Calculadora de variância

Variância = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) para uma amostra, ou a mesma soma dividida por n para uma população

xᵢ

Um valor do conjunto de dados. Ele entra como a sua distância até a média, e essa distância é elevada ao quadrado antes de qualquer soma

x̄

A média dos dados: a soma de todos os valores dividida por quantos são. Ela é impressa ao lado do resultado para que a aritmética possa ser conferida

n

Quantos valores o conjunto de dados tem, até 200 aqui. O divisor é n − 1 para uma amostra e n para uma população — a única diferença entre as duas variâncias

Σ (xᵢ − x̄)²

A soma dos desvios ao quadrado: cada distância até a média, elevada ao quadrado e depois somada. Elevar ao quadrado dá muito mais peso aos valores distantes da média — um ponto a 10 unidades contribui com 100 para esta soma, enquanto um ponto a 2 unidades contribui com 4

σ²

A variância em si. Ela está em unidades ao quadrado, o que a torna a quantidade certa para somar e a errada para ler

Use a variância quando a quantidade elevada ao quadrado for de fato o que você precisa: variâncias de fontes independentes se somam, então a variância de um total é a soma das variâncias, enquanto os desvios padrão não se somam; a análise de variância, a regressão e boa parte da máquina construída sobre elas recebem uma variância na entrada, e não um desvio padrão. Use o desvio padrão sempre que um ser humano tiver de ler o número — uma dispersão de 4,5714 pontos ao quadrado não significa nada, enquanto 2,1381 pontos pode ser comparado com as próprias notas. O painel entrega os dois, então a escolha é sobre qual deles citar. Repare que a variância é bem mais sensível a um único valor extremo do que o desvio padrão, porque a distância daquele valor é elevada ao quadrado antes de contar.

1. Oito valores, variância amostral

   1. Soma: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 em 8 valores, então a média é 5
   2. Desvios: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   3. Desvios ao quadrado: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. Variância amostral: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   5. Desvio padrão, para comparação: √4,5714 = 2,1381

   A variância é 4,5714 e o desvio padrão é 2,1381, e isso não é coincidência: um é o quadrado do outro. Leia os dois passos do meio antes de acreditar na resposta — a soma dos desvios ao quadrado é o único número da conta difícil de julgar a olho, e o painel a imprime para que você nunca precise confiar nela sem conferir.

2. Os mesmos oito valores como população

   1. Mesma soma dos desvios ao quadrado: 32
   2. Variância populacional: 32 ÷ 8 = 4
   3. Desvio padrão populacional: √4 = 2

   Duas variâncias a partir de um único conjunto de dados, 4,5714 e 4, diferindo apenas no divisor. Vale a pena trocar o seletor uma vez com os seus próprios números: se uma planilha e esta página discordarem, o divisor é quase sempre o motivo. A variância é a mais sensível das duas a essa escolha, porque ainda não foi encolhida por uma raiz quadrada.

3. Quatro leituras idênticas, em que a dispersão é exatamente zero

   1. Todos os valores são 3, então a média é 3 e todo desvio é 0
   2. Soma dos desvios ao quadrado: 0
   3. Variância populacional: 0 ÷ 4 = 0
   4. Desvio padrão populacional: √0 = 0

   Variância zero significa que os valores não carregam dispersão nenhuma, e é o único caso em que uma variância de zero é uma resposta de verdade em vez de um sinal de que algo deu errado. É também a razão de o coeficiente de variação ter uma média positiva como condição, e não uma variância diferente de zero: uma dispersão zero dividida por uma média positiva é um 0% perfeitamente válido.

Esta é a variância simples e sem pesos de uma lista de números: um valor digitado uma vez conta uma vez, então uma tabela de frequências ou uma pesquisa com pesos precisa de outra conta. As unidades dela são ao quadrado — gramas viram gramas ao quadrado —, então o número não pode ser comparado com os dados de onde veio, e é para isso que serve o desvio padrão mostrado ao lado. Como todo desvio é elevado ao quadrado, um único valor extremo domina: uma leitura dez vezes maior do que deveria contribui cem vezes mais do que uma leitura duas vezes mais distante do que o habitual. Um conjunto de dados assimétrico é descrito melhor pelos quartis do que por uma variância ou um desvio padrão. A lista é limitada a 200 valores, e um número como 1.500 é recusado em vez de adivinhado, porque uma vírgula entre dígitos é separador decimal em boa parte do mundo; escreva 1500 ou 1,5.

Como calcular a variância?

Em quatro passos. Ache a média somando os valores e dividindo por quantos são. Subtraia a média de cada valor. Eleve cada uma dessas diferenças ao quadrado e some todas — esse total é a soma dos desvios ao quadrado. Divida por n − 1 para uma amostra ou por n para uma população. Para os valores 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 a soma dos quadrados é 32, então a variância amostral é 32 ÷ 7 = 4,5714 e a populacional é 32 ÷ 8 = 4.

Qual é a diferença entre variância e desvio padrão?

Uma raiz quadrada. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então cada um é o quadrado do outro: aqui a variância é 4,5714 e o desvio padrão é 2,1381. A variância é a que faz sentido somar, porque variâncias de fontes independentes se somam enquanto desvios padrão não se somam. O desvio padrão é a que faz sentido ler, porque volta nas unidades dos dados em vez de unidades ao quadrado.

Por que a variância não muda quando somo uma constante a todos os valores?

Porque a variância só olha para as distâncias até a média, e deslocar todos os valores desloca a média na mesma medida. Some 100 a cada um dos valores 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 e a média sobe de 5 para 105 enquanto todos os desvios continuam iguais, então a soma dos desvios ao quadrado segue 32. Multiplicar todos os valores por uma constante é o caso oposto: a variância fica multiplicada pelo quadrado dessa constante, e o desvio padrão pela própria constante.

Uma variância pode ser negativa?

Não. Todo termo da soma dos desvios ao quadrado é um quadrado, então a soma nunca é negativa, e o divisor é uma contagem positiva. A menor variância possível é zero, o que acontece apenas quando todos os valores são idênticos — quatro leituras de exatamente 3 dão variância 0. Uma variância negativa na tela significa que uma conta saiu errada, não que os dados sejam incomuns.

Posso colar uma coluna direto de uma planilha?

Pode. Quebras de linha, tabulações, ponto e vírgula, espaços e uma vírgula seguida de espaço separam os valores, então uma coluna colada funciona como está e trechos vazios são ignorados em vez de recusados. São lidos até 200 valores. Um número como 1.500 ou 1,500 é recusado de propósito: três dígitos depois do separador significam separador de milhar em alguns países e separador decimal em outros, então escreva 1500 ou 1,5.

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University