Calculadora de dilatação do tempo

tempo dilatado = fator de Lorentz × tempo próprio, com o fator de Lorentz = 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v

A velocidade do relógio em movimento como fração da velocidade da luz, então 0,9 quer dizer nove décimos de c. Informar assim é de propósito: a velocidade da luz é a unidade aqui, e não uma constante que você tem de digitar. O campo vai de 0 a 1, e exatamente 1 não é um valor que a página consiga usar, porque a fórmula inteira divide por algo que chega a zero ali

Δτ

O tempo próprio — o que o próprio relógio viajante marca, em horas, minutos, segundos ou dias. É o menor dos dois tempos e o que o viajante vive. Esta página tem dois relógios e este é o que você tem de manter separado do outro: preencha a viagem como a tripulação a viveria, e não como o controle da missão a veria

γ

O fator de Lorentz, 1 ÷ √(1 − v²/c²), impresso com quatro decimais e sem unidade porque é uma razão. É o assunto inteiro desta página: em qualquer velocidade que uma pessoa ou um veículo atinja ele concorda com 1 até onze casas decimais — 1.000 m/s ainda dá apenas 1,0000000000056 —, então a página imprime 1,0000; a 0,1 c ele é 1,005; e só depois de cerca de 0,9 c ele começa a parecer um número que merece uma tabela. Todo o resto da página é esse fator multiplicando um tempo ou subtraído de um

Δt

O tempo dilatado — o que um relógio que ficou para trás marca entre os mesmos dois eventos. É sempre o maior dos dois, e a página o mostra como uma duração em vez de uma contagem de segundos: cinco horas a bordo a 0,9 c voltam como 11 horas 28 minutos 15 segundos. Não existe caso em que ele seja menor, porque o fator nunca cai abaixo de um

Δt − Δτ

A diferença entre os dois relógios, também mostrada como duração. Ela não é a mesma coisa que o tempo dilatado e não é um múltiplo dele — é o que sobra depois de subtrair as horas do próprio viajante, e é o número que o paradoxo dos gêmeos de fato pergunta. A 0,9 c ao longo de cinco horas a diferença é 6 horas 28 minutos 15 segundos

Recorra a esta página quando você quiser saber quanto uma viagem rápida custa em tempo e não em distância: quanto uma tripulação envelheceria numa jornada a alguma fração respeitável da velocidade da luz, como fica o tempo de vida de um múon visto do chão, ou por que um relógio num satélite precisa de correção. O fator é a parte que vale olhar, porque a resposta surpreende as pessoas nas duas direções — a 0,1 c, que é mais rápido que qualquer coisa já construída, os relógios discordam em meio por cento, enquanto o último trecho, de 0,99 c a 0,999999 c, multiplica o efeito por cem. A metade de ida do paradoxo dos gêmeos mora aqui: mande um gêmeo embora a 0,9 c e o calendário do outro corre mais de duas vezes mais rápido.

1. Os padrões: 0,9 c por cinco horas a bordo

   1. Velocidade 0,9 c, tempo próprio 5 horas
   2. Fator de Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,9²) = 1 ÷ √0,19 = 2,294157, que sai impresso como 2,2942
   3. Cinco horas são 5 × 3.600 = 18.000 segundos a bordo
   4. Tempo dilatado: 2,294157 × 18.000 = 41.294,83 segundos, arredondados para 41.295 — que são 11 horas 28 minutos 15 segundos
   5. Diferença: 41.295 − 18.000 = 23.295 segundos, ou 6 horas 28 minutos 15 segundos

   As duas linhas de duração são a razão de esta página não ser só uma multiplicação. O relógio viajante marca cinco horas; o relógio em casa marca onze horas e vinte e oito minutos; e a diferença entre eles, seis horas e vinte e oito minutos, é o terceiro número e aquele sobre o qual o paradoxo dos gêmeos trata. Repare que a diferença também não é um múltiplo do tempo próprio — são 23.295 segundos, que é 1,294 vez os 18.000 que o viajante mediu, e não 2,29 vezes. Subtrair o fator vezes o tempo do tempo não dá a diferença; subtrair os dois tempos dá.

2. Metade da velocidade da luz por uma hora: o efeito é real mas modesto

   1. Velocidade 0,5 c, tempo próprio 1 hora
   2. Fator de Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,25) = 1 ÷ √0,75 = 1,154701, que sai impresso como 1,1547
   3. Uma hora a bordo são 3.600 segundos
   4. Tempo dilatado: 1,154701 × 3.600 = 4.156,92 segundos, arredondados para 4.157 — 1 hora 9 minutos 17 segundos
   5. Diferença: 4.157 − 3.600 = 557 segundos, ou 9 minutos 17 segundos

   Metade da velocidade da luz soa extremo e, para o relógio, não é: um ano a bordo seria um ano e dois meses em casa. Este caso está aqui por causa do arredondamento e não da física — uma implementação que truncasse em vez de arredondar informaria 4.156 e 556, um segundo a menos nas duas linhas, e esse segundo é invisível a menos que você confira a aritmética como os passos acima fazem. É também o caso que mostra que o fator é simétrico de um jeito que as pessoas não esperam: 0,5 c dá 1,1547, e 0,5 c em qualquer direção também, porque a fórmula contém v² e não v.

3. 0,999999 c por uma hora: vinte e nove dias em casa

   1. Velocidade 0,999999 c, tempo próprio 1 hora
   2. Fator de Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,999998000001) = 1 ÷ √(1,999999 × 10⁻⁶) = 707,106958, que sai impresso como 707,107
   3. Uma hora a bordo são 3.600 segundos
   4. Tempo dilatado: 707,106958 × 3.600 = 2.545.585,05 segundos, arredondados para 2.545.585 — 29 dias 11 horas 6 minutos 25 segundos
   5. Diferença: 2.545.585 − 3.600 = 2.541.985 segundos, ou 29 dias 10 horas 6 minutos 25 segundos

   Uma hora de viagem e vinte e nove dias de tempo em casa, e é isso que o último dígito da entrada está comprando: a 0,999 c o fator é 22,37, e a 0,999999 c é 707,11, a partir de uma mudança de uma parte em mil na velocidade. Essa inclinação é a coisa mais útil a levar desta página, e é por isso que as seis velocidades da tabela estão agrupadas no topo em vez de distribuídas por igual. A aritmética do segundo passo é o único lugar em que a raiz quadrada é fácil de errar à mão: √2 ≈ 1,4142 sugeriria 707,1068, e o valor impresso tem um zero na quarta decimal, e não um oito.

4. Em repouso: os dois relógios concordam exatamente

   1. Velocidade 0 c, tempo próprio 1 hora
   2. Fator de Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0) = 1, que sai impresso como 1,0000
   3. Tempo dilatado: 1 × 3.600 = 3.600 segundos, que é 1 hora
   4. Diferença: 3.600 − 3.600 = 0 segundos
   5. Nada se move, nada anda devagar

   Esta linha é a âncora de tudo o que está acima dela: sem movimento relativo não há efeito nenhum, e o fator é exatamente 1. É também a linha que mostra por que se imprimem quatro decimais em vez de duas — a 0,05 c o fator é 1,00125, que com duas casas sairia como 1,00, indistinguível de ficar parado, enquanto com quatro casas a linha de 0,1 c lê 1,005 e a diferença fica visível. O 1,0000 impresso também não é enchimento; ele diz que a discordância está abaixo da quarta decimal, o que é um fato sobre a velocidade zero e não uma escolha de formatação.

Só o trecho de ida é coberto: um relógio que dá meia-volta e retorna tem de ser tratado como dois trechos separados de velocidade constante, e é o relógio do viajante que termina atrasado. A gravidade não é modelada, embora um relógio mais fundo num campo gravitacional também ande devagar, por outra fórmula. A velocidade é medida em relação a quem está assistindo, e supõe-se que a viagem seja nessa velocidade o tempo todo, então nada aqui considera a aceleração nas duas pontas.

Qual é a fórmula da dilatação do tempo?

O tempo dilatado é igual ao fator de Lorentz vezes o tempo próprio, Δt = γΔτ, onde γ é 1 dividido pela raiz quadrada de 1 − v²/c². Cinco horas a bordo de uma nave a 0,9 c viram 11 horas 28 minutos 15 segundos no chão, porque γ ali é 2,2942. O fator depende só da velocidade, então mudar a duração da viagem escala os dois tempos juntos e deixa γ intacto.

Por que o fator de Lorentz fica perto de 1 por tanto tempo?

Porque a fórmula contém v²/c², então em velocidade baixa o que se subtrai de 1 é minúsculo e a raiz quadrada de um número perto de 1 fica perto de 1. A 0,1 c — trinta milhões de metros por segundo, mais rápido que qualquer nave espacial — o fator é 1,005, meio por cento. Mesmo à metade da velocidade da luz ele é apenas 1,1547. A parte íngreme chega tarde: 7,09 a 0,99 c, 22,37 a 0,999 c e 707 a 0,999999 c.

Qual é a diferença entre isto e o paradoxo dos gêmeos?

Esta página dá a metade de ida dele. Se um gêmeo parte a 0,9 c e o outro fica, o relógio do que ficou corre 2,2942 vezes mais rápido, então cinco anos a bordo são onze anos e meio em casa. O paradoxo completo precisa que o viajante dê meia-volta e volte, o que são dois trechos em vez de um e envolve aceleração — é isso que quebra a simetria entre os dois gêmeos, e está fora do que esta página modela.

A gravidade também causa dilatação do tempo?

Causa, e esta página não cobre isso. Um relógio mais fundo num campo gravitacional anda devagar em relação a um mais alto, o que é um efeito separado com fórmula própria e é por isso que os relógios de satélite precisam de correção pelos dois. O que esta página cobre é o efeito da relatividade restrita, que depende apenas da velocidade relativa e vale mesmo sem gravidade nenhuma. Os dois se somam nos sistemas de navegação reais.

O que acontece exatamente na velocidade da luz?

A página recusa a entrada. Em v = c a quantidade 1 − v²/c² é zero e o fator de Lorentz divide por zero, então não há resposta em vez de uma resposta infinita. Acima da velocidade da luz a raiz quadrada vira raiz de um número negativo. O campo aceita de 0 a 1 e a calculadora rejeita exatamente 1, que é a separação honesta: atingir a velocidade da luz não é um número muito grande nesta página, é o ponto em que a fórmula deixa de estar definida.

• Time Dilation (College Physics 2e, §28.2) — the Lorentz factor, the two clocks, and the muon and satellite evidence for the effect — OpenStax
• Time dilation — the derivation of γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²), the twin paradox, and the difference between this effect and gravitational time dilation — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the hour, minute and day rows (1 h = 3600 s) the two duration rows are ultimately counted in — NIST