Calculadora de forma padrão

45000 = 4,5 × 10⁴; 0.00045 = 4,5 × 10⁻⁴; 1200 = 1,2 × 10³, mas 1200. = 1,200 × 10³; 6.02e23 = 6,02 × 10²³ = 602000000000000000000000

45000

O número que está sendo convertido, dado como decimal comum ou em notação e. Ele pode ser inteiro ou ter vírgula, e pode ser negativo; o sinal é levado para o coeficiente e nunca para o expoente

4,5

O coeficiente, ou mantissa, que precisa ficar entre 1 e 10. Ele reúne os algarismos originais com a marca decimal deslocada, então os algarismos em si nunca mudam: 45000 e 4,5 × 10⁴ guardam os mesmos algarismos 4 e 5, e só a posição da marca decimal é diferente

10⁴

O expoente, que conta as casas que a marca decimal andou e carrega o sinal do deslocamento. Quatro casas para a esquerda dão 4 e um número grande; quatro casas para a direita dariam o expoente negativo de um número pequeno, que é por isso que 0.00045 vira 4,5 × 10⁻⁴ e não 4,5 × 10⁴

1200 ou 1200.

De onde vêm os zeros finais. Escrito como número inteiro, os dois zeros só indicam magnitude, então o coeficiente é 1,2. Com a marca decimal depois deles, eles foram escritos de propósito, então são mantidos e o coeficiente é 1,200. O mesmo número de algarismos, duas afirmações diferentes sobre precisão

0

O único valor sem expoente nenhum colado. O zero é impresso como 0 nas duas formas, porque qualquer potência de dez escrita ao lado dele afirmaria uma magnitude que o zero não tem

602000000000000000000000

A forma comum de 6,02 × 10²³, que tem vinte e quatro caracteres e é ilegível sem contar. A notação e 6.02e23 que a produziu é o que você digitaria; a notação existe para que essa linha nunca precise ser escrita por extenso

Converter nesta direção é o que se faz quando um número precisa ser escrito para outra pessoa. Uma medição feita num laboratório ou numa folha de dados sai como 0.00045 e tem que aparecer num relatório como 4,5 × 10⁻⁴, porque a segunda forma declara a precisão do coeficiente e a primeira deixa isso para ser contado. A conversão inversa acontece com a mesma frequência por outro motivo: um valor chega como 6,02 × 10²³ e precisa ser lançado em algo que só aceita algarismos, então ele é escrito por extenso ou, melhor, colado como notação e. Numa sala de aula a conversão é o exercício em si. Deslocar a marca decimal e contar as casas é a única habilidade mecânica deste assunto, e a regra dos zeros finais é a parte dela que trata de medição e não de notação — 1200 e 1200. são a mesma grandeza e não a mesma afirmação, e um coeficiente que mantém aqueles zeros está dizendo que alguém mediu até a casa das unidades. As provas usam esta forma porque ela é conferível: um coeficiente fora do intervalo de 1 a 10 está errado à primeira vista, de um jeito que um zero fora de lugar num decimal comprido não está. Dois vizinhos valem ser conhecidos. Se o número está sendo combinado com outro em vez de apenas reescrito, quem faz essa aritmética é a página de notação científica. Se a pergunta é quantos algarismos o coeficiente pode carregar, a resposta vem da página de algarismos significativos, e ela vem da procedência do número, não da notação.

1. Um número inteiro: 45000

   1. Encontre o primeiro algarismo diferente de zero, que é o 4
   2. Coloque a marca decimal depois dele: 4,5
   3. Conte as casas que ela andou da posição original, no fim do número: quatro
   4. O número é maior que 10, então o expoente é positivo: 10⁴
   5. O resultado é 4,5 × 10⁴, e a forma comum impressa ao lado é o 45000 que entrou

   O padrão, e a forma mais simples da conversão: os algarismos já são 4 e 5, então só a marca decimal se move. O expoente é o número de casas que ela andou, que coincide com o número de algarismos depois do primeiro quando o número é inteiro e não tem zeros finais discutíveis.

2. Um valor abaixo de um: 0.00045

   1. Encontre o primeiro algarismo diferente de zero em 0.00045, que é o 4, na quarta casa decimal
   2. Coloque a marca decimal depois dele: 4,5
   3. Conte as casas que ela andou para chegar lá desde depois do zero à esquerda: quatro
   4. O número é menor que um, então o expoente é negativo: 10⁻⁴
   5. Os zeros à esquerda não aparecem no coeficiente, que é 4,5 e não 0.00045

   A direção em que a contagem é errada com mais frequência. O coeficiente é 4,5 e o expoente é −4, então a resposta é 4,5 × 10⁻⁴; escrever 4,5 × 10⁻⁵ é o erro habitual, e ele vem de contar o zero à esquerda como uma casa. A conferência é contar de volta: 4,5 × 10⁻⁴ desloca a marca decimal quatro casas para a direita, o que cai em 0.00045.

3. Duas maneiras de escrever 1200

   1. A marca decimal no fim não é um erro de digitação: ela diz que os dois zeros depois do 2 foram escritos de propósito
   2. Coloque a marca decimal depois do primeiro algarismo: 1,200
   3. Conte as casas: três, então o expoente é 3
   4. O coeficiente mantém os zeros, porque eles foram escritos: 1,200 × 10³
   5. Agora digite 1200 sem a marca decimal e a mesma calculadora responde 1,2 × 10³ — mesmo valor, afirmação diferente

   A regra que torna a forma padrão útil e não apenas arrumada, e o único ponto desta página em que a grafia da entrada muda a saída. As duas respostas descrevem o valor 1200; elas diferem em quantos algarismos estão sendo afirmados. Um coeficiente de 1,200 diz que a casa das unidades foi medida, ou pelo menos escrita; 1,2 não diz. Repare no que a calculadora não está fazendo: ela não está adivinhando qual das duas você quis dizer, e não está contando algarismos significativos por você — ela está lendo o que você digitou, que é a única coisa honesta que ela pode fazer.

4. Um valor que já está em notação e: 6.02e23

   1. A entrada já está numa forma aceitável: 6.02e23 significa 6,02 × 10²³
   2. O coeficiente 6,02 está entre 1 e 10, então nenhum ajuste é necessário
   3. O expoente 23 é positivo, então a forma comum é um número inteiro grande
   4. Escrevê-lo por extenso dá 602 seguido de 21 zeros — 24 caracteres no total

   O número de Avogadro, e o argumento padrão a favor da notação. A forma comum não está errada, ela é ilegível: 602000000000000000000000 precisa ser contado para ser acreditado, e quem conta errado fica errado por um fator de dez sem ter como perceber. A notação e que entra e a forma de coeficiente e expoente que sai carregam as duas o tamanho em dois pedaços curtos. Este é também o caso que mostra que a conversão vai e volta na mesma página: a entrada estava em notação e, a forma comum da entrada nunca foi digitada, e a calculadora a imprime assim mesmo.

A forma escrita não é uma entrada. 4,5 × 10⁴ e 4,5×10^4 são recusadas as duas; use 4.5e4 ou 45000. O separador de milhar escrito com vírgula, como no 45,000 que se usa em inglês, também é recusado — a vírgula é marca decimal aqui e em vários dos idiomas que este site atende, e lê-la como separador mudaria o valor sem avisar ninguém. Em português o separador de milhar é o ponto, e o ponto aqui não é recusado: ele é lido como marca decimal. Digitar 1.500 entra como um vírgula cinco e sai como 1.500 × 10⁰, e digitar 45.000 entra como quarenta e cinco — 4.5000 × 10¹ —, uma resposta de aparência perfeitamente normal cujo expoente está dois passos errado. Digite os números sem separador de milhar, na forma 1500. O zero é impresso como 0 nas duas formas, sem potência de dez colada e sem sinal. Os números são limitados a quinze algarismos significativos, e um expoente além de ±99 é recusado. A regra dos zeros finais depende da grafia da entrada, não do valor: 1200 dá 1,2 × 10³ e 1200. dá 1,200 × 10³, e não existe uma terceira resposta, porque a calculadora não tem outra coisa em que se apoiar. Isso também quer dizer que esta página não calcula algarismos significativos. Ela mantém ou descarta zeros finais conforme o número foi escrito; decidir quantos dos algarismos restantes foram de fato medidos é uma pergunta sobre de onde o número veio, e ela pertence à página de algarismos significativos. A forma comum é impressa sem separador em qualquer comprimento, então a forma comum de 6.02e23 é uma sequência de 24 caracteres e a forma comum de 1e99 teria cem deles; isso é deliberado, já que uma sequência sem separador pode ser lida ou colada em qualquer lugar, enquanto 602.000.000.000.000.000.000.000 não pode. Por último, nenhum arredondamento acontece aqui: os algarismos que entram são os algarismos que saem, reposicionados e nada mais, com uma exceção — zeros à esquerda de um número inteiro não são preservados, então 007 é lido como 7 e sai como 7 × 10⁰. As duas linhas de resultado são impressas pelo painel como texto puro, com ponto no lugar da vírgula e sem separador de milhar: o painel mostra 4.5 × 10⁴ e 45000, e não 4,5 × 10⁴, porque é assim que a página guarda esses resultados por dentro.

O que é forma padrão?

Um número escrito como um coeficiente entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de dez: 45000 é 4,5 × 10⁴ e 0.00045 é 4,5 × 10⁻⁴. É o nome usado nas escolas britânicas para o que o inglês americano chama de notação científica. Nada na forma muda entre os dois nomes; o que muda é a convenção de escrever o expoente, e as duas são impressas aqui.

Como converter um número para a forma padrão?

Desloque a marca decimal para logo depois do primeiro algarismo diferente de zero e conte quantas casas ela andou. Essa contagem é o expoente, e ele é positivo para um número de 10 ou mais e negativo para um número abaixo de 1. 45000 dá 4,5 × 10⁴, porque a marca andou quatro casas para a esquerda; 0.00045 dá 4,5 × 10⁻⁴, porque ela andou quatro casas para a direita. Os algarismos em si nunca mudam.

Por que 1200 dá 1,2 × 10³ mas 1200. dá 1,200 × 10³?

Porque um zero final num número escrito significa uma de duas coisas, e a forma padrão mantém a diferença. No inteiro 1200 os dois zeros apenas dizem que o número está na casa dos milhares, então o coeficiente é 1,2. Acrescentar a marca decimal depois deles diz que eles foram escritos de propósito, então são mantidos e o coeficiente é 1,200. O valor é o mesmo; a afirmação sobre quanto dele se conhece não é.

Por que não posso digitar 4,5 × 10⁴ na entrada?

Porque essa forma tem várias grafias — um sinal de multiplicação, um x, um asterisco, um circunflexo, um expoente sobrescrito — e cada uma teria que ser reconhecida exatamente, já que lê-la errado significa converter o número errado. Digite 4.5e4 ou 45000. São o mesmo valor, e a calculadora imprime a forma em notação e de qualquer número que você der, então uma resposta sempre pode ser colada de volta na entrada.

Esta calculadora diz quantos algarismos significativos o coeficiente tem?

Não, e estaria adivinhando se dissesse. Ela mantém ou descarta zeros finais conforme a grafia do número e para por aí. Quantos algarismos de um número foram de fato medidos é uma pergunta sobre de onde o número veio — se o 1200 foi contado ou estimado — e esse é o assunto da página de algarismos significativos.

Qual é a diferença entre esta página e a calculadora de notação científica?

Esta aqui converte. Um número entra e o mesmo número sai escrito do outro jeito, sem aritmética e sem arredondamento. A calculadora de notação científica recebe dois números e uma operação, faz a aritmética nesta forma e imprime a resposta de três maneiras. Se você está reescrevendo um valor, está na página certa; se está combinando dois, é a outra.

• Standard form — the coefficient-and-exponent form as taught in the UK, with the conversion method and the two directions of the exponent — Math is Fun (United Kingdom)
• Standard form — a short definition of the same form, given under its American name scientific notation — Math is Fun (United Kingdom)
• Scientific notation — the form, its rules and the notation's history, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)