O que é notação científica?

Um jeito de escrever um número como um coeficiente entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de dez: 45.000 é 4,5 × 10⁴ e 0,00045 é 4,5 × 10⁻⁴. O tamanho do número se muda para o expoente, e é isso que faz a multiplicação e a divisão nesta forma serem uma questão de lidar com números inteiros pequenos em vez de fileiras compridas de zeros. Em inglês britânico a mesma coisa costuma se chamar standard form.

O que é notação e, e por que a página a imprime?

A notação e é o mesmo número em caracteres comuns: 4.5e4 significa 4,5 × 10⁴, e 4.5e-4 significa 4,5 × 10⁻⁴. É o que um programa, uma planilha ou uma caixa de busca aceitam, então a página a imprime como uma das três formas — ela é a versão da resposta que pode ser colada direto de volta numa entrada. Repare que a marca decimal dela é o ponto e não a vírgula, pela mesma razão: a vírgula não é aceita nas entradas desta página.

Por que 0,1 + 0,2 dá exatamente 0,3 aqui?

Porque o resultado é arredondado para quinze algarismos significativos antes de ser impresso, e a soma guardada é 0,30000000000000004 — a diferença está no décimo sexto e no décimo sétimo algarismo. Quinze não é um número redondo escolhido por estética: é a largura de exibição mais generosa para a qual todo valor que as entradas aceitam é impresso exatamente, então 123456789012345 + 0 continua voltando como 123456789012345 em vez de ser arredondado para algo mais curto.

Como multiplicar e dividir em notação científica?

Multiplique os coeficientes e some os expoentes num produto; divida os coeficientes e subtraia os expoentes num quociente. Depois confira se o coeficiente está entre 1 e 10 e passe um fator de dez para o expoente se não estiver: 3,2 × 10⁵ vezes 4 × 10⁻³ é 12,8 × 10², que se escreve 1,28 × 10³. Somar e subtrair exigem os expoentes alinhados antes, que é o passo que a notação torna fácil de pular.

A resposta diz quantos algarismos significativos ela tem?

Não. A resposta é um número calculado, e nenhuma largura de exibição consegue dizer quantos dos algarismos dela foram medidos — isso depende da precisão dos números que entraram e de eles serem medições ou não. Os zeros finais são descartados pela mesma razão: mantê-los sugeriria uma precisão que a aritmética não tem. Descobrir quantos algarismos significativos uma resposta merece é o assunto da página de algarismos significativos.

Calculadora de notação científica

Resultado

1.28 × 10³

Notação científica

Notação E: 1.28e3
Notação comum: 1280

A notação científica escreve um número como um coeficiente entre 1 e 10 vezes uma potência de dez, então 45.000 vira 4,5 × 10⁴ e 0,00045 vira 4,5 × 10⁻⁴. A vantagem é que o tamanho do número se muda para o expoente: multiplicar e dividir potências de 10 deixam de ser uma contagem de zeros e passam a ser uma soma e uma subtração de números inteiros pequenos. Esta calculadora recebe dois números e uma operação e imprime o resultado nas três formas ao mesmo tempo: notação científica, notação e notação comum. As regras de expoente são a aritmética inteira. Para multiplicar, multiplique os coeficientes e some os expoentes: (3,2 × 10⁵) × (4 × 10⁻³) = 12,8 × 10², que depois é normalizado para 1,28 × 10³. Para dividir, divida os coeficientes e subtraia os expoentes. Somar e subtrair são as operações incômodas, porque os expoentes precisam ficar alinhados antes: 1,5 × 10³ mais 2,5 × 10² é 1.500 mais 250, e a resposta é 1,75 × 10³. Nada disso é diferente da aritmética decimal comum — é a mesma soma —, mas a notação torna o passo do alinhamento fácil de esquecer. As entradas são aceitas nas duas formas. A notação e que os programadores digitam, 3.2e5 e 4e-3, é lida diretamente, e o decimal comum 45000 também; os dois são o mesmo número, e a página trata os dois do mesmo jeito. Já uma forma escrita como 4,5 × 10⁴ não é aceita, e a razão vale a pena saber em vez de contornar: reconhecê-la significa aceitar cinco grafias da mesma ideia — um sinal de multiplicação, um x, um asterisco, um expoente sobrescrito, um circunflexo — e ler uma delas errado significa calcular com o número errado. A linha da notação e no resultado existe justamente para ser colada de volta nas entradas. Os dois números podem ter até quinze algarismos significativos cada um, e os expoentes deles podem ir de −99 a 99; a resposta pode passar disso, já que 1e99 × 1e99 é 1 × 10¹⁹⁸. Um cuidado vale para a aritmética desta página de um jeito que não vale para as outras páginas daqui. A soma e a multiplicação de decimais são feitas em precisão dupla, que não representa todo decimal exatamente, então 0,1 + 0,2 é 0,30000000000000004 antes de ser qualquer outra coisa. O resultado é arredondado para quinze algarismos significativos e os zeros finais são descartados, o que imprime 3 × 10⁻¹ e 0,3 — a cauda está no décimo sexto e no décimo sétimo algarismo. Esse quinze é uma largura de exibição, não uma afirmação: uma resposta calculada a partir de dois números não sabe quantos dos algarismos dela foram medidos, e nenhuma quantidade de algarismos impressos aqui diria isso. Decidir quantos algarismos significativos uma resposta merece é outra pergunta, e ela pertence à página de algarismos significativos, não a esta. Duas convenções se encontram nesta página e vale separá-las uma vez. Em inglês americano esta notação é scientific notation; em inglês britânico, e no currículo GCSE, a mesma coisa costuma se chamar standard form. Os dois nomes descrevem a mesma forma de coeficiente e expoente, e a página de forma padrão cuida da metade de conversão do trabalho — um número entra, o mesmo número sai escrito do outro jeito — enquanto esta página faz a metade da aritmética.

Potências de dez, escritas em notação científica, em notação e e na forma comum

Potência	Notação comum	Notação E
1 × 10⁻⁹	0.000000001	1e-9
1 × 10⁻⁶	0.000001	1e-6
1 × 10⁻³	0.001	1e-3
1 × 10⁻²	0.01	1e-2
1 × 10⁻¹	0.1	1e-1
1 × 10⁰	1	1e0
1 × 10¹	10	1e1
1 × 10²	100	1e2
1 × 10³	1000	1e3
1 × 10⁴	10000	1e4
1 × 10⁵	100000	1e5
1 × 10⁶	1000000	1e6
1 × 10⁹	1000000000	1e9

Treze potências de dez, de 10⁻⁹ a 10⁹, com o mesmo número escrito das três maneiras. Leia a primeira coluna como o expoente e a terceira como o formato a ser digitado: 10⁻³ é 0,001, que é 1e-3. As linhas do meio são as que dão problema na prática — 10⁰ é 1 e 10⁻¹ é 0,1, então um sinal de menos esquecido desloca um valor por um fator de dez, e 10⁻² e 10⁻³ são as duas que aparecem mais em trabalho de medição. Repare onde a forma comum deixa de ser confortável: abaixo de 10⁻⁶ os zeros da direita ficam difíceis de contar, que é o argumento habitual para escrever valores pequenos nesta notação. Acima de 10⁶ a forma comum fica difícil de ler sem separador de milhar, e esta página nunca imprime separador — as linhas de resultado dela saem como texto puro e a marca decimal dessas linhas é o ponto, então um ponto de milhar no meio delas viraria uma segunda marca decimal. Cada célula é calculada pelo mesmo núcleo que o painel usa, então uma linha nunca consegue discordar de uma resposta acima dela. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ; (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ; a soma e a subtração alinham os expoentes antes: 1,5 × 10³ + 2,5 × 10² = 1.500 + 250 = 1,75 × 10³; 3.2e5 × 4e-3 = 1,28 × 10³ = 1.28e3 = 1.280

3,2e5 e 4e-3: Os dois números que estão sendo combinados, cada um escrito em notação e (3.2e5) ou como um decimal comum (320000), e cada um com até quinze algarismos significativos. Eles são as entradas que a página lê; a resposta é um número novo, calculado a partir deles
× ÷ + −: A operação, escolhida entre quatro opções. A multiplicação vem primeiro porque é para isso que a notação científica serve: os expoentes se somam, então o tamanho da resposta fica decidido antes de qualquer coeficiente ser multiplicado
10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ: A regra de expoente por trás da multiplicação e da divisão. Os expoentes são somados num produto e subtraídos num quociente, que é por que 10⁵ × 10⁻³ dá 10² sem nenhuma contagem de zeros
1,5 × 10³ + 2,5 × 10²: Por que a soma e a subtração são diferentes. Aqui os expoentes não batem, então os dois números precisam ser escritos num expoente comum antes de serem somados — 1.500 + 250 — e o resultado é 1,75 × 10³. Pular esse passo é o erro habitual
0,1 + 0,2 = 3 × 10⁻¹: Por que a resposta é impressa com quinze algarismos significativos. 0,1 e 0,2 não podem ser guardados exatamente em precisão dupla, e a soma deles é 0,30000000000000004; arredondando para quinze algarismos, e descartando os zeros finais que sobram, imprime-se 3 × 10⁻¹ e 0,3. Quinze é uma largura de exibição e não uma afirmação sobre precisão
1,28 × 10³, 1.28e3 e 1.280: As três formas de uma mesma resposta. A primeira é o que um livro didático imprime, a segunda é o que um programa ou uma planilha aceita se for colada de volta numa entrada, e a terceira é o número escrito por extenso. Elas nunca são três respostas diferentes

A notação científica ganha o lugar dela onde os números estão longe de 1. Na física ela é o padrão para tudo que é medido em átomos, metros ou anos-luz — a massa de um elétron, a distância até uma estrela, o comprimento de onda de uma cor — e a razão é a mesma em qualquer escala: o expoente carrega o tamanho, então uma comparação entre duas grandezas vira uma comparação entre dois expoentes. Na química a notação anda junto com a contagem: 6,02 × 10²³ é uma contagem de partículas, e multiplicá-la por uma quantidade medida é aritmética nesta forma. A engenharia se apoia nela para tolerâncias nas duas pontas de um desenho, e a computação se apoia nela pela razão pela qual a notação e existe: números de ponto flutuante são guardados como um coeficiente e um expoente, e a notação e que esta página imprime é o jeito mais curto e mais honesto de escrever um. Livros didáticos e provas usam a notação como uma forma conferível. Resolver um problema em notação científica e dar a resposta como 4,5 × 10⁴ deixa o tamanho da resposta visível de um jeito que uma fileira de zeros não deixa, e é por isso que um expoente trocado é pego no olho nesta forma e passa despercebido na outra. O que esta página faz dentro desse trabalho é o passo da aritmética: ela cuida da contabilidade dos expoentes e imprime a resposta na forma que o passo seguinte precisar, e ela é mais útil quando os números estão sendo combinados e a resposta precisa ser escrita, não estimada. Dois trabalhos relacionados ficam de cada lado dela. Escrever o mesmo número do outro jeito, sem aritmética nenhuma, é a página de forma padrão. Decidir quantos dos algarismos de uma resposta foram de fato medidos — que é o assunto dos algarismos significativos — é a página de algarismos significativos, e é a pergunta que esta página deliberadamente não responde.

Exemplos resolvidos

Multiplicando: 3,2 × 10⁵ por 4 × 10⁻³
1. Multiplique os coeficientes: 3,2 × 4 = 12,8
2. Some os expoentes: 10⁵ × 10⁻³ = 10²
3. O produto é 12,8 × 10², que ainda não é notação científica, porque o coeficiente precisa ficar abaixo de 10
4. Passe um fator de dez do coeficiente para o expoente: 12,8 × 10² = 1,28 × 10³
5. Escrito por extenso, isso é 1.280 — e a notação e 1.28e3 pode ser colada de volta em qualquer uma das duas entradas
O padrão, e o caso que mostra para que serve a notação. Os dois números são curtos, e a aritmética é uma multiplicação de coeficientes e uma soma de expoentes; sem a notação o mesmo trabalho seria 320000 × 0,004, onde os zeros fazem todo o serviço e a resposta erra por um fator de dez com facilidade. O passo de normalização é o que exige atenção, e é o passo que o painel faz em silêncio: 12,8 × 10² e 1,28 × 10³ são o mesmo número, e só o segundo está em notação científica.
Dividindo: 9,6 × 10⁷ por 3,2 × 10³
1. Divida os coeficientes: 9,6 ÷ 3,2 = 3
2. Subtraia os expoentes: 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
3. O coeficiente já está entre 1 e 10, então nenhuma normalização é necessária
4. A resposta é 3 × 10⁴, que é 3e4 e 30000
Uma divisão em que o coeficiente sai redondo, então nada esconde a regra dos expoentes. Repare que o coeficiente não tem zeros finais: o resultado é 3 e não 3,00, porque a página imprime quinze algarismos significativos e depois descarta os zeros que não carregam informação nenhuma. Se a resposta merece ser citada como 3 ou como 3,00000 é uma pergunta de algarismos significativos, e as entradas daqui não decidem isso.
Somando 0,1 e 0,2
1. Nenhuma das entradas tem expoente, então os dois números entram como estão: 0,1 e 0,2
2. Em precisão dupla os valores guardados não são exatamente um décimo e dois décimos, e a soma deles é 0,30000000000000004
3. O resultado é arredondado para quinze algarismos significativos, o que deixa 0,300000000000000
4. Os zeros finais são descartados, porque os quinze algarismos são uma largura de exibição e não uma medição
5. O que sobra é 3 × 10⁻¹, ou 3e-1, ou 0,3
O exemplo que justifica a largura de exibição. Imprimir sete algarismos significativos também esconderia a cauda do ponto flutuante, mas quebraria outro caso: 123456789012345 + 0 sairia como 123456800000000, que é simplesmente o número errado. Quinze algarismos é a largura mais generosa que ainda é exata para todo valor que as entradas aceitam, então ela esconde a cauda e preserva o número. Se você já encontrou essa soma como enigma de programação, o enigma é real — ele só não é visível nesta largura. Os dois números grandes aparecem aqui sem separador de milhar porque é exatamente assim que eles são digitados nas entradas desta página.

Limitações

Cada entrada aceita até quinze algarismos significativos e um expoente de −99 a 99. A resposta não fica presa a esses limites: 1e99 × 1e99 é 1 × 10¹⁹⁸, e a forma comum dela é uma linha de 199 caracteres. As formas escritas são rejeitadas: 4,5 × 10⁴ e 4,5×10^4 não são lidas, e o mesmo vale para o separador de milhar escrito com vírgula, como no 1,500 que se usa em inglês — a vírgula é marca decimal aqui e em vários dos idiomas que este site atende, e adivinhar qual delas está em uso colocaria um número errado dentro da conta. Escreva 4.5e4, ou digite os algarismos por extenso. Em português há uma armadilha a mais nesse ponto, e ela vale ser lida devagar: o separador de milhar brasileiro é o ponto, e o ponto não é recusado — ele é lido como a marca decimal. Digitar 1.500 entra como um vírgula cinco e digitar 45.000 entra como quarenta e cinco, sem aviso nenhum. Digite os números sem separador de milhar, na forma 1500. A divisão por zero lança erro em vez de devolver um infinito, porque um infinito não é um resultado que se possa escrever. O zero é impresso como 0 nas três formas: 0 × 10⁰ seria uma ordem de grandeza colada num número que não tem nenhuma. Os resultados são arredondados para quinze algarismos significativos e os zeros finais são descartados, então a resposta não carrega informação sobre precisão e a página não faz nenhuma afirmação a respeito; essa pergunta é da página de algarismos significativos. Como a multiplicação, a divisão, a soma e a subtração são feitas em precisão dupla, um resultado só é exato até quinze algarismos significativos — o bastante para as entradas que esta página aceita, e não o bastante para ser tratado como aritmética exata em valores mais longos, que são recusados justamente por isso. Por último, a tabela de referência abaixo é uma lista fixa de potências de dez e não acompanha a sua entrada; ela está ali para ser lida ao lado da resposta, não para ser calculada a partir dela. As três linhas de resultado são impressas pelo painel como texto puro: a notação e e a forma comum saem com ponto no lugar da vírgula e sem separador de milhar, porque é assim que a página guarda esses resultados por dentro.

Perguntas frequentes

O que é notação científica?: Um jeito de escrever um número como um coeficiente entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de dez: 45.000 é 4,5 × 10⁴ e 0,00045 é 4,5 × 10⁻⁴. O tamanho do número se muda para o expoente, e é isso que faz a multiplicação e a divisão nesta forma serem uma questão de lidar com números inteiros pequenos em vez de fileiras compridas de zeros. Em inglês britânico a mesma coisa costuma se chamar standard form.
O que é notação e, e por que a página a imprime?: A notação e é o mesmo número em caracteres comuns: 4.5e4 significa 4,5 × 10⁴, e 4.5e-4 significa 4,5 × 10⁻⁴. É o que um programa, uma planilha ou uma caixa de busca aceitam, então a página a imprime como uma das três formas — ela é a versão da resposta que pode ser colada direto de volta numa entrada. Repare que a marca decimal dela é o ponto e não a vírgula, pela mesma razão: a vírgula não é aceita nas entradas desta página.
Por que 0,1 + 0,2 dá exatamente 0,3 aqui?: Porque o resultado é arredondado para quinze algarismos significativos antes de ser impresso, e a soma guardada é 0,30000000000000004 — a diferença está no décimo sexto e no décimo sétimo algarismo. Quinze não é um número redondo escolhido por estética: é a largura de exibição mais generosa para a qual todo valor que as entradas aceitam é impresso exatamente, então 123456789012345 + 0 continua voltando como 123456789012345 em vez de ser arredondado para algo mais curto.
Posso digitar 4,5 × 10⁴ nas entradas?: Não, e a página vai dizer isso. Reconhecer aquela forma significa aceitar várias grafias dela — um sinal de multiplicação, um x, um asterisco, um expoente sobrescrito, um circunflexo — e ler uma delas errado significa calcular com o número errado. Digite 4.5e4 ou 45000; os dois são o mesmo valor, e a linha da notação e de toda resposta é escrita para ser colada de volta.
Como multiplicar e dividir em notação científica?: Multiplique os coeficientes e some os expoentes num produto; divida os coeficientes e subtraia os expoentes num quociente. Depois confira se o coeficiente está entre 1 e 10 e passe um fator de dez para o expoente se não estiver: 3,2 × 10⁵ vezes 4 × 10⁻³ é 12,8 × 10², que se escreve 1,28 × 10³. Somar e subtrair exigem os expoentes alinhados antes, que é o passo que a notação torna fácil de pular.
A resposta diz quantos algarismos significativos ela tem?: Não. A resposta é um número calculado, e nenhuma largura de exibição consegue dizer quantos dos algarismos dela foram medidos — isso depende da precisão dos números que entraram e de eles serem medições ou não. Os zeros finais são descartados pela mesma razão: mantê-los sugeriria uma precisão que a aritmética não tem. Descobrir quantos algarismos significativos uma resposta merece é o assunto da página de algarismos significativos.

Referências

Scientific notation — the coefficient-and-exponent form, the rules for multiplying and dividing in it, and the notation's history — Wolfram MathWorld (United States)
Scientific notation — a worked introduction to the form and to the exponent rules for multiplication and division — Math is Fun (United Kingdom)
Scientific notation — definition, with the same form given under the British name standard form — Math is Fun (United Kingdom)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de forma padrãoConverta entre forma padrão e número decimal comum.Calculadora de algarismos significativosConte algarismos significativos e arredonde.Calculadora de potenciaçãoEleve um número a qualquer potência, inclusive negativa.Calculadora de arredondamentoArredondamento por casa decimal ou algarismos significativos.