Калькулятор угловой скорости

ω = 2π ÷ T и v = ω · r при ω = 2π · n / 60, где n — частота вращения в об/мин

n

Частота вращения, по умолчанию в об/мин (rpm) — поле принимает также рад/с, °/с и об/с. Это число с тахометра, с шильдика двигателя или с колеса, и оно должно быть строго больше нуля

r

Радиус от оси вращения до интересующей вас точки, по умолчанию в метрах — поле принимает также сантиметры, миллиметры, километры, дюймы и футы. Ноль допустим и даёт линейную скорость ноль: сама ось не движется

ω

Угловая скорость — основной результат, всегда печатается в радианах в секунду. Именно в таком виде её требует остальная механика: момент силы, момент импульса и центростремительная сила берут ω, а не обороты в минуту

T

Период обращения, в секундах — время от одного оборота до следующего. Он обратен частоте вращения, поэтому вдвое большая частота даёт вдвое меньший период обращения

v

Линейная скорость точки на введённом вами радиусе, в метрах в секунду — вдоль той окружности, по которой она идёт, а не по кратчайшему расстоянию между её положениями

Эта страница нужна, когда что-то вращается и вы хотите узнать, что это вращение значит в единицах, которыми пользуется остальная физика: подобрать шкив или шестерню, сверить скорость обода колеса с допуском шины, посчитать окружную скорость вентилятора или точильного круга, перевести 7200 rpm из паспорта в те рад/с, которых требует расчёт момента или центростремительной силы. Три привычки делают ответ полезнее. Первая: читайте период как проверку на здравый смысл — один оборот в минуту это период ровно одна секунда, поэтому период 0,008 с принадлежит чему-то, что делает тысячи оборотов в минуту, то есть жёсткому диску, а не ветряку. Вторая: помните, что радиус здесь работает по-настоящему — то же вращение при вдвое большем радиусе даёт вдвое большую линейную скорость, и именно поэтому скорость машины ограничивает обод колеса, а не его ступица. Третья: не путайте эту страницу со страницей углового ускорения — здесь описано вращение, которое уже происходит, и она ничего не может сказать о том, растёт эта скорость или падает. Если нужно знать, как быстро меняется вращение, это другой расчёт и другие входные данные: начальная и конечная скорости и время между ними.

1. Колесо автомобиля, 800 rpm, шина в 0,3 м от оси

   1. 800 rpm в оборотах в секунду: 800 ÷ 60 = 13,333 об/с
   2. В рад/с: 13,333 × 2π = 83,776 рад/с
   3. Период: 2π ÷ 83,776 = 0,075 с, то же самое, что 1 ÷ 13,333 об/с
   4. Линейная скорость: 83,776 × 0,3 = 25,133 м/с
   5. В км/ч, потому что именно это показывает спидометр: 25,133 × 3,6 = 90,5 км/ч

   Самое интересное здесь — последнее число, потому что только его и можно сверить с окружающим миром: колесо в 800 rpm такого размера — это машина, едущая примерно 90 км/ч, то есть правдоподобная скорость на трассе при правдоподобном размере колеса. Отсюда же видно, почему радиус пришлось сделать входным полем, а не подставлять его внутри: одно вращение ничего не говорит о том, как быстро едет машина. Период тоже стоит прочитать: 0,075 с означают, что колесо делает тринадцать оборотов в секунду, и пятно контакта шины сминается тринадцать раз в секунду — на этой частоте и живут шум шин и износ протектора.

2. Точильный станок, 1400 rpm, круг диаметром 0,3 м

   1. 1400 rpm в оборотах в секунду: 1400 ÷ 60 = 23,333 об/с
   2. В рад/с: 23,333 × 2π = 146,608 рад/с
   3. Период: 2π ÷ 146,608 = 0,043 с
   4. Линейная скорость: 146,608 × 0,15 = 21,991 м/с
   5. Это около 22 м/с по ободу, то есть примерно 79 км/ч

   Здесь вся суть именно в скорости обода. Допуск шлифовального круга пишут как предельную окружную скорость в метрах в секунду, а не как частоту вращения, потому что одни и те же обороты безопасны на маленьком круге и опасны на большом: круг держится собственной прочностью на разрыв, а нагрузка на него растёт как квадрат окружной скорости. 1400 rpm — это то, что даёт четырёхполюсный двигатель от сети 50 Гц, и 22 м/с спокойно укладываются в типовой допуск круга; поставьте на тот же шпиндель круг радиусом 0,3 м, и скорость обода удвоится до 44 м/с без единого изменения в двигателе.

3. Вал, делающий ровно один оборот в минуту, точка в 1 м от оси

   1. 60 rpm — это 60 оборотов за 60 секунд, то есть 1 оборот в секунду
   2. Период: 1 ÷ 1 об/с = 1 с — один оборот в секунду, значит одна секунда на оборот
   3. В рад/с: 1 об/с × 2π = 6,283 рад/с, то же самое, что 60 × 2π ÷ 60
   4. Проверка через период: 2π ÷ 6,283 = 1 с — обе дороги сходятся
   5. Линейная скорость при 1 м: 6,283 × 1 = 6,283 м/с

   Этот пример существует, чтобы закрепить ту единственную частоту вращения, период которой проверяется без арифметики. При 60 rpm период равен ровно одной секунде, потому что 60 оборотов за 60 секунд — это один оборот в секунду; именно эта опора и не даёт прочитать период 0,008 с с ошибкой в десять раз: это тысячи оборотов в минуту, пластина жёсткого диска, а не сотни. Заодно он разводит два числа, которые пишут одинаково и которые отличаются в 60 раз: 60 rpm — это 1 об/с, а 60 об/с были бы 3600 rpm. Линейная скорость после этого получается прямо из длины окружности: точка на радиусе 1 м проходит 2πr = 6,283 м ровно за одну секунду. Что реально вращается со скоростью 60 rpm: секундная стрелка часов, медленная бетономешалка и выход редуктора, сильно пониженного ради момента.

Страница описывает вращение в один момент времени — одно состояние движения — и ничего не говорит о том, как это состояние было достигнуто и сколько оно продлится. Ничего здесь не о моменте силы, мощности или моменте инерции: знать, что вал вращается со скоростью 314 рад/с, ещё не значит знать, что его раскручивает, потому что одну и ту же ω даёт и крошечный двигатель на пустом валу, и большой на нагруженном маховике. Линейная скорость — это скорость точки, движущейся по окружности, и это не скорость, с которой едет сама машина: обод колеса автомобиля имеет линейную скорость 25 м/с относительно оси, но скорость машины вперёд — отдельная величина, и совпадает она с ней только тогда, когда колесо катится без проскальзывания. Радиус здесь считается постоянным, поэтому всё, что связано с его изменением, вне этой страницы: фигуристка, прижимающая руки, трос, наматывающийся на барабан, или лопасть турбины, которая гнётся. Страница также предполагает идеальную жёсткость и отсутствие проскальзывания: ремень, шина или сцепление, которые буксуют, делают линейную скорость на выходе неверной ровно на величину проскальзывания. И наконец, смена направления вращения этой страницей не выражается: обороты в минуту здесь понимаются как модуль, а поля не принимают отрицательных значений, поэтому вал, который крутится назад, придётся вводить его скоростью, а направление отмечать где-то ещё.

Как посчитать угловую скорость по оборотам в минуту?

Умножьте частоту вращения в об/мин на 2π и разделите на 60 — то же самое, что умножить на 0,10472. Вал, делающий 3000 rpm, имеет угловую скорость 3000 × 2π ÷ 60 = 314,159 рад/с. Множитель здесь не случаен: один оборот — это 2π радиан, а одна минута — 60 секунд, поэтому перевод rpm в рад/с меняет и единицу угла, и единицу времени сразу. Калькулятор делает это в основном результате, так что поле можно оставить в об/мин, а ответ читать в радианах в секунду.

Зачем радиус, если мне нужна только угловая скорость?

Потому что карточка в списке инструментов обещает три вещи — угловую скорость, период и линейную скорость, — а для линейной скорости нужен радиус. Напечатать линейную скорость, не зная расстояния до оси, невозможно: точка на самой оси не движется вовсе, а то же вращение при вдвое большем радиусе даёт вдвое большую скорость. По умолчанию радиус равен 0,1 м, чтобы поле никогда не мешало, и на два других результата он не влияет никак: измените его, и рад/с с периодом останутся ровно там же, где были.

Чем эта страница отличается от калькулятора углового ускорения?

Здесь описано вращение, которое идёт прямо сейчас: одна угловая скорость, один период обращения, одна линейная скорость. Угловое ускорение — про изменение, про то, как быстро вращение разгоняется или замедляется, и его формула α = (ωf − ωi) ÷ t требует двух угловых скоростей и времени между ними. Вал, ровно вращающийся со скоростью 3000 rpm, имеет угловую скорость и не имеет углового ускорения вообще, а разгоняющийся вал имеет и то и другое. Общая у этих двух страниц только таблица единиц вращения; перепутав их, вы получите ответ, отличающийся на множитель времени.

Как найти период одного оборота?

Разделите 2π на угловую скорость — или, что то же самое, разделите 60 на число оборотов в минуту. При 3000 rpm период равен 60 ÷ 3000 = 0,02 секунды, то есть это время от одного оборота до следующего, а значит вал делает пятьдесят оборотов в секунду. Когда вы думаете про вибрацию, период часто полезнее: величина, обратная периоду, — это частота, с которой вращение повторяется. Колесо, делающее тринадцать оборотов в секунду, как в первом примере, сминает шину тринадцать раз в секунду, и эта скорость и есть перевёрнутый период.

Чему равна линейная скорость точки на вращающемся теле?

Она равна угловой скорости, умноженной на радиус: v = ωr, и это скорость вдоль окружности, а не по какой-либо прямой. Точка в 0,3 м от оси колеса, вращающегося со скоростью 83,776 рад/с, движется со скоростью 25,133 м/с — около 90 км/ч, — а точка на том же колесе в 0,15 м движется ровно вдвое медленнее. У самой оси линейная скорость равна нулю, поэтому калькулятор и допускает радиус, равный нулю, и выдаёт ноль вместо ошибки. Чего это число не означает — так это скорости самой машины: для колеса, катящегося без проскальзывания, они совпадают, а как только шина буксует — уже нет.

Что использовать — об/с или герцы?

Численно это одно и то же, но это не одна и та же единица, и калькулятор предлагает об/с в поле, а герцы не печатает никогда. Вращение 3000 rpm — это 50 об/с, и 50 Гц — тоже частота сети, с которой синхронизирован четырёхполюсный двигатель, поэтому числа и совпадают; но одно считает обороты, а другое — периоды колебательной величины. Записав обороты в секунду как герцы, вы легко прочитаете частоту вращения как частоту колебаний, — а это важно ровно тогда, когда речь идёт о резонансе, вибрации или фильтре, где герцы и есть то, что проектируют, а обороты в минуту — лишь механическое следствие.

• Rotational Motion and Angular Momentum (College Physics 2e, §6.1) — ω = Δθ ÷ Δt, the relation between period and angular velocity, and the definition of the radian — OpenStax
• The International System of Units (SI Brochure, 9th edition) — the radian as the coherent SI unit of plane angle, so that rad/s and s⁻¹ coincide numerically without being interchangeable names — Bureau International des Poids et Mesures
• Linear speed and the relation v = ωr — including why the radius must appear explicitly and why two points on the same rotating body have different linear speeds — Wikipedia
• ANSI B7.1 — Safety Requirements for the Use, Care and Protection of Abrasive Wheels, the standard behind the maximum surface speed marked on a grinding wheel — American National Standards Institute