Calculadora de média ponderada

Média ponderada = Σ wᵢxᵢ ÷ Σ wᵢ

xᵢ

Um valor da lista — uma nota, um preço, uma medição. Todo valor ainda precisa ser informado, inclusive os que ficam com peso zero; deixar um valor de fora não é a mesma coisa que atribuir peso zero a ele

wᵢ

O peso desse valor, escrito na mesma posição da segunda caixa. Pode ser uma porcentagem, uma quantidade de créditos, um número de pessoas ou qualquer outra participação — só a razão entre os pesos importa, e a página não exige que sejam inteiros nem que somem 100

Σ wᵢxᵢ

O total ponderado: cada valor multiplicado pelo próprio peso e depois somado. É o numerador, e é ele que faz a resposta caminhar na direção das entradas de peso maior

Σ wᵢ

A soma dos pesos, impressa no painel de resultados. Dividir por ela é o que transforma o total ponderado de volta em uma média — e é também a conferência: se esse número não for o que você esperava, algum peso foi digitado errado, e a resposta está incorreta de um jeito que nenhuma outra linha revela

Use uma média ponderada sempre que as entradas diferirem em quanto devem contar, e use uma média simples quando não diferirem. Notas de disciplina são o caso do dia a dia: uma prova final que vale 30% e um teste que vale 10% não são duas notas a serem somadas como iguais, e a mesma conta cobre um coeficiente de rendimento acadêmico, o preço médio de compra de uma carteira e uma nota de satisfação em que cada filial tem um número diferente de respostas. Ela também é a ferramenta certa para um número que já é uma média: se a filial A informa uma média de 40 em 10 vendas e a filial B informa 90 em 2, tirar a média de 40 e 90 dá 65, que nenhum cliente pagou nem de longe, enquanto ponderar pelas contagens dá o número que a empresa de fato faturou. Não a use para dar mais influência a um valor por ele ser mais confiável ou mais importante em algum outro sentido — o peso é uma participação do total, e a resposta é exatamente o que uma média simples daria se cada valor fosse repetido tantas vezes quanto vale o seu peso.

1. Cinco notas com pesos percentuais

   1. Multiplique cada nota pelo seu peso: 85 × 20 = 1.700, 90 × 20 = 1.800, 78 × 10 = 780, 92 × 20 = 1.840, 88 × 30 = 2.640
   2. Some os produtos: 1.700 + 1.800 + 780 + 1.840 + 2.640 = 8.760
   3. Some os pesos: 20 + 20 + 10 + 20 + 30 = 100
   4. Divida: 8.760 ÷ 100 = 87,6

   A média simples dessas cinco notas é 86,6, então a ponderação vale 1,0 ponto aqui. Ela vem de onde o peso está sentado: 78 é a nota mais baixa e carrega apenas 10, enquanto 88 carrega 30, a maior participação. A média ponderada é, portanto, puxada para cima — não porque a ponderação seja injusta, mas porque foi exatamente isso que a ponderação pediu. Lendo os mesmos números ao contrário, o quadro se completa: se o 30 estivesse sobre o 78 em vez de sobre o 88, a resposta seria 85,6, um ponto abaixo da média simples. Uma média ponderada vale o que valem os pesos, e é por isso que a soma dos pesos aparece impressa ao lado dela.

2. Um coeficiente de rendimento em cinco disciplinas

   1. Multiplique cada nota pela quantidade de créditos da disciplina: 4 × 3 = 12, 3,7 × 4 = 14,8, 3,3 × 3 = 9,9, 3 × 2 = 6, 4 × 3 = 12
   2. Some os produtos: 12 + 14,8 + 9,9 + 6 + 12 = 54,7
   3. Some os créditos: 3 + 4 + 3 + 2 + 3 = 15
   4. Divida: 54,7 ÷ 15 = 3,6467

   Esta é a conta por trás de um coeficiente de rendimento acadêmico, e é a razão de a página imprimir a soma dos pesos: 15 créditos é o denominador da fração, e um coeficiente que veio de 15 créditos não é a mesma afirmação que um que veio de 60. A média simples das cinco notas é 3,6, então os créditos deslocam a resposta em 0,0467 — um deslocamento menor que o do exemplo anterior, porque os créditos variam apenas de 2 a 4, enquanto os pesos de lá iam de 10 a 30. O número sem ponderação também vale a pena: se toda disciplina valesse o mesmo, o histórico desse estudante leria 3,6 em vez de 3,65.

3. Pesos que não somam 100

   1. Multiplique cada valor pelo seu peso: 10 × 1 = 10, 20 × 2 = 40, 30 × 3 = 90
   2. Some os produtos: 10 + 40 + 90 = 140
   3. Some os pesos: 1 + 2 + 3 = 6
   4. Divida: 140 ÷ 6 = 23,3333

   Esses pesos somam 6, e isso é perfeitamente aceitável — a resposta seria idêntica se eles fossem escritos 10, 20 e 30 ou 0,1, 0,2 e 0,3. Só a razão importa, então um conjunto de pesos se lê melhor como uma receita do que como porcentagens: some o que somarem, os valores estão sendo misturados naquelas proporções. A única coisa que muda é a soma dos pesos impressa ao lado da resposta, que acompanha os pesos que você digitou. Repare também que a resposta fica bem mais perto do maior valor, 30, do que a média simples de 20: o peso maior está sobre a maior entrada, e a média ponderada é um ponto de equilíbrio, então ela desliza na direção do que carrega mais peso.

Os pesos precisam ser zero ou positivos, e pelo menos um deles precisa ser maior que zero: uma lista com todos os pesos iguais a zero não tem média ponderada, e a página a recusa em vez de dividir por nada. Um peso zero isolado é permitido e significa que aquela entrada é ignorada — ela continua contando na contagem e continua entre os valores, mas não contribui nada para a resposta, o que vale saber antes de ler um zero como se fosse apenas um peso pequeno. Nada é normalizado por você, então pesos que somam 150 estão certos, e pesos que somam 0,4 também; só a razão entre eles afeta o resultado. As duas caixas são posicionais, então os pesos precisam ser escritos na mesma ordem dos valores e precisa haver a mesma quantidade nos dois — a página recusa a diferença em vez de adivinhar qual peso pertence a qual valor, e essa recusa é a proteção contra o pior modo de falha daqui, que é uma resposta de aparência correta montada com pares desalinhados. Esta não é a média ponderada de uma tabela de frequências, em que um valor representa muitas leituras; para isso, informe o valor uma vez com a contagem como peso e a resposta será a mesma, mas uma tabela copiada crua não vai funcionar. As listas são limitadas a 200 pares, e uma entrada como 1.500 é recusada em vez de adivinhada, porque um ponto entre dígitos seguido de exatamente três algarismos é separador de milhar em tantas línguas; escreva o número sem separador de milhar, ou com vírgula decimal.

Como calcular uma média ponderada?

Multiplique cada valor pelo seu peso, some esses produtos e divida o resultado pela soma dos pesos. Para as cinco notas desta página os produtos são 1.700, 1.800, 780, 1.840 e 2.640, que somam 8.760, e os pesos somam 100, então a média ponderada é 8.760 ÷ 100 = 87,6. Os dois operandos dessa divisão aparecem no painel de resultados, então a conta pode ser conferida sem refazer a multiplicação à mão.

Qual é a diferença entre média ponderada e média simples?

As duas dão o mesmo número quando todos os pesos são iguais, e é aí que elas se encontram. A média simples dá a toda entrada o mesmo peso, o que equivale a atribuir 1 a cada uma; a ponderada permite que cada entrada tenha uma participação própria, e é isso que faz a resposta se aproximar das entradas de peso maior. Em textos de estatística, média ponderada é o nome formal, e média aritmética ponderada aparece quando é preciso deixar claro que a conta é feita por soma e divisão.

Os pesos precisam somar 100?

Não, e nada nesta página divide por 100. Os pesos são uma participação, então só a razão entre eles importa: 1, 2 e 3 dão a mesma resposta que 10, 20 e 30, e a mesma coisa que porcentagens. Grupos que não somam 100 são comuns quando os pesos não são porcentagens: créditos de disciplinas, número de respostas, fatias de uma carteira. O único número que acompanha o que você digitou é a soma dos pesos, que a página imprime ao lado da resposta.

O que acontece se um peso for zero?

Esse valor fica de fora da média por completo, como se nunca tivesse estado na lista — mas ele continua contando na contagem e ainda precisa ser informado nas duas caixas, porque as caixas são casadas posição por posição. Zero não é um peso pequeno; é peso nenhum, e as duas coisas são afirmações diferentes. O que a página não aceita é todos os pesos iguais a zero: aí a soma dos pesos é zero e a divisão não tem resposta, então a entrada é recusada em vez de produzir um infinito.

Posso usar para notas de prova ou para um coeficiente de rendimento?

Pode, e os dois são os usos padrão. Notas de prova ponderadas são a mesma conta do primeiro exemplo: ponha as notas na primeira caixa e o peso que cada avaliação tem na segunda. Um coeficiente de rendimento acadêmico funciona do mesmo jeito, com as notas como valores e os créditos como pesos, que é o segundo exemplo — a resposta é o número que a secretaria calcularia, e a soma dos pesos impressa ao lado dele é o total de créditos.

Por que a soma dos pesos aparece, se a resposta não depende dela?

Porque é o denominador com que você conferiria a divisão e porque é ali que um erro de digitação aparece primeiro. Se a soma dos pesos for 97 em vez de 100 quando a intenção era usar porcentagens, algum peso foi digitado errado — e a média ponderada que sai disso está incorreta de um jeito que nenhuma outra linha do painel revela, já que os valores e a contagem parecem certos. Se os pesos são a contagem de algo real, créditos ou respostas ou pessoas, a soma é um número que vale ter por si só.

• Weighted Mean — MathWorld — Wolfram MathWorld
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (why the mean is a balance point, and how weights move it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)