Calculadora de desvio padrão

Desvio padrão = √( Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) ) para uma amostra, ou a mesma soma dividida por n para uma população

xᵢ

Um valor do conjunto de dados. Cada valor entra como a sua distância até a média, e elevar essa distância ao quadrado é o que impede as distâncias acima da média de cancelarem as que estão abaixo dela

x̄

A média dos dados: a soma de todos os valores dividida por quantos são. Ela é impressa ao lado da resposta para que a conta possa ser conferida

n

Quantos valores o conjunto de dados tem, até 200 aqui. O divisor é n − 1 para uma amostra e n para uma população, e é essa a única diferença entre os dois desvios padrão

Σ (xᵢ − x̄)²

A soma dos desvios ao quadrado: a distância de cada valor até a média é elevada ao quadrado e os quadrados são somados. Ela está em unidades ao quadrado, e é exatamente por isso que a etapa final extrai uma raiz quadrada

s

O desvio padrão, nas unidades originais dos dados. Somar a mesma constante a todos os valores o deixa igual; dobrar todos os valores o dobra

Use quando um único número precisar representar o quanto um conjunto de medições está espalhado: leituras repetidas de uma mesma grandeza, notas de prova, a venda de cada dia, os pesos de um lote de peças. Informe o desvio padrão amostral quando os números que você tem forem uma amostra de algo maior, e passe para a versão populacional apenas quando a lista for de fato o grupo inteiro. Ele é também o número que transforma um valor bruto em um escore z, e aquele sobre o qual a maioria das regras de valores atípicos é construída. Repare no que a raiz quadrada resolve: a soma dos desvios ao quadrado carrega unidades ao quadrado, e extrair a raiz é o que, segundo o Measures of Scale do NIST, devolve às unidades originais dos dados a unidade da dispersão, enquanto a variância mantém as unidades ao quadrado. Duas coisas ele não diz: se a dispersão é simétrica e se um valor extremo é um erro de digitação. Um conjunto de dados assimétrico é descrito melhor pelos seus quartis e pela sua mediana do que por um desvio padrão.

1. Oito valores, amostra e população lado a lado

   1. Contagem: 8 valores; soma: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Média: 40 ÷ 8 = 5
   3. Desvios em relação à média: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   4. Desvios ao quadrado: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. Variância amostral: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   6. Desvio padrão amostral: √4,5714 = 2,1381

   Os mesmos oito valores como população dão uma variância de 32 ÷ 8 = 4 e um desvio padrão de exatamente 2. Escolher o divisor errado é o motivo mais comum de um desvio padrão discordar de outra calculadora, e aqui ele muda a resposta em cerca de 7% — mais quando n é pequeno, menos quando n é grande.

2. Cinco notas de prova

   1. Soma: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433, em 5 notas
   2. Média: 433 ÷ 5 = 86,6
   3. Desvios ao quadrado: 2,56 + 11,56 + 73,96 + 29,16 + 1,96 = 119,2
   4. Variância amostral: 119,2 ÷ 4 = 29,8
   5. Desvio padrão amostral: √29,8 = 5,4589

   Leia os desvios e os desvios ao quadrado um ao lado do outro: a nota 78 fica 8,6 pontos abaixo da média e contribui com 73,96 para a soma, o que é mais do que as outras quatro notas juntas. Elevar uma distância ao quadrado é o que dá peso aos valores distantes, e é também por isso que um dia ruim move o desvio padrão mais do que move a média.

3. Uma população de três, em que os dois divisores ficam distantes

   1. Soma: 4 + 8 + 6 = 18, em 3 valores, então a média é 6
   2. Desvios: −2, 2, 0; ao quadrado: 4, 4, 0, o que dá uma soma dos quadrados de 8
   3. Variância populacional: 8 ÷ 3 = 2,6667
   4. Desvio padrão populacional: √2,6667 = 1,633

   Três valores é a menor lista que esta página trata como amostra, e é onde o divisor mostra os dentes: a versão amostral divide os mesmos 8 por 2 e informa 2 em vez de 1,633 — uma diferença de mais de 20%. O desvio padrão amostral é sempre o maior dos dois, e a distância entre eles diminui conforme o conjunto de dados cresce.

Este é o desvio padrão aritmético simples de uma lista de números. Ele não tem como usar pesos, então um valor digitado uma vez conta uma vez — uma tabela de frequências ou uma pesquisa com pesos precisa de outra conta. Ele descreve a dispersão, não a forma: um conjunto de dados assimétrico tem um lado curto e uma cauda longa, e o texto da OpenStax sobre medidas de dispersão é explícito ao dizer que, em uma distribuição assimétrica, o desvio padrão pode não ajudar muito, sendo preferíveis os quartis e a mediana. Todo valor conta, então um valor atípico digitado errado infla a resposta. A lista é limitada a 200 valores. Um número como 1.500 é recusado em vez de adivinhado, porque uma vírgula entre dígitos é separador decimal em boa parte do mundo e separador de milhar em outras partes; escreva 1500 ou 1,5. Por fim, os números são lidos exatamente como digitados, em qualquer idioma: o separador que você usa nunca muda o que a lista significa.

Qual é a diferença entre o desvio padrão amostral e o populacional?

Um divisor. Os dois partem da mesma soma dos desvios ao quadrado, e então a versão amostral divide por n − 1 e a populacional divide por n. Para os oito valores 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 a soma dos quadrados é 32, então o desvio padrão amostral é √(32 ÷ 7) = 2,1381 e o populacional é √(32 ÷ 8) = 2. A resposta amostral é sempre a maior das duas, e as duas se aproximam conforme o conjunto de dados cresce.

Como encontrar o desvio padrão à mão?

Em cinco passos. Some os valores e divida por quantos são, para obter a média. Subtraia a média de cada valor para obter o desvio dele. Eleve cada desvio ao quadrado — elevar ao quadrado é o que impede os que estão acima da média de cancelarem os que estão abaixo. Some os quadrados. Divida por n − 1 para uma amostra ou por n para uma população, e extraia a raiz quadrada. A fórmula é a mesma nos dois casos; só o divisor muda. O painel acima imprime a contagem, a soma, a média e a soma dos desvios ao quadrado, então qualquer passo pode ser conferido isoladamente.

Por que a versão amostral divide por n − 1 em vez de n?

Porque a média que você subtrai foi medida a partir dos mesmos valores, e cada valor puxou essa média na direção de si próprio. Desvios medidos a partir de uma média que os próprios dados escolheram são, em média, um pouco menores do que a dispersão verdadeira, então dividir por n subestimaria o resultado. Dividir por n − 1 corrige isso. A correção pesa mais em listas pequenas — com três valores ela é uma diferença de 22% — e é desprezível quando você tem algumas centenas.

Posso colar uma coluna direto de uma planilha?

Pode. Quebras de linha, tabulações, ponto e vírgula, espaços e uma vírgula seguida de espaço separam os valores, então tanto uma coluna colada quanto uma linha digitada com ponto e vírgula funcionam. Trechos vazios são ignorados em vez de recusados, o que significa que uma quebra de linha no fim não atrapalha. São lidos até 200 valores. Uma forma é recusada de propósito: um número como 1.500 ou 1,500, em que três dígitos seguem o separador — isso é separador de milhar em alguns países e separador decimal em outros, então escreva 1500 ou 1,5.

Em que unidades o desvio padrão sai?

Nas mesmas unidades dos dados. Pese um lote de peças em gramas e o desvio padrão sai em gramas, que é o ponto de extrair a raiz quadrada no fim — a soma dos desvios ao quadrado está em gramas ao quadrado, e a variância também. O NIST diz isso de forma direta: o desvio padrão devolve às unidades originais dos dados a unidade da dispersão, enquanto a variância mantém as unidades ao quadrado. É por isso que um desvio padrão pode ser lido ao lado dos valores que ele descreve e uma variância não pode.

Por que a minha resposta difere da de outra calculadora?

Nove em cada dez vezes, por causa do divisor. Muitas calculadoras informam apenas o desvio padrão populacional, ou apenas o amostral, sem dizer qual. Confira no outro texto se aparece n − 1 ou n. Vale descartar mais duas causas: um valor digitado com vírgula decimal que a outra ferramenta leu como separador, e um valor atípico que um de vocês incluiu e o outro não — o desvio padrão é sensível a cada valor, então um número a mais já o altera.

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)