Calculadora de soma dos quadrados

SS = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n

x

Cada valor da lista, um de cada vez. Todo valor contribui com a sua própria distância ao quadrado, então nenhum valor pode ser descartado sem mudar o total

x̄

A média dos valores. É o ponto a partir do qual as distâncias são medidas, e ela é escolhida justamente porque os desvios simples em torno dela se cancelam em zero

SS

A soma dos desvios ao quadrado — o resultado principal. Ela é zero exatamente quando todos os valores são idênticos, e cresce tanto com o tamanho dos desvios quanto com a quantidade deles

Σx²

A soma dos valores ao quadrado, impressa também como soma bruta dos quadrados. É o primeiro termo do lado direito da identidade e a mais fácil das duas de confundir com a resposta, já que as duas se chamam soma dos quadrados

Σx

A soma simples dos valores, antes de elevar ao quadrado. Elevá-la ao quadrado e dividir por n dá o termo de correção que transforma Σx² na soma dos desvios ao quadrado

n

Quantos valores entraram, até 200 aqui. Ele aparece duas vezes — como divisor no termo de correção e como contagem impressa para conferência

Recorra a ela quando quiser ver o passo e não a medida pronta: ao conferir uma variância ou um desvio padrão à mão, ao explicar por que essas duas grandezas elevam os desvios ao quadrado, ou ao comparar quanto da variação de um total um modelo explica. Ela é também a maneira natural de expressar dispersão quando você trabalha com somas em vez de médias, como em uma análise de variância, em que o método inteiro é escrituração de somas de quadrados. Em uma regressão com intercepto, esta mesma quantidade é o que se chama de soma total dos quadrados, e a qualidade do ajuste é medida por quanto dela a reta ajustada remove. A identidade à direita vale a pena por um segundo motivo: era assim que o número era calculado antes das máquinas, e é assim que muitas fórmulas ainda são escritas, embora calculá-lo desse jeito perca precisão quando os valores são grandes e a dispersão entre eles é pequena. É por isso que a calculadora acima usa o caminho da definição e imprime os termos da identidade apenas para você conferir que os dois concordam. Vale guardar a que passo isso pertence: a variância é esta soma dividida pelos graus de liberdade, n − 1 para uma amostra ou n para uma população, e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância; o texto da OpenStax define a variância como a média dos quadrados dos desvios, os valores x − x̄ de uma amostra, que é exatamente a quantidade que esta página calcula antes da divisão.

1. Oito valores: 32 pelas duas rotas

   1. A média é 40 ÷ 8 = 5
   2. Os desvios são −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, e somam 0 — como sempre
   3. Elevá-los ao quadrado dá 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, que somam 32
   4. A outra rota: Σx² = 232 e (Σx)² ÷ n = 1.600 ÷ 8 = 200, então 232 − 200 = 32

   As duas rotas chegam a 32, e ver isso é a maior parte do propósito da página. Os três primeiros desvios são negativos e os dois últimos positivos, e é exatamente por isso que os quadrados são necessários — os desvios crus somam zero e não conseguiriam distinguir um conjunto de dados de outro.

2. Dois valores com média fracionária

   1. A média é 3 ÷ 2 = 1,5, então os desvios são −0,5 e +0,5
   2. Elevando ao quadrado dá 0,25 e 0,25, então a soma dos quadrados é 0,5 — e não 1
   3. A outra rota: 5 − 3² ÷ 2 = 5 − 4,5 = 0,5, em que a parte fracionária aparece na subtração

   Dois valores nunca conseguem produzir uma soma dos quadrados maior que metade da distância entre eles ao quadrado, e este é o menor caso: cada um dos dois desvios carrega metade da distância. Um deslize comum é elevar a distância inteira ao quadrado, o que daria 1 aqui em vez de 0,5 — a distância já é a diferença entre dois desvios, então ela seria contada duas vezes.

3. Um único valor: 0 contra 1.764

   1. A média de um único valor é aquele valor, então a média é 42
   2. O desvio é 42 − 42 = 0, e 0² é 0, então a soma dos quadrados é 0
   3. A soma bruta dos quadrados é outra quantidade por completo: 42² = 1.764

   Duas coisas chamadas soma dos quadrados, separadas por três ordens de grandeza, no mesmo painel. É este o caso que as mantém separadas: com uma lista mais longa os dois números costumam ficar na mesma ordem de grandeza e é fácil pegar o errado. A soma dos desvios ao quadrado é 0 porque um único valor não consegue desviar de si mesmo — isso é uma resposta de verdade, não uma falha, e é por isso que esta página não exige dois valores como a variância exige.

4. Quatro valores idênticos

   1. A média é 12 ÷ 4 = 3, então todo desvio é 0
   2. A soma dos quadrados é 0
   3. A soma bruta dos quadrados é 3² + 3² + 3² + 3² = 36, que não é 0 e nunca será

   Zero aqui significa que os dados não têm dispersão nenhuma, e é uma situação diferente da do caso de um único valor acima, ainda que os dois imprimam 0: aqui existem quatro observações e elas concordam exatamente, ali existe uma única observação. A soma bruta dos quadrados caminha na direção oposta, crescendo a cada valor acrescentado, independentemente da dispersão.

O nome é o principal perigo. Duas quantidades diferentes se chamam soma dos quadrados e ambas aparecem nesta página: a soma dos desvios ao quadrado Σ(x − x̄)², que é a resposta, e a soma bruta dos quadrados Σx², que é apenas um termo da identidade. Em um único valor elas diferem por três ordens de grandeza. Leia o rótulo da linha antes de citar um número. A segunda limitação é o que esta página não faz: uma regressão reparte a soma total dos quadrados em uma parte explicada pela reta ajustada e uma parte residual, e esse reparte não existe aqui. Ele precisa de uma segunda variável e de uma reta ajustada aos dados, e nenhuma página desta seção ajusta uma reta — a página da covariância para no coeficiente de correlação. O que é verdade, e vale saber, é que a soma total dos quadrados em uma regressão com intercepto é esta mesma quantidade aplicada à variável resposta; o que falta é apenas o reparte. Há também uma razão prática para a calculadora usar o caminho da definição em vez da identidade: subtrair dois números grandes e quase iguais perde precisão, então em uma lista de valores grandes com pouca dispersão a rota da direita pode dar uma resposta visivelmente errada. A identidade é impressa para conferência, não por velocidade. A lista é limitada a 200 valores, e um número como 1.500 é recusado em vez de adivinhado, porque uma vírgula entre dígitos é separador decimal em alguns países e separador de milhar em outros; escreva 1500.

Como calcular a soma dos quadrados?

Ache a média, subtraia-a de cada valor, eleve cada resultado ao quadrado e some tudo. Para 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9 a média é 5, os desvios são −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, e os quadrados deles somam 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Todo valor participa, inclusive os que por acaso ficam sobre a média, que contribuem com 0.

Por que elevar os desvios ao quadrado em vez de apenas somá-los?

Porque os desvios simples somam exatamente zero. Os valores abaixo da média cancelam os valores acima dela, em qualquer lista, então a soma dos desvios não carrega informação nenhuma sobre dispersão. Elevar ao quadrado faz duas coisas de uma vez: torna todo termo positivo, para que nada se cancele, e dá proporcionalmente mais peso aos valores distantes da média — um valor a duas unidades de distância contribui com 4, um a vinte unidades contribui com 400. Esse segundo efeito é intencional. É também por isso que a soma dos quadrados, e a variância construída a partir dela, reagem com força a um único valor extremo.

Por que existem dois números diferentes chamados soma dos quadrados nesta página?

Porque duas quantidades da estatística compartilham o nome, e esta página imprime as duas. A soma dos desvios ao quadrado, Σ(x − x̄)², é a resposta aqui e o numerador da variância. A soma dos valores ao quadrado, Σx², é a soma dos valores cada um elevado ao quadrado antes de qualquer subtração de média. Elas se relacionam pela identidade Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n, e é por isso que a versão bruta aparece na tela, mas elas não são intercambiáveis. Com o único valor 42 a soma dos desvios ao quadrado é 0, enquanto a bruta é 1.764.

A escolha entre amostra e população muda a resposta?

Não muda, e é por isso que esta página não tem um seletor. As fórmulas de amostra e de população diferem apenas no divisor — n − 1 contra n —, e a soma dos quadrados não divide por nada. Ela é um número único para uma dada lista. A escolha aparece nas páginas da variância e do desvio padrão porque a divisão acontece lá, e é exatamente por isso que o mesmo conjunto de dados pode produzir duas variâncias, mas apenas uma soma dos quadrados.

Qual é a ligação com a variância e o desvio padrão?

A variância é este número dividido pelos graus de liberdade: n − 1 para uma amostra ou n para uma população. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Então a soma dos quadrados é a matéria-prima, e a divisão é o que a torna comparável entre conjuntos de dados de tamanhos diferentes — uma soma sobre oito valores é naturalmente maior que uma soma sobre quatro, mesmo quando a dispersão é a mesma. Dividir por n − 1 em vez de n também corrige uma leve subestimação que vem de medir os desvios em torno da média da amostra, e não da média verdadeira.

A soma dos quadrados pode ser negativa?

Nunca. Todo termo é um quadrado, então todo termo é zero ou positivo e o total também. Ela é zero exatamente quando todos os valores são iguais à média, o que significa que todos os valores são iguais entre si — ou porque a lista tem um único valor, ou porque todos os valores são idênticos. Um total zero é um resultado de verdade, que diz que os dados não têm dispersão, e não um sinal de que algo deu errado. Se aparecer um número negativo, ou é a soma dos valores ao quadrado Σx² que você está olhando com um erro de sinal, ou é uma diferença de quadrados calculada à mão.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the variance as the sum of squared deviations divided by n − 1, and explains that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, the x − x̄ values for a sample, which is the quantity this page computes before the division) — OpenStax, Rice University