Calculadora de prisma triangular

Volume = área da base × comprimento · área lateral = perímetro da base × comprimento · área total = 2 × área da base + área lateral

Lado a

O primeiro lado da extremidade triangular, em centímetros. Os três lados juntos precisam conseguir formar um triângulo, o que a página confere antes de responder

Lado b

O segundo lado da extremidade, em centímetros. Junto com a e c ele fixa a área da extremidade, e portanto o volume, por completo

Lado c

O terceiro lado da extremidade, em centímetros. A ordem dos três não importa — eles entram de forma simétrica, pelo perímetro e pelo semiperímetro

Comprimento

Quanto o prisma corre, em centímetros — a distância entre as duas extremidades triangulares idênticas, medida ao longo da direção do deslocamento. Não é a altura do triângulo, ainda que na fala comum a mesma palavra sirva para as duas

Área da base

A área da extremidade triangular, calculada a partir dos três lados pela fórmula de Heron. Uma extremidade 3-4-5 tem área de exatamente 6 centímetros quadrados, e é por isso que ela aparece tanto nesta subcategoria

Volume

Quanto o prisma comporta, em centímetros cúbicos. A área da extremidade multiplicada pelo comprimento, o que vale para qualquer prisma, seja qual for a forma do corte transversal

Perímetro e área lateral

A distância em volta da extremidade e essa distância multiplicada pelo comprimento. Desenrolados, os lados de qualquer prisma são um retângulo, e esta é a área dele

Concreto e terraplenagem são os usuários mais antigos: um berço triangular de terreno, uma pilha de entulho com o topo plano, um meio-fio de concreto moldado em seção triangular — qualquer coisa pedida ou paga por volume, que é a maioria do que se vende por caminhão ou por metro cúbico. Materiais de cobertura e de chapa são a segunda família, e eles querem a área lateral: a lona sobre a cumeeira de uma barraca, o plástico filme em volta de um fardo triangular, o revestimento de um oitão, a chapa de um duto triangular. Esses trabalhos são orçados por área, e o número de que precisam é o perímetro vezes o comprimento, não a área total da superfície, porque as extremidades normalmente ficam abertas ou cobertas por outra coisa. Trabalhos de pintura e de revestimento querem a área total, porque as extremidades fazem parte do que precisa ser pintado, e deixá-las de fora do orçamento é a maneira clássica de faltar material. Depois há a terceira leitura, que vale conhecer mesmo saindo de graça: o volume de qualquer prisma é a área da sua seção transversal vezes o seu comprimento e, uma vez que você viu isso, paralelepípedos, cilindros e esta forma colapsam numa única regra. Essa generalização é a razão de esta página e a página do volume do prisma triangular existirem como um par — uma parte dos três lados, a outra parte de uma área que você já tem, e as duas chegam à mesma resposta quando os números batem.

1. Uma extremidade 3-4-5 com comprimento 10

   1. Calcule a área da extremidade pela fórmula de Heron: semiperímetro 6, logo √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
   2. Multiplique pelo comprimento para o volume: 6 × 10 = 60
   3. Some os lados e multiplique pelo comprimento para a volta: 12 × 10 = 120
   4. Some as duas extremidades triangulares: 120 + 2 × 6 = 132

   O par com que a página carrega, e o que amarra as duas páginas: a extremidade tem área de exatamente 6, então o volume é exatamente 60, e a página do volume imprime os mesmos 60 para uma área da base de 6 com comprimento 10. As três leituras saem de um conjunto pequeno de números, que é o sentido de uma página guarda-chuva.

2. Uma extremidade equilátera de 6 com comprimento 10

   1. Calcule a área da extremidade equilátera: √3 ÷ 4 × 36 = 15,5884572…
   2. Multiplique pelo comprimento para o volume: 15,5884572… × 10 = 155,884572…

   Uma extremidade equilátera, em que a área não é um número inteiro e a resposta precisa ser arredondada no fim. A página do volume chega aos mesmos 155,8846 partindo de uma área da base de 15,5884572 com o mesmo comprimento, e essa é a segunda reconciliação entre as duas páginas.

3. Uma extremidade isósceles de 5, 5 e 6 com comprimento 4

   1. Calcule a área da extremidade: o semiperímetro é 8, logo √(8 × 3 × 3 × 2) = 12
   2. Multiplique pelo comprimento para o volume: 12 × 4 = 48

   O caso comum: uma extremidade cuja área por acaso é um número inteiro e um prisma curto. Nada aqui é uma figura especial e nenhum lado precisou ser medido num ângulo conveniente, que é com o que a maioria dos trabalhos reais se parece.

4. Uma extremidade 3-4-5 com comprimento 0

   1. Calcule a área da extremidade: 6
   2. Multiplique pelo comprimento: 6 × 0 = 0

   Um comprimento zero significa que as duas extremidades foram trazidas uma contra a outra e não sobrou prisma nenhum — o volume é genuinamente zero. A área total da superfície não é zero nem aqui, porque as duas extremidades triangulares continuam existindo e continuam tendo de ser contadas; já a área lateral desaparece com o comprimento, porque ela é o perímetro da extremidade multiplicado por esse comprimento. Ver uma das duas ficar parada enquanto a outra cai a zero é um bom jeito de enxergar que área superficial e volume respondem a perguntas diferentes.

Esta página recebe os três lados da extremidade e o comprimento do prisma, e nada mais. Ela presume que o prisma é reto — que as extremidades são paralelas e da mesma forma, e que os lados correm perpendiculares a elas —, que é o que a palavra prisma significa, mas não o que toda figura triangular é; uma cunha que afina em direção a uma das pontas precisa de outra aritmética. O corte transversal tem de ser um triângulo: um prisma com extremidade quadrilateral é outra figura, com outra página. Os três lados precisam satisfazer a desigualdade triangular, e quando os dois menores somam menos que o maior a página recusa em vez de responder. Quando somam exatamente o maior, a extremidade é degenerada e o volume é aceito como zero. A resposta é sempre em centímetros, centímetros quadrados e centímetros cúbicos digam o que disserem as listas, e as conversões não são a mesma para as três: um comprimento converte por 2,54 para a polegada, uma área por 6,4516 e um volume por 16,387. Quatro casas decimais é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão, e um volume com uma raiz quadrada dentro vai genuinamente ter mais dígitos do que os que aparecem. A área lateral exclui as duas extremidades triangulares, que é o que um material de cobertura precisa mas não o que um orçamento de pintura precisa — para pintura, use a área total da superfície. Nada aqui trata de um prisma oco, da espessura da parede, nem de uma folga para perda quando o material é cortado.

Qual é a diferença entre a área lateral e a área total?

A área lateral é a volta em torno dos lados, e só isso — o perímetro do triângulo multiplicado pelo comprimento. A área total conta também as duas extremidades triangulares, então é a área lateral mais duas vezes a área da extremidade. Qual das duas você quer depende do trabalho: uma cobertura, um rótulo ou um revestimento precisam da área lateral, porque as pontas do fardo ficam abertas. Pintura, galvanoplastia ou chapa precisam da total, porque as extremidades também têm de ser cobertas.

Qual das medidas é o comprimento?

Quanto o prisma corre — a distância de uma extremidade triangular à outra, medida ao longo da direção em que a figura se desloca. Não é a altura do triângulo e, num prisma apoiado numa mesa, esses dois números costumam parecer parecidos, que é exatamente por isso que vale conferir qual dos dois você tem em mãos. Se o seu prisma é uma barraca, o comprimento é a cumeeira.

Os três lados podem ser três números quaisquer?

Não. Três comprimentos só formam um triângulo se quaisquer dois deles somados derem mais que o terceiro. Se os dois menores somarem menos que o maior, não existe face de extremidade e a página recusa em vez de responder. Se somarem exatamente o maior, a extremidade é uma linha plana e o volume é mesmo zero, então esse caso é aceito e impresso como zero.

Por que a página do volume dá a mesma resposta em algumas entradas?

Porque as duas páginas são a mesma regra alcançada de pontos de partida diferentes. O volume de qualquer prisma é a área da sua seção transversal vezes o seu comprimento, então se você já sabe a área da extremidade pode pular os três lados por inteiro. Uma extremidade 3-4-5 tem área de exatamente 6, então as duas páginas dão 60 para um comprimento de 10 — uma calculando a área antes e a outra recebendo-a pronta.

Importa qual lado eu chamo de a, b e c?

Não. Os três lados entram no cálculo de forma simétrica — pelo perímetro eles são simplesmente somados e, pela fórmula de Heron, aparecem apenas no semiperímetro e nas três diferenças, que são o mesmo conjunto de números em qualquer ordem em que você os digite. Os rótulos existem para dar nome às caixas, não para insinuar nada.

Posso usar isto para um cilindro ou um paralelepípedo?

Não nesta página, porque aqui a extremidade é um triângulo e os campos pedem três lados. Mas a regra é a mesma: o volume de qualquer prisma é a sua seção transversal vezes o seu comprimento, e a área lateral de qualquer prisma é o seu perímetro vezes o seu comprimento. A página do paralelepípedo nesta subcategoria é esta mesma conta com uma extremidade retangular, e a página do cilindro é esta mesma conta com uma extremidade circular.

• Prism — what makes a solid a prism, why the volume is always the cross-section times the length, and how the lateral area is defined — Wolfram MathWorld (United States)
• Heron's Formula — how the area of the triangular end, and therefore the volume of the whole prism, is worked out from the three sides alone — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle Inequality — the condition the three sides of the end must satisfy, and the reason some sets of three lengths have no prism behind them — Wolfram MathWorld (United States)