три величины отвечают на это тремя разными способами. Площадь растёт вчетверо, обод — только вдвое, а эксцентриситет не двигается вообще. В форме не изменилось ничего, и именно это эксцентриситет и говорит: он описывает пропорцию, а не размер, поэтому им и сравнивают орбиты.

  3. Круг под видом эллипса: 10 на 10

    1. Делим обе пополам: полуоси равны 5 и 5
    2. Площадь: π × 5 × 5 = 78,5398 квадратного сантиметра
    3. Эксцентриситет: √(1 − 25 ÷ 25) = 0
    4. Периметр: приближение превращается в π × 10 × 1 = 31,4159 сантиметра

    Эллипс с равными осями и есть круг, и эту строку можно сверить с двумя другими страницами. Эллипс 10 на 10 — это круг радиуса 5, и 78,5398 — та площадь, которую для этого радиуса печатает страница площади круга, а 31,4159 — та длина окружности, которую для него печатают и страница длины окружности, и страница двустороннего перевода. Приближение для периметра здесь к тому же не приблизительно, а точно, и это одна из двух причин, по которым выбрано именно оно.

  4. Очень плоский эллипс: 10 на 2

    1. Делим обе пополам: 5 и 1
    2. Площадь: π × 5 × 1 = 15,708 квадратного сантиметра
    3. Эксцентриситет: √(1 − 1 ÷ 25) = 0,9798
    4. Периметр: 21,01 сантиметра — примерно на двадцатую часть больше тех 20, которые дал бы путь туда и обратно вдоль большой оси

    Эксцентриситет 0,9798 близок к пределу, и это та строка, которая показывает, что эксцентриситет не является процентом от чего бы то ни было. Обод 21,01 у фигуры, самый длинный размер которой равен 10, показывает, как мало добавляет очень плоский эллипс к отрезку, в который он сплющивается, — пять процентов, а не половину.

  5. Сплющен полностью: 10 на 0

    1. Делим обе пополам: 5 и 0
    2. Площадь: π × 5 × 0 = 0 — фигура схлопнулась в отрезок и ничего не покрывает
    3. Эксцентриситет: √(1 − 0 ÷ 25) = 1, предел
    4. Периметр: 19,992 сантиметра — и вот здесь приближение показывает свой единственный изъян

    Крайний случай, о котором страница говорит честно. При малой оси, равной нулю, эллипс превращается в отрезок длиной 10, поэтому настоящий обод равен 20 — дважды большая полуось, туда и обратно. Приближение печатает 19,992, то есть недостаёт 0,008. Это и есть вся цена замены точной формулы на приближение, и это самая большая погрешность, которую приближение даёт где-либо на этой странице.

Ограничения

Эта страница вычисляет эллипс по двум его осям и больше ничего: она не принимает площадь или периметр и не восстанавливает по ним оси, не даёт фокусы и фокальное расстояние, не даёт касательную или нормаль в точке и ничего не рисует. Обе оси обязательны, и меньшую из них надо вводить в поле малой оси; если поставить туда большую, страница сообщит, что большее из двух чисел место в поле большой оси, а не поменяет их местами молча. Равными они быть могут — это круг, и обе могут быть нулевыми — это точка. Отрицательной не может быть ни одна. Периметр — приближение, а не точная величина: второе приближение Рамануджана, точное при равных осях и слегка заниженное при малой оси, стремящейся к нулю, где большая ось 10 при малой 0 даёт 19,992 против истинных 20. Для эллипса, который вы действительно можете измерить, погрешность не доходит до четвёртого знака, и получить более точное число на этой странице невозможно, потому что точный периметр — это эллиптический интеграл. Эксцентриситет единицы не имеет, потому что это отношение двух длин и он одинаков, в чём бы их ни измеряли; всё, что печатает рядом с ним единицу, ошибается. Обе оси принимают сантиметры, метры, миллиметры, дюймы и футы, и оба вывода в сантиметрах возвращаются такими, какими были введены, потому что перевод происходит на входе; площадь, измеренная в дюймах, переводится квадратом множителя длины, то есть 6,4516, а не 2,54. Четыре знака после запятой — это ширина отображения, а не заявление о точности, и стоит помнить, что у почти круглого эллипса эксцентриситет мал и почти вся информация сидит в его первых знаках. Ничего здесь не работает с повёрнутым эллипсом и ничего — с овалом, который не является настоящим эллипсом: и яйцевидная форма, и форма стадиона выглядят овально, но ни одна из них эллипсом не является.

Частые вопросы

В двух полях задаются полные оси или полуоси?
Полные оси — то, что даёт рулетка от одного конца овала до другого. Формулы используют половину каждой, поэтому страница делит их за вас; если бы деление требовалось в полях, вам пришлось бы самим делить свои измерения на два перед вводом. Это единственный скрытый шаг в арифметике, поэтому каждый разобранный пример с него и начинается.
Почему периметр неточен?
Потому что у расстояния по ободу эллипса нет формулы, которую можно записать обычными действиями: это эллиптический интеграл, и обойти это никак нельзя. Здесь используется второе приближение Рамануджана: оно точно при равных осях и слегка занижено по мере сплющивания, а на крайнем случае, при большой оси 10 и малой 0, даёт 19,992 там, где настоящий ответ 20. Для любого эллипса, который вы могли бы измерить линейкой, разница не доходит до четвёртого печатаемого знака.
Что вообще показывает эксцентриситет?
Насколько эллипс далёк от круга, одним числом от 0 до 1. Ноль — это правильный круг, и по мере сплющивания формы число растёт. Единицы у него нет, потому что это отношение двух длин, поэтому оно одно и то же, измеряли вы в сантиметрах или в милях, — а значит, именно им и сравнивают формы планетных орбит, размеры которых различаются огромно, а формы нет.
Почему площадь изменилась, когда я удвоил оси, а эксцентриситет нет?
Потому что эксцентриситет описывает форму, а площадь — размер, и удвоение обеих осей меняет только одно из двух. Удвойте обе — площадь вырастет вчетверо, обод только вдвое, а эксцентриситет останется ровно там, где был. Увеличенный эллипс имеет ту же форму, а число, говорящее, какова эта форма, не имеет причин двигаться.
Я ввёл большее измерение в меньшее поле. Почему ошибка, а не обмен?
Потому что обмен поставил бы на экран число, расходящееся с подписью над тем полем, откуда оно взялось, и вы не смогли бы узнать, что это произошло. Страница говорит, в какое поле принадлежит большее измерение, и оставляет решение за вами: до правильного ответа остаётся одна правка, и число остаётся вашим измерением, а не становится измерением страницы.
Это то же самое, что страница площади круга?
Для эллипса с равными осями она совпадает с ней в точности, и первая строка таблицы — как раз такой случай: эллипс 10 на 10 это круг радиуса 5, и обе страницы печатают 78,5398 для площади и 31,4159 для длины обода. Для любого другого эллипса страница круга не подходит вообще, потому что у круга одно измерение, а у эллипса два.

Источники

Похожие калькуляторы

Калькулятор кругаРадиус, диаметр, длина окружности и площадь — из любого одного.Калькулятор площади кругаПлощадь круга по радиусу или диаметру, в квадратных единицах.Калькулятор сферыРадиус, диаметр или длина окружности — и объём с площадью.Калькулятор периметраПериметр основных плоских фигур по длинам их сторон.