Калькулятор аннуитета

Приведённая стоимость = платёж × [1 − (1 + i)^(−n)] ÷ i Будущая стоимость = платёж × [(1 + i)^n − 1] ÷ i (обе умножаются на (1 + i), когда платежи приходят в начале периода — обычный аннуитет платит в конце периода, авансовый в начале) где i = годовая ставка ÷ число платежей в год, n = годы × число платежей в год

Платёж

Равная сумма за каждый период — платёж за период, всё равно, приходят эти деньги к вам или уходят от вас

Годовая ставка

Номинальная годовая ставка, используемая сразу в обе стороны: делится вниз до ставки за период, чтобы дисконтировать поток назад, и наращивается вперёд, чтобы перенести его в будущее, — ставка по умолчанию 7 % в год превращается в 0,5833 % в месяц

Число лет

Сколько идут платежи; умножается на число платежей в год и даёт число периодов

i

Ставка за период — годовая ставка, делённая на число платежей в год

n

Общее число периодов — годы, умноженные на число платежей в год

Приведённая стоимость

Сколько весь поток стоит сегодня, если дисконтировать каждый будущий платёж назад по одному периоду за раз

Будущая стоимость

Во что тот же поток накапливается к концу, если вместо этого наращивать каждый платёж вперёд к последней дате

Он нужен, когда у вас есть поток равных платежей и вы хотите увидеть обе его стоимости сразу, а не по одной: пенсия, которую взвешивают против единовременной суммы; арендная плата, которую сравнивают с ценой покупки; план накоплений, где хочется видеть внесённые деньги рядом с тем, сколько они стоят на каждом из двух концов. Это ещё и самый быстрый способ увидеть сложный процент напрямую: одни и те же 120 000 сегодня стоят 64 491, а к концу — 260 463, и разница между этими двумя числами не комиссия и не ошибка, а двадцать лет сложного роста. Это не та страница, когда нужно идти в обратную сторону и находить сам платёж по единовременной сумме, — это другой вопрос, и у него своя страница; и это не та страница, когда платежи не равны: поток, который растёт с инфляцией или меняется вместе с рыночной доходностью, аннуитетом не является, и ни одна из двух формул к нему не применима.

1. Случай по умолчанию и сверка с обеими односторонними страницами

   1. Ставка за период: 7 % ÷ 12 = 0,58333 % в месяц. Число периодов: 20 × 12 = 240.
   2. Множитель приведённой стоимости: [1 − 1,0058333^(−240)] ÷ 0,0058333 = 128,98, поэтому 500 × 128,98 = 64 491,25.
   3. Множитель будущей стоимости: [1,0058333^240 − 1] ÷ 0,0058333 = 520,93, поэтому 500 × 520,93 = 260 463,33.
   4. Платежи: 500 × 240 = 120 000 — здесь ставка не нужна вовсе.
   5. Проверка: 64 491,25 × 1,0058333^240 = 64 491,25 × 4,0387 = 260 463,33.

   Две цифры из первых двух шагов — это результаты по умолчанию соответственно страницы приведённой стоимости и страницы будущей стоимости: три страницы, собранные порознь, сходятся до копейки на одних и тех же пяти входных данных. Последний шаг — то, ради чего эта страница и существует: будущая стоимость есть приведённая стоимость, умноженная на (1 + i) по одному разу за период, что за 240 месяцев даёт 4,0387. Стоит заметить, что 4,0387 — это не 20 × 7 % = 1,40 и не 1,07^20 = 3,87: как только ставка приведена к месячной, наращённый множитель равен (1 + 0,0058333)^240, и никакой сокращённый расчёт с годовой цифрой его не воспроизводит.

2. Платежи в начале каждого периода

   1. Оба множителя — те же, что и в случае по умолчанию.
   2. Сдвиньте каждый платёж на период раньше, и весь поток сместится: умножьте оба результата на 1,0058333.
   3. 64 491,25 × 1,0058333 = 64 867,45.
   4. 260 463,33 × 1,0058333 = 261 982,70.

   Обе величины растут ровно на те же 0,583 % — процент за один период, — и это самый наглядный способ увидеть, что две цифры этой страницы суть два взгляда на один объект. Если бы поправка на момент платежа двигала их в разных пропорциях, это были бы не один и тот же поток. Платежи в начале периода стоят дороже в обе стороны, потому что каждый платёж на один период ближе к вам, а итог, 120 000, не двигается вовсе: момент платежа меняет то, сколько поток стоит, и никогда — то, сколько в нём денег.

3. Нулевая ставка, при которой все три цифры сходятся

   1. При нулевой ставке нечего дисконтировать и нечего наращивать.
   2. Обе замкнутые формулы в этом случае дают 0 ÷ 0, поэтому обе откатываются к числу периодов: 240.
   3. 500 × 240 = 120 000 во всех трёх местах.

   То, что все три цифры совпадают, — самое ясное утверждение о смысле двух других: приведённая стоимость и будущая стоимость суть одно и то же итоговое число, поправленное на время, а без ставки поправки нет. Это же и тот случай, который ломает наивную реализацию: записанный замкнутой формулой множитель равен 0 ÷ 0, и страница напечатала бы NaN, — поэтому общее ядро обрабатывает нулевую ставку отдельной ветвью, а не как очень маленькое число.

4. Раз в год вместо раза в месяц при том же размере платежа

   1. Ставка за период: 7 % в год, как есть. Число периодов: 20.
   2. Множитель приведённой стоимости: [1 − 1,07^(−20)] ÷ 0,07 = 10,59, поэтому 500 × 10,59 = 5297,01.
   3. Множитель будущей стоимости: [1,07^20 − 1] ÷ 0,07 = 40,995, поэтому 500 × 40,995 = 20 497,75.
   4. Платежи: 500 × 20 = 10 000.

   Отношение здесь 3,8697 против 4,0387 при ежемесячных платежах: те же номинальные 7 % дают меньший рост, когда применяются раз в год, а не двенадцать раз. Это соглашение о частоте проявляется в ответе, а не в ставке, и это важнее, чем кажется: годовые цифры отличаются от месячных более чем на пятую часть, а изменилось только то, как часто начисляется процент. То же сравнение при 0 % не показало бы разницы вовсе — полезное напоминание, что это эффект начисления, а не комиссия.

5. Крупный платёж и длинный срок, где начисление доминирует

   1. Ставка за период 0,58333 % в месяц, 600 периодов.
   2. Приведённая стоимость: 100 000 × 166,20 = 16 619 896,78.
   3. Будущая стоимость: 100 000 × 5448,07 = 544 807 091,51.
   4. Платежи: 100 000 × 600 = 60 000 000.
   5. Отношение: 544 807 091,51 ÷ 16 619 896,78 = 32,78, то есть 1,0058333^600.

   Шестьдесят миллионов внесённых превращаются в пятьсот сорок четыре миллиона к концу — на горизонте, где отношение доходит до 32,78. Столбец приведённой стоимости рассказывает вторую половину истории: при 16,6 миллиона это обещание стоит едва больше четверти денег, которые в итоге сменят владельца, потому что платежи ближе к концу пятидесятилетнего графика дисконтируются почти в ноль. Обе цифры верны, и причина, по которой одна страница с обеими полезнее любой из них по отдельности, в том, что разрыв между ними и есть весь предмет.

Платежи равны, и ставка фиксирована на весь срок. Ни одна из двух формул не применима к потоку, который растёт с инфляцией, меняется вместе с рыночной доходностью или обрывается досрочно; для таких нужен график по годам, а не замкнутая формула. Ставка номинальная и начисляется с частотой платежей. Изменение одной только частоты при неизменной ставке меняет ответ на входных данных по умолчанию более чем на пятую часть: годовой случай даёт 20 497,75 там, где месячный даёт 260 463,33. Ставка, объявленная с другим соглашением о начислении, — это другая ставка, и эта страница не станет её пересчитывать за вас. Комиссии, налоги и инфляция не моделируются. Сам поток платежей точен: 120 000 — это 120 000. А вот сколько он стоит — величина номинальная, поэтому сегодняшние 64 491 являются сегодняшними деньгами лишь в том смысле, что они не скорректированы на то, что деньги будут покупать позже. Переключателя режима нет, поэтому эта страница всегда принимает платёж как входные данные и выдаёт обе стоимости как результаты. Нахождение платежа по единовременной сумме — другой вопрос, и он живёт на своей странице, а не в виде настройки здесь, потому что режим, который молча игнорирует одно из полей ввода, хуже лишнего перехода. Ставка на уровне −100 % и ниже отвергается; диапазон доходит до −99,9 %, где приведённая стоимость того же потока становится астрономически большой. Это математика дисконтирования по отрицательной ставке, а не ошибка, но это не реалистичные входные данные, и столбец приведённой стоимости лучше читать как предупреждающий знак, когда он взрывается. Две стоимости ни в каком оценочном смысле не сравниваются друг с другом. Приведённая стоимость 64 491 и будущая стоимость 260 463 для одного и того же потока — не два предложения, между которыми выбирают; это одно и то же предложение, измеренное на две разные даты.

Что показывает этот калькулятор аннуитета по сравнению с односторонними?

Оба ответа сразу. Приведённая стоимость аннуитета и будущая стоимость аннуитета — это один и тот же поток, измеренный на две разные даты, и у каждой есть своя страница, которая сообщает только одну из них. Здесь те же пять входных данных дают обе, а вместе с ними и сумму платежей — величину, которая не зависит от ставки вообще. Видеть 120 000, 64 491,25 и 260 463,33 в одном представлении — это то, что делает связь между ними осязаемой, а не принимаемой на веру.

Почему будущая стоимость так сильно больше приведённой?

Потому что это одни и те же деньги на две разные даты, и вся разница — время. За 20 лет при 7 % с ежемесячным начислением одна денежная единица вырастает до 4,0387, поэтому сумма, которая сегодня стоит 64 491, к концу стоит 260 463. Ни одно из этих чисел не является ни комиссией, ни прибылью, ни ошибкой — это две допустимые цены одного обещания, и называть любую из них без даты, к которой она относится, бессмысленно.

Можно ли здесь найти сам платёж, если известна единовременная сумма?

На этой странице нет, и намеренно: платёж здесь входные данные, а не неизвестное. Страница, которая позволила бы переключать, какое поле вычисляется, должна была бы показывать все входы сразу, и то из них, которое в данный момент считается, стояло бы пустым ящиком, игнорирующим всё, что вы в него вводите. У платежа по единовременной сумме есть своя страница, и она идёт дальше, чем пошёл бы переключатель режима: она ещё сообщает ставку выплат и то, какая доля итога приходится на рост.

Имеет ли значение, приходят платежи в начале периода или в конце?

Обе стоимости меняются ровно на процент за один период — 0,583 % на входных данных по умолчанию — и меняются в одинаковой пропорции в обе стороны. Это и есть признак того, что две цифры суть взгляды на один объект: поправка, которая сдвинула бы их на разные величины, означала бы, что они описывают разные потоки. Итог выплат, 120 000, не двигается вовсе — момент платежа меняет то, сколько поток стоит, а не то, сколько денег в нём содержится.

Почему смена частоты платежей так сильно меняет ответ?

Потому что ставка номинальная и начисляется с той частотой, которую вы выбрали. Годовая ставка 7 %, применённая раз в год, за двадцать лет даёт меньший рост, чем те же 7 %, применённые двенадцать раз в год, и разница велика: 20 497,75 против 260 463,33 при 500 в месяц, хотя общая сумма платежей там тоже другая. Честный способ читать любую объявленную годовую ставку — спросить, с какой частотой она начисляется, потому что номинальная ставка без своей частоты — это только половина ставки.

Что происходит при нулевой ставке?

Все три цифры становятся одним и тем же числом — на входных данных по умолчанию 120 000. Когда дисконтировать нечего и наращивать нечего, приведённая стоимость и будущая стоимость — обе просто сумма платежей. Полезно знать, что это же случай, в котором ломается реализация через замкнутую формулу: при нулевой ставке множитель равен 0 ÷ 0, поэтому страница, которая не обработала бы его отдельно, напечатала бы NaN. Ядро этой страницы обрабатывает его своей ветвью.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv)(A) and (B) — the United States regulation defining the annuity factor: subtract the term-certain remainder factor from 1.000000 and divide by the interest rate, with a further adjustment factor when payments fall at the end of monthly or quarterly periods — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States, current as of 2026)
• Annuities — a single payment or a series of premiums buying periodic payments, and how the timing of those payments is set out in the contract — FINRA (Financial Industry Regulatory Authority), United States
• Planning for retirement — comparing a lump sum with a stream of income, and why the two cannot be compared without picking a rate to discount at — Consumer Financial Protection Bureau, United States