Calculadora de média geométrica

Média geométrica = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(média(ln xᵢ))

xᵢ

Um valor da lista, e todos eles precisam ser maiores que zero. Um zero leva o produto a zero e a resposta a zero, diga o resto da lista o que disser; um valor negativo produz uma raiz de índice par de um produto negativo, que não é um número real

n

Quantos valores existem, impresso no painel de resultados. É o índice da raiz: dois valores pedem raiz quadrada, três pedem raiz cúbica, cinco pedem raiz quinta. Contar isso errado é o jeito habitual de uma conta à mão dar errado, então o número é mostrado em vez de ficar por conta de quem conta a lista

x₁ · x₂ · … · xₙ

O produto de todos os valores. Só o produto importa, e é por isso que a resposta não depende da ordem em que os valores foram escritos — e também por isso uma lista de dois valores dá a conhecida raiz quadrada do produto deles

média(ln xᵢ)

O outro jeito de escrever a mesma coisa, e o que uma calculadora de fato usa: tome o logaritmo natural de cada valor, faça a média deles e desfaça o logaritmo no fim. Dá a mesma resposta que multiplicar primeiro, sem o estouro em que multiplicar uma lista longa de valores grandes esbarra

Use a média geométrica quando os números se multiplicam em vez de se somar — porcentagens que se compõem, razões, níveis de índice, fatores de crescimento. Um fundo que sobe 10%, sobe 20% e cai 10% termina os três anos 18,8% acima, o que é 1,1 × 1,2 × 0,9; o fator de crescimento anual médio é a raiz cúbica disso, 1,0591, então o número anual honesto é 5,91% e não os 6,67% que uma média simples das três porcentagens dá. O mesmo raciocínio cobre qualquer coisa medida em escala multiplicativa: contagens de bactérias, magnitudes de terremotos, os tamanhos de um conjunto de itens que atravessa várias ordens de grandeza, e um conjunto de razões como preço/lucro, em que um valor extremo dominaria uma média simples. Não a use para valores que se somam — uma lista de temperaturas, notas ou preços não tem produto com significado, e a média geométrica dela seria um número sem interpretação. A única comparação que vale guardar é que a média geométrica é sempre a menor das duas, e tanto menor quanto mais os valores diferem, então a distância entre elas é uma medida grosseira de quão desigual a lista é.

1. Cinco notas de prova

   1. Multiplique os valores: 85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4.830.883.200
   2. São 5 valores, então tire a raiz quinta: ⁵√4.830.883.200 = 86,458
   3. A média aritmética da mesma lista é 86,6

   As duas respostas diferem em 0,142, o que é pouco porque essas cinco notas estão próximas umas das outras — a média geométrica fica abaixo da aritmética por uma margem que cresce conforme a lista se torna mais desigual. Essa desigualdade não é efeito de arredondamento: para valores positivos a média geométrica nunca pode superar a média aritmética, e só se iguala a ela quando todos os valores são idênticos. Notas não são de fato uma grandeza multiplicativa, então este exemplo está aqui para mostrar o mecanismo e não um uso natural dele; os retornos do fundo no próximo exemplo é que são a razão de o instrumento existir.

2. Um fundo que sobe 10%, sobe 20% e cai 10%

   1. Multiplique os fatores de crescimento: 1,1 × 1,2 × 0,9 = 1,188
   2. São 3 fatores, então tire a raiz cúbica: ³√1,188 = 1,0591
   3. A média aritmética é 1,0667 — mais alta, e errada para esta pergunta

   Os três anos juntos somam 18,8% de alta, e 1,188 é o único número que diz isso. O fator anual médio é o que, multiplicado, dá 1,188 em três anos, e isso é a raiz cúbica, 1,0591 — uma taxa de crescimento anual composta de 5,91%. A média simples das três porcentagens dá 6,67%, e a razão de ela ser alta demais é que porcentagens não se somam: uma queda de 10% desfaz mais do que uma alta de 10%, porque incide sobre uma base maior. A distância aqui é de 0,76 ponto percentual por ano, o que em vinte anos é a diferença entre multiplicar por 3,15 e multiplicar por 3,64.

3. Dois números: a média proporcional

   1. Multiplique os dois valores: 2 × 8 = 16
   2. São 2 valores, então tire a raiz quadrada: √16 = 4
   3. A média aritmética do mesmo par é 5

   Com dois valores, a média geométrica é a raiz quadrada do produto deles, que é o número que os geômetras antigos chamavam de média proporcional: 2 está para 4 assim como 4 está para 8. Ela também é o lado do quadrado com a mesma área do retângulo 2 por 8 — 16 dos dois jeitos —, enquanto a média aritmética de 5 é o lado do quadrado com o mesmo perímetro, um quadrado de 5 por 5 cuja área é 25. Este é o caso mais claro de as duas médias discordarem, e mostra por que a geométrica é a resposta certa para uma pergunta sobre áreas, escalas ou crescimento, e a aritmética para uma pergunta sobre totais.

Todo valor precisa ser maior que zero, e a página recusa uma lista que contenha zero ou negativo em vez de devolver algo sem sentido — um único zero torna o produto zero e a resposta zero, não importa o que o resto da lista contenha, e uma raiz de índice par de um produto negativo não é um número real. Para uma lista com quantidade ímpar de valores negativos existe em princípio uma resposta real, mas o sinal de uma média geométrica construída com negativos não tem interpretação, então essas listas também são recusadas, e a solução é trabalhar com os fatores de crescimento em vez das variações percentuais. Esta média só tem significado para grandezas que se multiplicam; para notas, temperaturas ou preços ela é uma conta legítima sem leitura útil, e é por isso que a média aritmética vem impressa ao lado dela em vez de substituí-la. Ela não pode ser usada quando alguns valores são zero, o que exclui um conjunto de retornos que inclua uma perda total. A lista é limitada a 200 valores, e uma entrada como 1.500 é recusada em vez de adivinhada, porque um ponto entre dígitos seguido de exatamente três algarismos é separador de milhar em tantas línguas; escreva o número sem separador de milhar, ou com vírgula decimal.

Como calcular a média geométrica?

Multiplique todos os valores entre si e depois tire a raiz cujo índice é a quantidade de valores. Para 2 e 8 o produto é 16 e são dois valores, então a média geométrica é √16 = 4; para cinco valores você tiraria a raiz quinta. Uma calculadora faz a mesma coisa por logaritmos, tirando a média dos logaritmos e desfazendo o logaritmo no fim, o que evita o produto intermediário enorme.

Por que a média geométrica é menor que a média aritmética?

Porque a multiplicação trata uma queda e uma alta de forma assimétrica. Um valor que cai 10% e depois sobe 10% termina abaixo de onde começou, em 1,1 × 0,9 = 0,99, então qualquer lista que ande nos dois sentidos terá média geométrica abaixo da aritmética. As duas só coincidem quando todos os valores são iguais, e quanto mais distantes os valores estiverem, maior a distância entre elas — por isso a diferença entre os dois números é, ela própria, uma leitura grosseira de quão desigual a lista é.

Quando devo usar a média geométrica em vez da aritmética?

Quando os valores se multiplicam em vez de se somar. Taxas de crescimento, porcentagens que se compõem ano após ano, razões e níveis de índice são todos multiplicativos, e tirar a média deles com uma média simples exagera a resposta. Quantidades que se somam — notas, temperaturas, preços, contagens — são aditivas, e a média aritmética é a certa para elas. Um teste útil é perguntar se dobrar todos os valores deveria dobrar a resposta: se deveria, a grandeza é multiplicativa.

Posso usar em uma lista que contenha zero ou um número negativo?

Não, e a página recusa a lista. Um único zero leva o produto a zero, então a resposta seria zero diga o resto da lista o que disser, o que não é média de nada. Um valor negativo dá um produto negativo, e uma raiz de índice par disso não é um número real. A solução prática para um conjunto de variações percentuais que inclua uma perda total é trabalhar com os fatores de crescimento — 0,5 para uma perda de 50% — e aceitar que um fator zero, uma perda total, não tem média geométrica nenhuma.

Qual é a diferença em relação a uma taxa de crescimento anual composta?

A taxa de crescimento anual composta é a média geométrica dos fatores de crescimento anuais, expressa como porcentagem. Se um investimento multiplica por 1,1, 1,2 e 0,9 ao longo de três anos, o produto é 1,188, a raiz cúbica é 1,0591, e o crescimento anual composto é 5,91%. Tudo na calculadora já está nessa forma: informe os fatores em vez das porcentagens, e o número que o painel mostra é o fator de crescimento cuja porcentagem é a taxa.

A ordem dos valores importa?

Não. A média geométrica é construída a partir do produto e da contagem, e a multiplicação não se importa com a ordem, então 2, 8 e 4 dão a mesma resposta que 8, 4 e 2. Vale saber disso porque a média geométrica frequentemente descreve uma sequência no tempo — anos de retornos —, e a resposta que ela dá é deliberadamente cega quanto a qual ano bom veio primeiro. Ela responde como foi o ano médio, e não o que aconteceu em um ano específico.

• Geometric Mean — MathWorld (the definition, the mean proportional, and the inequality with the arithmetic mean) — Wolfram MathWorld
• Geometric Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters (why rates and ratios call for the geometric mean rather than the arithmetic one) — National Institute of Standards and Technology (NIST)