Calculadora de números mistos

Numerador impróprio = |inteiro| × denominador + numerador Depois: a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d) b/d × c/f = (b×c) / (d×f)

Parte inteira

O inteiro na frente da fração, em qualquer um dos dois números mistos: 2 em 2 1/4, ou 1 em 1 1/2. Pode ser negativo, e quando é, o menos pertence ao número misto inteiro — -1 1/2 é menos um e meio, e não menos um meio. É a parte que carrega o sinal.

Numerador

A parte de cima da fração, em qualquer um dos dois números mistos: 1 em 2 1/4. Tem de ser zero ou mais: um sinal de menos aqui tornaria o número misto ambíguo, então a página o recusa em vez de escolher uma leitura para você.

Denominador

A parte de baixo da fração, em qualquer um dos dois números mistos: 4 em 2 1/4. Tem de ser positivo, pelo mesmo motivo pelo qual o denominador de uma fração sempre é — o sinal mora no numerador e só há um lugar para ele morar.

Operação

Somar, subtrair, multiplicar ou dividir. As quatro passam pela mesma conversão, então a escolha só decide qual das quatro combinações de numerador e denominador é formada no fim.

Número misto

A leitura principal: o resultado escrito como um inteiro e uma fração. 15/4 é impresso como 3 3/4. Quando o resultado é inteiro a fração desaparece por completo, e quando é menor que um o inteiro desaparece — 3/4 não tem um 0 na frente.

Fração imprópria

O mesmo resultado como uma fração única na forma irredutível, 15/4. É exata, e é a forma na qual o número misto tem de ser transformado antes de poder ser somado, subtraído, multiplicado ou dividido por qualquer coisa.

Antes de reduzir

O resultado da aritmética antes de qualquer cancelamento: 30/8 no caso padrão. Ela está ali para que a conta fique visível — 30/8 e 15/4 são o mesmo número, e a segunda linha é como esse número fica depois de reduzido.

O primeiro uso é a lição de casa, e é a razão de a segunda linha existir: números mistos têm de ser convertidos antes de serem operados, então uma pergunta feita na forma mista é respondida passando pela forma imprópria, e as duas são impressas. O segundo é conferir um trabalho já feito, em que digitar os dois números mistos e comparar a terceira linha com o que você escreveu mostra se a aritmética crua estava certa antes de qualquer cancelamento. O terceiro é subtrair atravessando o zero: 1 1/2 menos 4 é -2 1/2, e a convenção de sinal importa mais justamente nesses casos. O quarto é uma divisão que dá inteiro — 2 1/2 dividido por 1 1/4 é 2, e a fração simplesmente não está lá na resposta, o que vale ver uma vez. O quinto é qualquer receita ou medida que chega na forma mista e precisa ser dobrada, dividida pela metade ou escalada: dobrar 2 1/4 é uma multiplicação por 2 0/1, e o quarto campo aceita isso. O sexto é uma lista de quantidades em forma mista que precisa ser somada, o caso em que somar números mistos é a operação certa e a que dá menos trabalho à mão.

1. 2 1/4 + 1 1/2

   1. Para a forma imprópria: 2 1/4 é 2 × 4 + 1 = 9, então 9/4; e 1 1/2 é 1 × 2 + 1 = 3, então 3/2
   2. Somar em cruz: (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = (18 + 12) ÷ 8 = 30/8
   3. Reduzir: 30/8 divide por 2, dando 15/4
   4. De volta à forma mista: 15 ÷ 4 é 3 com resto 3, então 3 3/4

   O caso padrão, e o que mostra por que três leituras são impressas em vez de uma: 30/8, 15/4 e 3 3/4 são o mesmo número em três estágios diferentes. O primeiro passo é a conversão sobre a qual a página inteira é construída — o inteiro multiplicado pelo denominador e somado ao numerador — e o último passo a desfaz, que é por isso que a resposta volta na forma em que a pergunta foi feita. Ler os quatro passos de ponta a ponta também é a conferência: se a fração reduzida e o número misto discordarem, um dos dois foi impresso errado.

2. 3 1/2 − 1 3/4

   1. Para a forma imprópria: 3 1/2 é 3 × 2 + 1 = 7, então 7/2; e 1 3/4 é 1 × 4 + 3 = 7, então 7/4
   2. Subtrair em cruz: (7 × 4 − 7 × 2) ÷ (2 × 4) = (28 − 14) ÷ 8 = 14/8
   3. Reduzir: 14/8 divide por 2, dando 7/4
   4. De volta à forma mista: 7 ÷ 4 é 1 com resto 3, então 1 3/4

   Uma subtração, em que os inteiros são subtraídos pela mesma conversão e não separadamente: 3 menos 1 daria 2, e a resposta é 1 3/4, porque as frações tomam de volta mais que um inteiro. Subtrair os inteiros primeiro é o erro que este formato existe para pegar, e um olhar na linha reduzida o mostra — 7/4 é menos que 2, então a resposta não pode ser 2 e um pouco. Repare que aqui o numerador sai positivo; quando ele sai negativo o sinal vai na frente do número misto inteiro.

3. 1 2/3 × 2 1/4

   1. Para a forma imprópria: 1 2/3 é 1 × 3 + 2 = 5, então 5/3; e 2 1/4 é 2 × 4 + 1 = 9, então 9/4
   2. Multiplicar em cruz: (5 × 9) ÷ (3 × 4) = 45/12
   3. Reduzir: 45/12 divide por 3, dando 15/4
   4. De volta à forma mista: 15 ÷ 4 é 3 com resto 3, então 3 3/4

   Uma multiplicação, que é a única operação em que os números mistos não precisam ser alinhados de maneira nenhuma: 45/12 e sua forma reduzida 15/4 são o mesmo número, e os dois são obtidos multiplicando numeradores e denominadores direto. Repare que a mesma resposta, 3 3/4, também saiu do caso padrão de soma — pergunta diferente, resultado igual, o que é coincidência destes dois exemplos e um lembrete para ler os campos em vez da resposta. Repare também que a terceira linha, 45/12, é o maior número da página: o produto cru de duas frações é sempre maior que sua forma reduzida.

4. 2 1/2 ÷ 1 1/4

   1. Para a forma imprópria: 2 1/2 é 5/2, e 1 1/4 é 5/4
   2. Dividir invertendo a segunda: (5 × 4) ÷ (2 × 5) = 20/10
   3. Reduzir: 20/10 é 2
   4. A forma mista de 2 é o próprio 2 — não sobrou fração para escrever

   Uma divisão que dá inteiro, que é o caso em que a notação de número misto desiste: 2 é impresso como 2, e não como 2 0/1, porque um numerador zero não tem o que escrever em cima do traço. A aritmética é a mesma conversão de todo o resto, com a segunda fração virada — 20/10 reduz para 2, e a linha crua está ali para que o 20 e o 10 possam ser vistos antes de se cancelarem. É também o formato em que um número misto é genuinamente a ferramenta errada: a resposta nunca foi um número misto.

5. -1 1/2 + 2 1/4

   1. Para a forma imprópria: -1 1/2 é −(1 × 2 + 1) = −3, então −3/2; e 2 1/4 é 9/4
   2. Somar em cruz: (−3 × 4 + 9 × 2) ÷ (2 × 4) = (−12 + 18) ÷ 8 = 6/8
   3. Reduzir: 6/8 divide por 2, dando 3/4
   4. O resultado é menor que um, então a forma mista é só a fração

   A regra do sinal fazendo o trabalho dela: o menos pertence ao número misto inteiro, então -1 1/2 se converte em −3/2 e não em −1/2. O primeiro passo é onde isso aparece, e a multiplicação pelo denominador torna a coisa concreta — a parte inteira contribui com −1 × 2, e não com +1 × 2 com um menos perdido em outro lugar. A resposta está entre zero e um, então a forma mista se reduz a uma fração simples e as duas primeiras linhas concordam exatamente; a terceira é a única que ainda tem o 6/8 sem cancelar.

O numerador de qualquer um dos dois números mistos tem de ser zero ou mais. Um sinal de menos ali seria ambíguo — 1 -1/2 poderia significar um menos um meio ou um mais um meio negativo, e -1 -1/2 não tem leitura nenhuma —, então a página o recusa e pede que você ponha o sinal no inteiro, onde ele tem um significado só. A parte inteira pode ser negativa, que é como se escreve um número misto negativo. Os denominadores têm de ser positivos, já que o sinal mora no numerador. Os dois números mistos têm tamanho limitado: as partes inteiras e os numeradores têm teto de 100.000, e o numerador impróprio em que um número misto se converte tem um teto próprio, de 94.906.265. Esse segundo teto é o que de fato segura a conta, e ele vem de uma razão específica: a multiplicação precisa multiplicar os dois numeradores impróprios, e um produto acima de 9.007.199.254.740.991 sairia da faixa em que os inteiros são exatamente representáveis, então a página recusa a entrada em vez de responder com um número silenciosamente errado. O teto vale para os quatro operadores, e não só para a multiplicação, porque ele é uma propriedade da conversão e não da conta — uma soma com um numerador impróprio grande também é recusada, mesmo que nunca chegue a haver produto nenhum. A divisão por zero é recusada, e zero aí significa o segundo número misto inteiro ser zero, o que inclui formas como 0 0/4 que não parecem um zero à primeira vista. O resultado não é mostrado com uma quantidade fixa de casas decimais porque não há decimais: toda leitura nesta página é exata, e é por isso que frações valem o trabalho. As três leituras são impressas como texto puro, sem separador de milhar, então um resultado grande aparece como 400000 — copiável sem limpeza, e mais difícil de ler. O que a página não faz é decidir se um número misto é a maneira certa de escrever a sua resposta: um matemático diria que normalmente não é, e essa objeção é real, ainda que não seja aritmética.

Como somo números mistos?

Converta os dois em frações impróprias, faça a conta e volte. 2 1/4 é 2 × 4 + 1 = 9, então 9/4; 1 1/2 é 3/2. Somar dá (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = 30/8, que reduz para 15/4, que é 3 3/4. A página executa os quatro passos e imprime os três últimos.

Por que a resposta é impressa três vezes?

Porque são três coisas diferentes de que você pode precisar. O número misto é a resposta na forma em que a pergunta foi feita. A fração imprópria é a forma pela qual a conta tem de passar, e a forma em que uma fração pode ser usada. A terceira linha é o resultado antes de qualquer cancelamento, que é com o que você compara se estiver conferindo o seu próprio trabalho à mão.

Posso digitar um número misto negativo?

Pode, pondo o menos no campo do inteiro: -1 1/2 é menos um e meio. O campo do numerador não aceita sinal de menos, e isso é deliberado — 1 -1/2 pode ser lido como um menos um meio ou como um mais um meio negativo, e -1 -1/2 é pior ainda. Um sinal, no único lugar em que ele tem um significado só.

A página usa um denominador comum?

Não, e também não imprime nenhum. A soma e a subtração multiplicam os dois denominadores entre si e multiplicam os numeradores em cruz, o que dá a mesma resposta que achar o mínimo denominador comum — 30/8 em vez de 15/4 no caso padrão, o mesmo número. O denominador comum só vale o trabalho extra quando o painel o está mostrando, que é o que a página de soma de frações faz.

2 1/4 é a maneira certa de escrever dois e um quarto?

É a maneira como se escreve numa receita ou na escola, e é ambígua. Matemáticos leem dois símbolos lado a lado como uma multiplicação, então 2 1/4 diz duas vezes um quarto, que é um meio. O próprio verbete do MathWorld sobre o assunto registra o autor dele perdendo pontos numa prova de cálculo por escrever assim. Esta página imprime a notação porque é sobre ela que você perguntou, e mantém 9/4 na linha de baixo.

O que acontece se a resposta for um número inteiro?

A fração desaparece. Dividir 2 1/2 por 1 1/4 dá 20/10, que reduz para 2, e 2 é impresso como 2 e não como 2 0/1 — um numerador zero não tem o que pôr em cima do traço. A mesma regra vale no outro sentido: uma resposta abaixo de 1 é impressa como uma fração simples, sem nenhum zero na frente.

Por que a página não divide por 0 0/4?

Porque 0 0/4 é zero. O divisor é o segundo número misto inteiro, e um número misto é zero quando a parte inteira e a fração são as duas zero — um formato que não parece um zero até você converter. Zero não tem inverso, então a divisão não tem resposta, e a página diz isso em vez de imprimir alguma coisa.

• Mixed Fraction — the definition of a mixed fraction as an improper fraction written as a whole number beside a fraction, the ambiguity of that notation in algebra, and the author's own account of losing marks on a calculus exam for using it — Wolfram MathWorld (United States)
• Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is the form both mixed numbers are converted into before the arithmetic runs — Wolfram MathWorld (United States)
• Proper Fraction — a fraction whose numerator is smaller than its denominator, which is what is left over beside the whole number when a result is written as a mixed number — Wolfram MathWorld (United States)
• Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the step between the raw result on the third line and the two readings above it — Wolfram MathWorld (United States)
• Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used to cancel the raw result down to lowest terms — Wolfram MathWorld (United States)