Calculadora de subtração de frações

a/b − c/d = (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L onde L = mmc(b, d), o mínimo múltiplo comum dos dois denominadores Depois reduza a diferença

Primeiro numerador

O de cima da fração da qual se subtrai: 3 em 3/4. Ele é multiplicado por quantas vezes o próprio denominador cabe no denominador comum — por 3, no caso padrão, o que transforma 3/4 em 9/12. Pode ser negativo, e o sinal viaja com ele.

Primeiro denominador

O de baixo da primeira fração: 4 em 3/4. Tem de ser positivo, e é um dos dois números cujo mínimo múltiplo comum vira o denominador comum. Ele permanece no painel como foi digitado, para que a reescrita possa ser conferida contra ele.

Segundo numerador

O de cima da fração que está sendo tirada: 1 em 1/6. O multiplicador dele é diferente do primeiro — 2 no caso padrão, dando 2/12 — e é essa assimetria que as duas leituras convertidas mostram.

Segundo denominador

O de baixo da segunda fração: 6 em 1/6. Junto com o primeiro denominador ele fixa o denominador comum em 12. Tem de ser positivo pelo mesmo motivo que o primeiro.

Denominador comum (L)

O mínimo múltiplo comum dos dois denominadores: 12 para 4 e 6, e 77 para o par sem fator comum 7 e 11, em que ele sai mesmo como o produto puro. Ele é calculado como um denominador dividido pelo máximo divisor comum dos dois, multiplicado pelo outro, que dá o mesmo número por um caminho que não estoura a faixa dos inteiros exatos. Ele é impresso numa linha própria porque é o número do qual o método inteiro depende, e porque um denominador comum maior que o necessário é o deslize de conta mais comum nesta operação.

Frações convertidas

As duas frações depois de as duas serem reescritas sobre o denominador comum: 9/12 e 2/12 no caso padrão. Elas são impressas como foram convertidas e não reduzidas, já que reduzi-las esconderia o multiplicador que fez o trabalho. A subtração acontece entre esses dois numeradores.

Diferença

O que sobra depois de os dois numeradores convertidos serem subtraídos: 9 − 2 = 7 sobre 12. Ela é impressa na forma irredutível, então pode diferir do que a subtração dos numeradores convertidos deu — 5/6 menos 1/3 deixa 3/6, que é impresso como 1/2 — e ela se reduz a um 0 sozinho quando as duas frações são iguais.

O primeiro uso é o exercício em si, que é ensinado assim que os denominadores diferem, e o painel está organizado em volta do procedimento do livro: achar o denominador comum, converter, subtrair, reduzir. O segundo é conferir uma conta feita à mão, e aí a parte útil são as duas leituras convertidas — se as suas não forem estas, tudo o que vem depois delas também difere. O terceiro é um par de denominadores que compartilham um fator, como 4 e 6, em que o denominador comum é menor que o produto e o painel mostra a economia. O quarto é um par de denominadores sem fator comum, como 7 e 11, o outro extremo: nada é compartilhado, o denominador comum é o produto, e a resposta em geral já chega na forma irredutível. O quinto é um par de frações iguais, em que a diferença é zero e o painel imprime isso como um 0 sozinho — a única leitura desta página que não é uma fração. Ela não soma, não multiplica e não divide, e não aceita números mistos; essas são três outras páginas.

1. 3/4 − 1/6

   1. Achar o denominador comum: o mínimo múltiplo comum de 4 e 6 é 12, não 24, porque os dois dividem 12 e 4 × 6 contou o fator 2 que eles compartilham duas vezes
   2. Converter a primeira fração: 12 ÷ 4 = 3, então 3/4 vira (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12
   3. Converter a segunda fração: 12 ÷ 6 = 2, então 1/6 vira (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12
   4. Subtrair os numeradores sobre o denominador comum: 9 − 2 = 7, o que dá 7/12
   5. 7 e 12 não compartilham nada, então 7/12 já está na forma irredutível

   O caso padrão, e o que mostra por que o denominador comum não é simplesmente o produto: 4 e 6 dividem os dois o 12, e 12 é o menor número que os dois dividem, então doze avos bastam e vinte e quatro avos teriam sido o dobro do trabalho. As duas leituras convertidas são a prova — 9/12 e 2/12 têm o mesmo denominador, que é exatamente o que torna a subtração legítima. Repare que os números convertidos são impressos como foram convertidos e não reduzidos: 2/12 poderia ser escrito como 1/6, mas aí o multiplicador que o produziu desapareceria, e o multiplicador é o passo que está sendo mostrado.

2. 5/6 − 1/3

   1. Achar o denominador comum: 3 divide 6, então o mínimo múltiplo comum é 6
   2. A primeira fração não precisa ser convertida: 6 ÷ 6 = 1, então ela continua 5/6
   3. Converter a segunda: 6 ÷ 3 = 2, então 1/3 vira 2/6
   4. Subtrair: 5 − 2 = 3 sobre 6, o que dá 3/6
   5. Reduzir: o máximo divisor comum de 3 e 6 é 3, então 3/6 = 1/2

   O caso que mostra que o denominador comum não termina o trabalho. A diferença dos numeradores convertidos é 3/6, e 3/6 não é a resposta — a resposta é 1/2, porque 3 e 6 ainda compartilham um fator. Um método que para no denominador comum imprime 3/6 aqui e está errado de um jeito que a própria página não consegue ver, e é por isso que esta linha está na tabela e nos exemplos resolvidos em vez de ficar ao acaso. Repare também que uma das duas leituras convertidas não mudou: quando um denominador divide o outro, só uma fração precisa ser reescrita, e a leitura que volta igual ao que entrou é o registro honesto disso.

3. 1/7 − 1/11

   1. Achar o denominador comum: 7 e 11 não compartilham fator nenhum, então o mínimo múltiplo comum é o produto deles, 77
   2. Converter a primeira fração: 77 ÷ 7 = 11, então 1/7 vira 11/77
   3. Converter a segunda: 77 ÷ 11 = 7, então 1/11 vira 7/77
   4. Subtrair: 11 − 7 = 4 sobre 77, o que dá 4/77
   5. 4, 7 e 11 não compartilham fator comum, então 4/77 já está na forma irredutível

   O outro extremo do denominador comum: dois denominadores sem nada em comum, então o mínimo múltiplo comum é mesmo o produto e as duas frações têm de ser reescritas. É o caso em que quem ignora o mínimo múltiplo comum e sempre multiplica os denominadores chega à mesma resposta — e a razão de valer a pena mostrar isso de qualquer maneira é que o exemplo anterior, 4 e 6, é justamente aquele em que esse atalho erra. Repare que a resposta é 4/77 e não algo como 4/77 reduzido: denominadores sem fator comum não garantem uma resposta já reduzida, só a tornam provável, e a redução é feita sobre o resultado de qualquer forma.

4. 5/8 − 3/4

   1. Achar o denominador comum: 4 divide 8, então o mínimo múltiplo comum é 8
   2. A primeira fração continua: 8 ÷ 8 = 1, o que dá 5/8
   3. Converter a segunda: 8 ÷ 4 = 2, então 3/4 vira 6/8
   4. Subtrair: 5 − 6 = -1 sobre 8, o que dá -1/8

   As duas frações são positivas e a resposta não é: subtrair uma fração maior de uma menor leva o resultado para além do zero, e o painel diz isso com um sinal de menos em vez de recusar a entrada. O denominador comum é 8 e as duas leituras convertidas são 5/8 e 6/8, que é o que torna o desfecho óbvio antes mesmo de a subtração ser feita — o segundo numerador é o maior. O sinal mora no numerador e em nenhum outro lugar: a resposta é -1/8, não 1/-8, e o denominador continua positivo em todas as linhas do painel.

5. 1/2 − 1/2

   1. Os denominadores são iguais, então o mínimo múltiplo comum é esse denominador, 2
   2. Nenhuma das frações precisa ser convertida: as duas já estão escritas sobre 2
   3. Subtrair: 1 − 1 = 0 sobre 2, o que dá 0/2
   4. Reduzir: o máximo divisor comum de 0 e 2 é 2, então 0/2 vira 0/1, que é escrito como um 0 sozinho

   O caso em que a resposta não é uma fração de jeito nenhum. Frações iguais têm diferença zero, e zero se reduz a 0/1, que a notação de fração escreve sem denominador — então a leitura principal é um 0 sozinho enquanto a linha do denominador comum ainda diz 2 e as duas leituras convertidas ainda dizem 1/2. Esse é o ponto: as duas entradas eram frações de verdade e o método realmente rodou, e só o resultado se reduziu. É também o único lugar em que o painel fica diferente da mesma subtração feita na página de soma, onde um total só se reduz quando chega a um número inteiro.

Os dois denominadores têm de ser positivos, porque uma fração carrega o sinal no numerador — e as leituras convertidas dependem disso, já que cada numerador é multiplicado por um número inteiro de vezes e o sinal tem de ficar num lugar só. Os numeradores podem ser negativos, e a diferença pode ser negativa mesmo quando as duas entradas são positivas: 5/8 − 3/4 é -1/8, que é uma resposta correta e não um erro. Os números são limitados de tamanho. Cada denominador tem teto de 100000, e cada numerador de cerca de 4,5 × 10¹⁰, que é o maior valor para o qual os dois numeradores convertidos ainda caem em inteiros representáveis com exatidão. Acima disso a subtração ficaria silenciosamente inexata, então a página recusa a entrada em vez de imprimir um número que parece certo. Só números inteiros são aceitos nas quatro caixas — um numerador decimal é recusado, e a página aponta para a página de decimal para fração. Zero pode aparecer num numerador: ele se converte para 0 sobre o denominador comum como qualquer outro número. A página subtrai duas frações e nada mais: ela não soma, não multiplica e não divide, e não aceita um número misto escrito como um inteiro ao lado de uma fração, que tem de virar uma fração imprópria antes — é para isso que serve a página de números mistos. As leituras intermediárias aqui são deliberadamente diferentes das da calculadora de frações e da página de números mistos: aquelas duas multiplicam os denominadores direto e imprimem o produto antes de reduzir, enquanto esta acha o mínimo múltiplo comum e imprime as duas frações convertidas. A mesma subtração, portanto, mostra 9/12 e 2/12 aqui e um par intermediário diferente lá, e as respostas coincidem. Por fim, a resposta é sempre reduzida mas as leituras convertidas não são — uma fração convertida pode ser impressa como algo como 6/8, e isso é a leitura registrando a conversão, não uma redução esquecida. Uma entrada não inteira é recusada com uma linha de erro no lugar do resultado, em vez de marcar a caixa de entrada, porque a recusa vem do próprio cálculo.

Como se subtraem frações com denominadores diferentes?

Reescreva as duas frações sobre um denominador comum, subtraia os numeradores e mantenha esse denominador. 3/4 menos 1/6 vira 9/12 menos 2/12, que é 7/12. Multiplicar os dois denominadores sempre dá um denominador comum utilizável, e tomar o mínimo múltiplo comum dá um menor.

Por que o denominador comum de 3/4 e 1/6 é 12 e não 24?

Porque 12 é o menor número que 4 e 6 dividem os dois. Multiplicar 4 por 6 conta duas vezes o fator 2 que os dois denominadores compartilham, o que dobra todos os números do trabalho. Vinte e quatro avos chegariam à mesma resposta com o dobro da aritmética — o painel imprime o menor para que os multiplicadores fiquem pequenos.

Ainda é preciso reduzir depois de achar o denominador comum?

Sim. Um denominador comum torna a subtração possível, não torna o resultado irredutível. 5/6 menos 1/3 é 5/6 menos 2/6, que é 3/6, e 3/6 é 1/2. A página reduz a diferença e deixa as duas leituras convertidas como foram convertidas, para que os dois fatos fiquem visíveis.

A resposta pode ser negativa?

Pode. 5/8 menos 3/4 é 5/8 menos 6/8, que é -1/8: subtrair uma fração maior de uma menor leva o resultado abaixo de zero, e isso é uma resposta de verdade e não um erro. O sinal fica no numerador, então a resposta é escrita -1/8 e nunca como uma fração com denominador negativo.

O que acontece quando as duas frações são iguais?

A diferença é zero. 1/2 menos 1/2 se converte em 1/2 menos 1/2, os numeradores subtraídos dão 0, e 0 sobre 2 se reduz a 0 sobre 1 — que é escrito como um 0 sozinho, sem denominador. A linha do denominador comum continua dizendo 2, porque o método realmente rodou.

Posso subtrair números mistos aqui?

Não. Esta página aceita quatro números inteiros que formam duas frações, então um número misto como 4 1/2 tem de virar uma fração imprópria — 9/2 — antes de ser digitado, e essa conversão é o que a página de número misto para fração imprópria faz. Somar, multiplicar e dividir também são três outras páginas.

• Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of subtracting two of them — Wolfram MathWorld (United States)
• Least Common Multiple — the smallest positive integer divisible by two given integers, which is the common denominator this page converts both fractions to — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used here both to find the least common multiple and to reduce the difference — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the difference is printed in and not the form the converted readings are printed in — Wolfram MathWorld (United States)
• Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which the common denominator is the plain product of the two denominators — Wolfram MathWorld (United States)