Calculadora de média aritmética

Média = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = Σx ÷ n

xᵢ

Um número da lista. Os valores podem ser negativos — uma temperatura, um saldo, um desvio em relação a uma meta —, e podem ser decimais ou frações; só o total e a contagem entram na fórmula, então nada precisa ser ordenado antes

Σx

A soma de todos os valores, impressa no painel de resultados. É o numerador, e é o número que carrega as unidades: uma soma de minutos é medida em minutos, e a média que sai dela também

n

Quantos valores existem, também impresso. É o denominador, e é dele que esta média tira o significado — a soma é repartida igualmente entre os valores, então a resposta é o que cada um teria se todos tivessem a mesma quantidade

Σx ÷ n

A única divisão, escrita no painel com os números reais dentro dela. Conferi-la é o motivo de a soma e a contagem aparecerem separadas: se a resposta parecer errada, é esta linha que diz se o erro foi na soma ou na contagem

Use a média para grandezas que se somam e em que toda entrada deve contar o mesmo. Isso cobre a maior parte dos casos do dia a dia: a nota média de uma turma, o preço médio de uma cesta de compras, o número médio de minutos que uma tarefa leva, a temperatura média de um mês. A média é também o número que faz o total fechar — a soma dos desvios em relação a ela é exatamente zero —, e é por isso que ela é o resumo natural de um total e a entrada de quase tudo o mais em estatística. Use outra coisa quando as entradas não têm a mesma importância, o que é uma média ponderada; quando os valores se multiplicam em vez de se somar, como taxas de crescimento e razões, o que é uma média geométrica; quando os valores são taxas de execução de algo, o que é uma média harmônica; e quando alguns valores extremos arrastariam a resposta para longe do caso típico, o que é uma mediana. A média é sensível a valores atípicos por construção, já que cada valor puxa na proporção da própria distância, e essa sensibilidade às vezes é a razão de usá-la e às vezes a razão de não usá-la.

1. Cinco notas de prova

   1. Some os valores: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. Conte-os: são 5
   3. Divida: 433 ÷ 5 = 86,6

   O painel escreve essa divisão por extenso — (85 + 90 + 78 + 92 + 88) / 5 = 86.6000 —, e esse passo é o único da página que sai como texto puro: o ponto é o do sistema, com quatro casas fixas e sem vírgula decimal, enquanto a linha do resultado, que passa pela formatação do idioma, mostra 86,6000. É a mesma resposta escrita de dois jeitos no mesmo painel, e vale saber disso antes de estranhar a diferença. A soma de 433 vale uma olhada por si só: é o total que a turma somou, e a média é a nota que todo aluno teria se o total fosse repartido em partes iguais. Esta mesma lista de cinco números é o padrão nas quatro páginas deste grupo, então entrar em uma delas a partir de outra dá os mesmos dados sob outra média: 86,6 é a média aritmética; a média geométrica desta lista é 86,458 e a harmônica é 86,3118, ambas menores, como a desigualdade entre as médias promete; e a ponderada depende dos pesos e pode cair dos dois lados — com os pesos padrão da página de média ponderada ela dá 87,6, acima da média simples, porque lá o peso maior está sobre a nota maior.

2. Uma lista com valores negativos

   1. Some os valores: −5 + (−1) + 3 = −3
   2. São 3 valores
   3. Divida: −3 ÷ 3 = −1

   Valores negativos são entradas comuns: temperaturas abaixo de zero, saldos no vermelho, leituras relativas a uma linha de base. O painel escreve a soma como (−5 − 1 + 3) e não como (−5 + −1 + 3), que é a mesma coisa mas se lê do jeito que uma pessoa falaria. Repare que a resposta, −1, fica entre o menor valor e o maior, como uma média sempre precisa ficar — uma média que caísse fora do intervalo dos dados seria sinal de que algo foi digitado errado. Ela também não precisa ser um dos valores da lista, mas nesta lista ela é: −1 está entre os três números informados, o que é uma coincidência e não uma regra.

3. Dois valores decimais

   1. Some os valores: 0,3 + 0,45 = 0,75
   2. São 2 valores
   3. Divida: 0,75 ÷ 2 = 0,375

   Os decimais podem ser digitados com ponto ou com vírgula, e um valor pode ser escrito com quantos algarismos quiser — nada é arredondado na entrada. A única exceção é a da entrada ambígua: um separador seguido de exatamente três algarismos é recusado, e não adivinhado, como a seção de limitações explica. A resposta é mostrada com quatro casas decimais, o que para este par acrescenta um zero à direita, e a linha do resultado imprime 0,3750 em vez de 0,375. Esse preenchimento é deliberado e não é uma afirmação de precisão; é o que faz o painel se alinhar com a divisão escrita acima dele, e é o número de casas que todo resultado desta página usa.

4. Oito valores, escritos com um Σ

   1. Some os valores: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. São 8 valores
   3. Divida: 40 ÷ 8 = 5

   Esta lista tem mais de seis valores, então o passo a passo muda para a forma abreviada: Σx / 8 = 5.0000 em vez de escrever os oito números. O Σ é o mesmo símbolo que o bloco da fórmula usa, e significa exatamente o que a linha expandida significava — some todos —, então nada se perde, e uma lista de duzentos valores não produz uma linha de duzentos números. A troca acontece acima de seis valores e não em outra contagem: abaixo disso a linha expandida é curta o bastante para ser a mais útil das duas, e com seis valores ela ainda é.

A lista precisa conter pelo menos um valor e no máximo duzentos, e um item que não seja número é recusado em vez de ignorado — uma lista com 1, 2 e abc é rejeitada em vez de ter a média tirada dos dois números que o leitor consegue ler. Um separador entre dígitos seguido de exatamente três algarismos também é recusado, então 1.500 precisa ser escrito sem separador de milhar, ou com vírgula decimal, porque um ponto entre dígitos é separador de milhar aqui e separador decimal em outros lugares, e adivinhar qual convenção foi usada mudaria a resposta por um fator de mil, em silêncio. Nada é arredondado na entrada: os valores são usados exatamente como digitados, e só o resultado impresso é fixado em quatro casas decimais, então uma lista longa de valores com muitos algarismos produz uma resposta correta que pode sair impressa igual à de outra lista vizinha. A média não tem limite superior nem inferior a que recorrer — ela dá uma resposta para uma lista de temperaturas e para uma lista de preços sem saber qual das duas está olhando, e não consegue perceber que as duas não pertencem à mesma lista. Por fim, esta média não é robusta: um único valor muito grande a desloca bastante, e cada valor puxa na proporção de quão longe está da resposta.

Como calcular a média de uma lista de números?

Some os números, conte quantos são e divida o total pela contagem. Para as cinco notas desta página o total é 433 e são 5, então a média é 433 ÷ 5 = 86,6. Tanto o total quanto a contagem aparecem no painel de resultados ao lado da resposta, o que permite conferir a divisão sem refazer a adição.

Qual é a diferença entre média e média aritmética?

No uso do dia a dia são o mesmo número, e esta página usa as duas formas sem distinção. Em textos mais cuidadosos, média é o termo geral para qualquer valor central — a média aritmética, a mediana e a moda são todas médias —, enquanto média aritmética nomeia a que se calcula somando os valores e dividindo pela contagem, nome que serve justamente para distingui-la da média geométrica e da média harmônica.

A média pode ser um número que não está na lista?

Pode, e normalmente é. Nada na conta exige que a resposta seja um dos valores: a média de 1 e 2 é 1,5, que não está naquela lista, e a média das cinco notas desta página é 86,6, que também não é uma das cinco notas. O que é garantido é que a resposta fica entre o menor e o maior valor, e cai sobre um deles apenas quando a lista por acaso se arranja assim.

Como calcular a média de números negativos?

Exatamente do mesmo jeito que a de números positivos: some os valores e depois divida pela contagem. Os sinais se resolvem sozinhos na adição, então −5, −1 e 3 somam −3, e dividir por 3 dá −1. O painel escreve a soma com sinais de menos entre os termos em vez de sinais de mais antes dos números negativos, que é a mesma conta escrita do jeito que se diria em voz alta.

Por que o resultado aparece com quatro casas decimais?

Porque todo resultado desta página é impresso com quatro casas fixas, e um número fixo de casas é o que torna o painel comparável de uma entrada para a outra: a resposta 0,375 aparece como 0,3750 para se alinhar com a divisão escrita acima dela. Não é uma afirmação de que a resposta seja exata até a quarta casa; o valor por trás carrega a precisão inteira do cálculo, e só a exibição é fixa.

Quando a média é a média errada a usar?

Quando as entradas não têm a mesma importância, quando elas se multiplicam em vez de se somar, ou quando alguns valores extremos arrastariam a resposta para longe do caso típico. Importância desigual pede uma média ponderada; taxas de crescimento e razões, que se compõem, pedem uma média geométrica; taxas como velocidades sobre uma distância fixa pedem uma média harmônica; e uma lista assimétrica, em que o caso típico importa mais do que o total, pede uma mediana.

• Arithmetic Mean — MathWorld (the definition, the zero-sum property of the deviations, and the inequality with the geometric and harmonic means) — Wolfram MathWorld
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 (the mean as a balance point, and how a single extreme value moves it) — National Institute of Standards and Technology (NIST)