Calculadora de média harmônica

Média harmônica = n ÷ (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ) = n ÷ Σ(1/xᵢ)

xᵢ

Um valor da lista, e todos eles precisam ser maiores que zero. Um zero faz 1/x virar infinito, então a soma dos inversos é infinita e a resposta sairia como um zero puro, que parece um resultado; um valor negativo pode zerar o denominador ou empurrar a resposta para fora do intervalo dos dados

1/xᵢ

O inverso de um valor — a taxa dele transformada em tempo, ou um tempo transformado em taxa. É este passo que faz a média harmônica se comportar tão diferente das outras duas: um valor pequeno tem inverso grande e puxa com mais força a resposta, que é exatamente o que deve acontecer quando o valor pequeno é uma velocidade baixa que engole as horas

Σ(1/xᵢ)

A soma desses inversos, e o denominador da fração. É o que o painel escreve termo a termo quando a lista é curta, porque essa soma é o cálculo inteiro: todo o resto é uma divisão no fim

n

Quantos valores existem, impresso no painel de resultados. Ele multiplica de volta o que os inversos dividiram — sem ele a resposta seria o inverso de uma média, e não uma média

Use a média harmônica quando o numerador é fixo e o denominador varia: uma distância fixa percorrida a velocidades diferentes, uma quantidade fixa de trabalho feita a ritmos diferentes, uma tensão fixa sobre resistores de valores diferentes. O caso clássico é uma viagem em duas metades — 30 na ida e 60 na volta dão média 40, porque o trecho de volta leva metade do tempo do de ida, então a velocidade baixa tem o dobro do tempo para pesar na resposta. Tirar a média aritmética das duas velocidades dá 45, que seria a resposta certa se metade do tempo tivesse sido gasta em cada velocidade, e vale deixar claro qual das duas coisas a pergunta está pedindo. A mesma estrutura cobre o consumo de combustível em dois trechos de uma viagem, o preço médio pago quando um orçamento fixo é gasto a dois preços diferentes, e a resistência em paralelo, em que o total é o inverso da soma dos inversos — para resistores iguais isso se reduz à resistência dividida pela quantidade deles, que é a média harmônica de uma lista de valores idênticos. Não a use em grandezas que se somam: para notas, alturas ou quantias, a média harmônica é um número menor sem leitura por trás, e quanto mais os valores se espalham, mais ela cai abaixo da média aritmética.

1. Cinco notas de prova

   1. Tire o inverso de cada valor: 1/85 = 0,011765, 1/90 = 0,011111, 1/78 = 0,012821, 1/92 = 0,010870, 1/88 = 0,011364
   2. Some tudo: 0,011765 + 0,011111 + 0,012821 + 0,010870 + 0,011364 = 0,057931
   3. Divida a contagem pela soma dos inversos — a soma arredondada acima não divide de volta: 5 ÷ (1/85 + 1/90 + 1/78 + 1/92 + 1/88) = 86,3118

   O painel deliberadamente não imprime aquela soma intermediária de 0,057931: é um número arredondado, e 5 ÷ 0,0579 = 86,3558, então quem conferisse a conta com ele chegaria a uma resposta diferente da que está no painel. A expressão é impressa em vez dele, e ela diz o que foi feito sem convidar a uma divisão que não fecha. Esse passo é o único da página que sai como texto puro, com o ponto decimal do sistema e quatro casas fixas, e é por isso que a resposta aparece lá como 86.3118 enquanto a linha do resultado, que passa pela formatação do idioma, mostra 86,3118 — a mesma resposta escrita de dois jeitos no mesmo painel. Este exemplo também fecha a corrente neste site: para estes cinco números a média harmônica é 86,3118, a geométrica é 86,458 e a aritmética é 86,6, então as três ficam na ordem que a desigualdade promete, e a distância entre elas é uma leitura de quão desigual a lista é.

2. Ida a 30, volta a 60 — a velocidade média é 40

   1. Tire os inversos: 1/30 = 0,033333 e 1/60 = 0,016667
   2. Some os dois: 0,033333 + 0,016667 = 0,05
   3. Divida a contagem pela soma: 2 ÷ 0,05 = 40

   Este é o exemplo pelo qual a página inteira existe. Percorra 60 km na ida a 30 km/h e 60 km na volta a 60 km/h: o trecho de ida leva duas horas e o de volta leva uma, então são três horas para 120 km, o que dá 40 km/h. A média aritmética de 30 e 60 é 45, e 45 estaria certa se uma hora tivesse sido percorrida em cada velocidade — essa é uma pergunta sobre tempo, e a de aqui é sobre distância. No sentido inverso, 30 na ida e 30 na volta dá 30 dos dois jeitos, porque não há nada sobre o que os dois métodos possam discordar quando os valores são iguais.

3. Três valores: 1, 2 e 4

   1. Tire os inversos: 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25
   2. Some os três: 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75
   3. Divida a contagem pela soma: 3 ÷ 1,75 = 1,7143

   Os inversos correm ao contrário dos valores, e esse é o caráter inteiro desta média: 1 é o menor valor da lista e contribui com o maior termo, 1, enquanto 4 é o maior valor e contribui com o menor termo, 0,25. Por isso a resposta fica bem abaixo da média aritmética de 2,3333 e mais perto da ponta pequena da lista. Os valores daqui são geométricos — cada um é o dobro do anterior —, e é numa lista assim que as três médias mais se separam: 1,7143 na harmônica, 2 na geométrica e 2,3333 na aritmética.

4. Atravessando o 1: os inversos trocam a ordem

   1. Tire os inversos: 1/0,5 = 2 e 1/2 = 0,5
   2. Some os dois: 2 + 0,5 = 2,5
   3. Divida a contagem pela soma: 2 ÷ 2,5 = 0,8

   Valores abaixo de 1 têm inversos acima de 1, então o menor valor do par produz o maior termo e domina o denominador: 0,5 contribui com 2, enquanto 2 contribui com apenas 0,5. A média harmônica cai, portanto, em 0,8, perto do valor pequeno, enquanto a média aritmética de 1,25 fica entre os dois. Inverter a fração — dividir a soma pela contagem em vez da contagem pela soma — produz 1,25 aqui, e isso é uma coincidência deste par e não uma regra: como 0,5 × 2 = 1, a soma dos inversos (2,5) é exatamente igual à soma dos próprios valores, e é só por isso que o resultado invertido cai sobre a média aritmética. Essa coincidência é justamente o que torna o erro difícil de enxergar, porque 1,25 parece inteiramente plausível no painel.

5. Oito valores, escritos com um Σ

   1. Tire o inverso de cada valor: 1, 0,5, 0,333333, 0,25, 0,2, 0,166667, 0,142857, 0,125
   2. Some tudo: 2,717857
   3. Divida a contagem por essa soma: 8 ÷ 2,717857 = 2,9435

   Acima de seis valores o passo a passo muda para a forma abreviada, 8 / Σ(1/xᵢ) = 2.9435, porque cada inverso ocupa até oito caracteres e uma lista de duzentos valores produziria uma linha de mais de mil. A abreviatura preserva a única coisa que não dá para adivinhar, que é para que lado a fração está virada. A distância aqui é a maior da página: 2,9435 contra uma média aritmética de 4,5, porque estes oito valores se espalham uniformemente por um fator de oito, e a média harmônica é a média mais afetada pela ponta pequena de uma lista.

Todo valor precisa ser maior que zero, e a página recusa uma lista que contenha zero ou negativo. O zero é o perigoso, porque o inverso de zero é infinito, e o que a fórmula devolveria nesse caso é um zero puro — um número com cara de resultado, e não de falha. Um valor negativo é recusado pelas mesmas duas razões: ele pode zerar a soma dos inversos, o que seria uma divisão por zero, ou empurrar a resposta para fora do intervalo dos próprios valores. Esta média só tem significado onde um total fixo está sendo repartido, como uma distância fixa percorrida a velocidades variadas ou um orçamento fixo gasto a preços variados; aplicada a notas, alturas ou quantias, ela produz um número menor sem interpretação, e quanto mais os valores variam, mais ela cai abaixo da média aritmética. A soma intermediária dos inversos só aparece arredondada no rascunho, se você mesmo a somar — o painel imprime a expressão, justamente porque um valor intermediário arredondado não dividiria de volta até a resposta impressa. A lista é limitada a 200 valores, e uma entrada como 1.500 é recusada em vez de adivinhada, porque um ponto entre dígitos seguido de exatamente três algarismos é separador de milhar em tantas línguas; escreva o número sem separador de milhar, ou com vírgula decimal.

Como calcular a média harmônica?

Tire o inverso de cada valor, some esses inversos e divida a quantidade de valores por essa soma. Para 30 e 60 os inversos são 0,033333 e 0,016667, que somam 0,05, e 2 ÷ 0,05 = 40. A ordem importa: é a contagem dividida pela soma, e não a soma dividida pela contagem — inverter a fração dá um número completamente diferente, e não a média aritmética, como se poderia supor. Para 30 e 60, por exemplo, a inversão daria 0,05 ÷ 2 = 0,025.

Por que a média harmônica é menor que as outras duas?

Porque tirar o inverso inverte a ordem dos valores e, a partir daí, cada valor contribui na proporção de quão pequeno ele era. Um valor pequeno tem inverso grande e levanta o denominador, o que derruba a resposta, e o efeito cresce conforme os valores se afastam. Para valores iguais as três médias coincidem; quanto mais a lista se espalha, mais a média harmônica cai abaixo da média geométrica, que por sua vez cai abaixo da média aritmética.

Por que a velocidade média é 40 e não 45?

Porque os dois trechos levaram tempos diferentes. Na mesma distância a 30 e a 60, o trecho mais lento leva o dobro do tempo, então ele tem o dobro do peso na resposta: duas horas a 30 mais uma hora a 60 dão 120 km em três horas, o que é 40 km/h. O número 45 é a média aritmética, e responde a outra pergunta — a velocidade média quando quantidades iguais de tempo, e não distâncias iguais, são gastas em cada velocidade.

Quando devo usá-la em vez de uma média simples?

Quando o que é fixo é o total e o que varia é a taxa: uma distância fixa percorrida a velocidades variadas, uma quantidade fixa de trabalho feita por máquinas de ritmos diferentes, um orçamento fixo gasto a preços diferentes, uma tensão fixa sobre resistores de valores diferentes. Se, em vez disso, as entradas forem quantias que se somam, ou um conjunto de valores em que cada um deve contar igual, a média aritmética é a certa e a harmônica seria um número menor sem nada por trás.

Qual é a relação com a resistência em paralelo?

Direta: a resistência total de resistores em paralelo é o inverso da soma dos inversos deles, que é esta fórmula sem a multiplicação final pela contagem. Dois resistores de 10 ohms em paralelo dão 5 ohms, e a média harmônica de 10 e 10 nesta página é 10 — os inversos se cancelam, porque a média harmônica de uma lista de valores idênticos é aquele valor, e a média aritmética e a geométrica também. Os casos interessantes são os desiguais: o total em paralelo fica sempre abaixo do menor resistor, exatamente como a média harmônica fica sempre abaixo do menor valor de uma lista.

Os valores podem ser menores que 1?

Podem, desde que todos sejam maiores que zero. Valores abaixo de 1 têm inversos acima de 1, então contribuem com os maiores termos e a resposta fica perto deles: para 0,5 e 2 a média harmônica é 0,8, bem abaixo da média aritmética de 1,25. É a mesma regra do resto da página, lida no outro sentido — o valor pequeno é quem puxa, de que lado do 1 ele estiver.

• Harmonic Mean — MathWorld (the definition, the relation to the arithmetic and geometric means, and the classical mean proportional construction) — Wolfram MathWorld
• Harmonic Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why a fixed total over varying rates calls for the harmonic mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)