Calculadora de forma decomposta

3.456 = 3.000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰; 205,04 = 200 + 5 + 0,04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²; −550 = −(500 + 50)

3.456

O número que está sendo desmontado, escrito como decimal comum ou em notação e. Os algarismos dele não mudam e nada é arredondado; o número apenas é reescrito de outro jeito, então uma decomposição cujos termos não somam de volta a entrada é um defeito, e não uma decisão de arredondamento

3.000 + 400 + 50 + 6

A forma expandida — um termo por algarismo não nulo, cada termo sendo aquele algarismo vezes o valor da sua casa. Os algarismos aparecem na ordem original, da esquerda para a direita, então a linha se lê do mesmo jeito que o número

3 × 10³

O mesmo termo com o valor de casa escrito como potência de 10. O expoente é a distância do algarismo até a casa das unidades, contando para a esquerda como positivo e para a direita como negativo, e é por isso que a própria casa das unidades é 10⁰ em vez de 10¹

200 + 5 + 0,04

Onde os zeros entram. 205,04 tem um zero na casa das dezenas e um zero na casa dos décimos, e os dois termos ficam de fora, porque somar zero a uma soma não muda nada. A página de valor posicional mantém os dois; esta não mantém, e é esse contraste que justifica as duas páginas existirem

4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴

A parte de uma decomposição abaixo da vírgula, onde os expoentes são negativos. 0,004560 dá 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵ — o zero final da entrada não gera termo, porque esta página lê um valor em vez de preservar uma grafia

−(500 + 50)

Como um número negativo é escrito. O sinal vale para a soma inteira e fica fora dos parênteses, em vez de ser distribuído por cada termo como −500 + −50, o que se leria como uma soma de dois números negativos

A forma expandida é como o valor posicional é ensinado, e é o degrau entre contar e fazer conta em colunas. Uma criança que consegue escrever 3.456 como 3.000 + 400 + 50 + 6 enxerga por que o 3 e o 4 não podem simplesmente ser somados, que é a ideia da qual a adição em colunas depende; a mesma decomposição por baixo de uma subtração explica o empréstimo, e por baixo de uma multiplicação é o que torna 3.000 × 4 diferente de 3 × 4. Muito depois da escola ela continua aparecendo como a versão legível da estrutura de um número. Um engenheiro comparando duas leituras da mesma grandeza descobre pela decomposição mais rápido em qual casa está a discrepância, e quem confere o resultado de uma planilha consegue abrir o total em parcelas e confirmar cada algarismo contra as entradas, em vez de confiar na cifra inteira de uma vez. A forma exponencial é a ponte para a notação científica e para a computação: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ está a um passo de 3,456 × 10³, e a mesma expressão com potências de dois no lugar das de dez é exatamente como um número binário é decomposto, com cada bit multiplicado pelo valor da sua posição. Trabalhar na direção contrária — comprimir um número num coeficiente e uma potência de dez, o que perde os algarismos individuais em vez de listá-los — é o que a página de forma padrão faz. E quando a pergunta é sobre um algarismo em particular, e não sobre todos eles ao mesmo tempo, a página de valor posicional mantém cada algarismo no lugar, zeros incluídos, em vez de omitir os termos que não valem nada.

1. Um número de quatro algarismos: 3.456

   1. Leia os algarismos da esquerda para a direita: 3, 4, 5, 6
   2. Nomeie a casa de cada um: milhares, centenas, dezenas, unidades
   3. Multiplique cada algarismo pelo valor da sua casa: 3 × 1.000, 4 × 100, 5 × 10, 6 × 1
   4. Some os termos: 3.000 + 400 + 50 + 6
   5. Escreva os mesmos quatro termos com os valores de casa em potências de 10, o que dá 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰

   O padrão, e de propósito o caso fácil: nenhum zero, nenhuma vírgula, nenhum sinal, então a forma da resposta fica visível antes de qualquer regra precisar ser aplicada. Somar os termos de volta dá 3.456, que é a conferência que vale a pena rodar em qualquer decomposição — os termos precisam somar o número de onde vieram, e cada algarismo precisa aparecer exatamente uma vez.

2. Um número com zeros e vírgula: 205,04

   1. Os algarismos são 2, 0, 5, 0, 4, e as casas vão das centenas até os centésimos
   2. O 2 vale 200 e o 5 vale 5; os zeros das casas das dezenas e dos décimos não valem nada e não geram termo
   3. O 4 está duas casas à direita da vírgula, então o valor da casa dele é 0,01 e o termo dele é 0,04
   4. A decomposição é 200 + 5 + 0,04, que soma 205,04
   5. Com potências de 10, os mesmos termos são 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², e os expoentes 2, 0 e −2 são as distâncias até a casa das unidades

   O caso central desta página: dois zeros, um de cada lado da vírgula, e nenhum dos dois gera termo. Compare com a página de valor posicional, que responde 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01 para a mesma entrada — cinco termos contra três, e as duas são respostas corretas a perguntas diferentes. Vale reparar também no expoente zero de 5 × 10⁰: a casa das unidades é uma casa como qualquer outra, e o expoente dela é zero porque o algarismo está a zero casas de distância de si mesmo.

3. Um número negativo: −550

   1. Pegue os algarismos primeiro e ignore o sinal: 5 e 5, nas casas das centenas e das dezenas
   2. Os termos deles são 500 e 50, e o zero da casa das unidades não acrescenta nada
   3. A soma desses termos é 550, e o número original é essa soma tornada negativa
   4. Escreva o sinal uma vez só, fora de parênteses que envolvem a soma inteira: −(500 + 50)

   O sinal é uma propriedade do número, não de um algarismo qualquer, e os parênteses são como isso se diz por escrito. Distribuí-lo daria −500 + −50, que é aritmeticamente idêntico e pior de ler: numa página cuja saída é uma soma, dois sinais de menos se leem como dois números sendo somados, e quem confere a linha precisa descobrir se os termos eram algarismos negativos ou um total negativo.

4. Um valor menor que um com zero final: 0,004560

   1. Encontre os algarismos que carregam informação, que são 4, 5 e 6; os zeros à esquerda só posicionam a vírgula
   2. O 4 está na casa dos milésimos, então o termo dele é 0,004
   3. O 5 está na casa dos décimos de milésimo, o que dá 0,0005, e o 6 na casa dos centésimos de milésimo, o que dá 0,00006
   4. O último algarismo da entrada é um zero na casa dos milionésimos; ele não contribui e não gera termo
   5. Os termos somam 0,00456, que é o valor da entrada

   O zero final é a parte interessante, e é onde esta página e a página de algarismos significativos se separam. Aqui o zero simplesmente não é um termo, porque uma soma não precisa dele. Lá ele é um algarismo medido e conta para os quatro algarismos significativos que 0,004560 carrega. As duas leituras vêm da mesma entrada e nenhuma é um erro — uma é sobre o valor do número, a outra sobre a precisão da medição.

Os zeros não geram termo. 205,04 se decompõe em 200 + 5 + 0,04 e não em 200 + 0 + 5 + 0 + 0,04, então a decomposição não é uma transcrição algarismo por algarismo da entrada; ela é a entrada escrita como soma, e os termos que não valem nada ficam de fora. Se você quer os zeros mantidos, a página de valor posicional os mantém. A forma escrita não é uma entrada aceita: 4,5 × 10⁴ é recusado, e a forma que você digita é 4.5e4. Sobre separadores de milhar há uma armadilha em português que vale a pena ler devagar: a vírgula é recusada, mas o ponto, que é justamente o separador de milhar brasileiro, não é recusado — ele é lido como a marca decimal, então digitar 1.500 entra como um e meio e digitar 3.456 entra como três vírgula quatro cinco seis. Os números têm que ser digitados sem separador de milhar, na forma 3456, e é essa a grafia que a entrada da calculadora espera. As entradas são limitadas a quinze algarismos significativos e a expoentes entre −99 e 99. Um zero à esquerda de um inteiro escrito, como em 007, também não é preservado — ele não tem valor de casa nenhum, e a decomposição dessa entrada é 7. O zero é um caso especial nas duas pontas: a entrada 0 se decompõe em 0, sem termo nenhum, e a decomposição de qualquer número termina no último algarismo não nulo, e não no fim da forma escrita. Nada é arredondado e nada é convertido, então a decomposição de 9,99 é 9 + 0,9 + 0,09 e nunca 10. Por fim, o painel imprime o resultado como texto puro, sem separador de milhar e com ponto no lugar da vírgula, porque essa é a forma como a página guarda a soma por dentro: o que se lê na tela é a mesma linha, escrita na convenção do sistema, e não na convenção brasileira que o texto acima usa. E esta página lista algarismos; ela não os soma para você, não decide quantos deles são significativos e não escreve o número como um coeficiente e uma potência de dez. Essas são três tarefas separadas, e pertencem, respectivamente, às páginas de valor posicional, de algarismos significativos e de forma padrão.

O que é a forma expandida?

Um número escrito como a soma dos seus algarismos, cada um multiplicado pelo valor da sua casa: 3.456 é 3.000 + 400 + 50 + 6. Não é outro número e não é um jeito mais curto de escrever um número; é o mesmo número com a estrutura das suas casas visível, e é por isso que é a forma pela qual o valor posicional é ensinado primeiro e a forma que explica por que a conta em colunas funciona.

Por que os zeros ficam de fora da decomposição?

Porque um termo que vale zero pode sair de uma soma sem alterá-la, e mantê-lo só deixa a linha mais difícil de ler: 205,04 é 200 + 5 + 0,04 e não 200 + 0 + 5 + 0 + 0,04. A página de valor posicional adota a posição contrária e mantém cada algarismo, porque o assunto dela são os algarismos e não a soma. As duas páginas estão corretas sobre o mesmo número.

Qual é a diferença entre forma expandida e forma exponencial?

A segunda escreve os valores de casa como potências de 10: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ no lugar de 3.000 + 400 + 50 + 6. Esta página imprime as duas, uma embaixo da outra, porque a primeira é o que um quadro de valor posicional entrega e a segunda é o que o mesmo quadro entrega depois que as colunas dele ganham expoentes.

Como um número decimal é decomposto?

Do mesmo jeito, com as casas à direita da vírgula recebendo expoentes negativos: 205,04 é 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², já que o 4 está duas casas à direita da casa das unidades. 0,004560 se decompõe em 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵, e o zero final não gera termo nenhum.

Por que −550 é escrito como −(500 + 50)?

Porque o sinal pertence ao número inteiro e não a um algarismo qualquer. Distribuí-lo daria −500 + −50, que tem o mesmo valor mas se lê como dois números negativos sendo somados — confuso numa página cuja saída é uma soma. Escrever o sinal uma vez, fora dos parênteses, diz que um número é negativo e quais são as partes desse número.

A forma expandida diz quantos algarismos significativos um número tem?

Não. Esta página lista os algarismos e os valores de casa deles e para por aí; o zero final de 0,004560 simplesmente não é um termo. Se aquele zero foi medido é uma pergunta separada, e é a pergunta que a página de algarismos significativos responde — lá ele conta, e o número tem quatro algarismos significativos.

• Expanded form — what the form is, how a number is written as the sum of its place values, and the exponential version of the same expansion — SplashLearn (United States)
• Expanded notation — the same expansion written with powers of ten, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)
• Place value — the chart the expansion is read off, with each digit's value determined by its position — SplashLearn (United States)