O que é valor posicional?

A regra de que o valor de um algarismo vem de onde ele está escrito e não de como ele se parece. O algarismo 5 em 5, em 25 e em 205,04 vale 5, 50 e 0,05 respectivamente, porque ele ocupa uma casa diferente em cada caso. Cada casa vale dez vezes a casa à direita dela, e é isso que faz dez algarismos bastarem para escrever um número de qualquer tamanho.

Por que os zeros são mantidos na lista aqui?

Porque um valor posicional pertence a uma posição, e uma posição com um zero dentro continua segurando aquela casa aberta — o zero em 205 é o que faz ele ser 205 e não 25. Esta página lista algarismos e as casas deles, então ela os mantém. A página de forma expandida transforma o mesmo número numa soma e os deixa de fora, já que um termo que vale zero não acrescenta nada; as duas respostas são diferentes e as duas estão certas.

Por que 4,5e4 não lista nenhuma casa abaixo dos milhares?

Porque a notação e carrega o tamanho do número no expoente em vez de carregá-lo em zeros escritos, e esta página lê os algarismos que recebeu. 4,5e4 nomeia dois algarismos, então a lista tem dois termos, 4 × 10.000 e 5 × 1.000, e o menor valor posicional é 1.000. Digite 45000 em vez disso e o mesmo número lista cada casa até as unidades. É a mesma quantidade nos dois casos; só mudou quantos algarismos foram escritos.

O que são as casas dos décimos, dos centésimos e dos milésimos?

As três posições imediatamente à direita da vírgula, que valem 0,1, 0,01 e 0,001. Cada uma é um décimo da casa à esquerda dela, e os nomes delas dizem a mesma coisa que os valores: a casa dos décimos é onde um algarismo vale um décimo, a casa dos centésimos onde ele vale um centésimo. Então 0,04 são quatro centésimos, e não quatro décimos, e o 4 está duas casas à direita das unidades.

Por que a resposta imprime 2 × 100 em vez de 2 centenas?

Porque uma lista de nomes de casa tem que parar em algum lugar. Depois das centenas de milhar e dos milésimos o quadro precisaria de nomes que a maioria dos leitores nunca usou, e um quadro que fica sem palavras na metade do caminho é pior do que um que valora cada posição como potência de dez e nunca fica. O valor é a mesma afirmação dos dois jeitos: 2 × 100 e duas centenas são uma casa só, descrita de duas maneiras.

A página de valor posicional diz a soma dos algarismos?

Não. Ela lista cada algarismo com o valor da casa dele e para; os termos somam a entrada, mas a página nunca faz essa adição. Se o que você quer é o número escrito como a soma dos valores posicionais dele, essa é a calculadora de forma expandida, que usa as mesmas casas como termos e deixa de fora as que valem zero.

Calculadora de valor posicional

Resultado

2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0.1, 4 × 0.01

Valores dos dígitos

Maior valor posicional: 100
Menor valor posicional: 0.01

Valor posicional é a regra de que o significado de um algarismo vem da posição dele, e não do desenho dele. O mesmo 5 significa cinco, cinquenta ou quinhentos dependendo de onde ele está escrito, e em 205,04 cada um dos cinco algarismos tem o seu valor: o 2 vale 200, o 0 da casa das dezenas não vale nada, o 5 vale 5, o 0 da casa dos décimos não vale nada, e o 4 vale 0,04. Esta calculadora lista os cinco, na ordem da esquerda para a direita, como algarismo vezes valor de casa: 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01. As casas de cada lado da vírgula são imagens espelhadas uma da outra. À esquerda os valores vão 1, 10, 100, 1.000, cada um dez vezes o anterior; à direita vão 0,1, 0,01, 0,001, cada um um décimo do anterior. A casa das unidades fica entre as duas e é o eixo: o valor dela é 1, e a forma exponencial de qualquer valor de casa é uma potência de 10 cujo expoente conta a distância até esse eixo, positivo para a esquerda e negativo para a direita. É isso o quadro de valor posicional abaixo, e o quadro é fixo — ele é a régua contra a qual os algarismos são lidos, e não uma descrição de uma entrada qualquer. Os zeros são mantidos. Um valor posicional é uma propriedade de uma posição, e uma posição com um zero dentro continua tendo um valor, que é a única razão de 205 e 25 serem números diferentes: o zero está segurando a casa das dezenas aberta. Tirá-lo da lista, como a página de forma expandida faz quando transforma o mesmo número numa soma, esconderia justamente o algarismo que faz esse trabalho. É também por isso que as duas páginas imprimem linhas diferentes para a mesma entrada sem que nenhuma esteja errada — uma é uma lista de algarismos com os valores deles, a outra é uma soma dos termos que contam. Dois detalhes sobre como a entrada é lida merecem ser ditos, porque os dois são fáceis de confundir com defeito. Os algarismos listados são os algarismos como escritos, então 1.200 mantém os dois zeros finais e 0,004560 mantém os zeros à esquerda; a calculadora não decide que alguns deles não valem a pena mencionar. E em notação e só o coeficiente é lido: 4,5e4 é um jeito de escrever 45.000 que nomeia dois algarismos, então esta página lista 4 × 10.000 e 5 × 1.000, dando o maior valor posicional como 10.000 em vez de 100.000. O valor do número é o mesmo dos dois jeitos; o que muda é quantos algarismos foram escritos, e esta página só consegue relatar os que recebeu. O sinal negativo não faz parte do valor posicional de nenhum algarismo, então ele não aparece na lista. As duas últimas linhas do resultado respondem a uma pergunta que a própria lista torna difícil de responder a olho quando o número é longo: o maior e o menor valor posicional que o número usa, impressos como valores. E o que esta página não faz é dizer como um algarismo se chama. Ela vai dizer que o 2 de 205,04 vale 200, e não que ele está na casa das centenas, porque os nomes acabam — depois dos centésimos de milésimo o quadro precisaria de milionésimos e de nomes cada vez menos usados, e uma lista que para no meio é pior do que uma que nunca começa. Se você quer os termos somados em vez de listados, essa é a página de forma expandida; se você quer o número comprimido num coeficiente e uma potência de dez, essa é a página de forma padrão.

O valor posicional de cada casa, dos milhões aos milésimos

Valor posicional	Número
1 × 10⁶	1000000
1 × 10⁵	100000
1 × 10⁴	10000
1 × 10³	1000
1 × 10²	100
1 × 10¹	10
1 × 10⁰	1
1 × 10⁻¹	0.1
1 × 10⁻²	0.01
1 × 10⁻³	0.001

Dez posições, escritas do jeito como cada uma é nomeada e do jeito como cada uma é valorada: os milhões, as centenas de milhar e os milhares à esquerda, a casa das unidades no meio, e os décimos, os centésimos e os milésimos à direita. Leia como a régua com que a resposta acima é medida — o 2 de 205,04 encosta na linha do 100, e o 4 na linha do 0,01. As duas linhas de cada lado do meio são as que pegam as pessoas: 1 × 10⁰ é 1, a casa das unidades, então os expoentes não começam em 1; e 1 × 10⁻¹ é 0,1, a casa dos décimos, onde o sinal de menos faz o trabalho de levar o algarismo para o outro lado da vírgula. O quadro para nos milésimos à direita e nos milhões à esquerda, o que não é um limite da calculadora — um número mais longo simplesmente ganha uma lista mais longa, com os expoentes continuando nas duas direções. Todo valor daqui é calculado pelo mesmo núcleo que produz a resposta, então uma linha nunca consegue discordar dela. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

205,04 = 2 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 0 × 0,1 + 4 × 0,01; os valores de casa seguem 10ⁿ com n = 2, 1, 0, −1, −2; 4,5e4 lista 4 × 10.000 e 5 × 1.000, maior valor posicional 10.000, menor valor posicional 1.000

205,04: O número que está sendo lido, escrito como decimal comum ou em notação e. Cada algarismo dele é listado na ordem em que está escrito, então a posição de cada termo na resposta acompanha a posição do algarismo na entrada
0 × 10: O termo de um algarismo zero, mantido em vez de descartado. A casa das dezenas de 205,04 tem um zero dentro e é esse zero que faz o número ser 205 e não 25, então o valor posicional dele é listado junto com os outros, mesmo que o algarismo não contribua nada para o total
10ⁿ: O valor posicional de qualquer posição, onde o expoente conta os passos desde a casa das unidades: positivo para as dezenas, as centenas e os milhares, zero na própria casa das unidades, e negativo para os décimos, os centésimos e os milésimos. O expoente é o endereço da casa
× 10: O sinal de multiplicação em cada termo. A linha se lê algarismo vezes valor de casa de ponta a ponta, que é o que deixa claro que o algarismo 5 de 205,04 vale cinco e não quinhentos, mesmo os dois estando escritos um ao lado do outro na resposta
10.000 e 1.000: O maior e o menor valor posicional que o número usa, impressos como os valores deles. Em 4,5e4 eles são 10.000 e 1.000, e não 10.000 e 1, porque a notação e nomeia apenas os algarismos do coeficiente e os zeros finais do número escrito por extenso não estão entre eles
0,1 e 0,01: Dois valores de casa à direita da vírgula, impressos como decimais em vez de na forma exponencial porque é assim que eles são lidos em voz alta. 0,1 é a casa dos décimos e 0,01 a casa dos centésimos, e cada uma vale um décimo da casa à esquerda dela

O valor posicional é a primeira ideia da aritmética e a ideia da qual todo o resto depende. É o que uma criança aprende com pedrinhas sobre um quadro, e é o que continua sendo invocado anos depois em cada linha da adição, da subtração, da multiplicação longa e da divisão longa: esses métodos funcionam só porque algarismos na mesma coluna valem a mesma coisa, e eles falham para quem não acredita nisso. A mesma ideia é a compacidade inteira do sistema decimal — dez algarismos bastam para escrever qualquer número de qualquer tamanho, porque a posição carrega o resto da informação — e é a primeira coisa que precisa ser reaprendida, e não apenas estendida, quando chega uma base diferente: um número binário funciona exatamente do mesmo jeito com valores de casa 1, 2, 4, 8 no lugar de 1, 10, 100, 1.000, e é por isso que as páginas de conversão binária e esta descrevem o mesmo mecanismo. Na medição e no dinheiro o quadro é a ferramenta do dia a dia. As casas dos décimos e dos centésimos são o que significa uma leitura com duas casas depois da vírgula, e saber que os algarismos depois da vírgula valem cada vez menos é a diferença entre ler 0,04 como quatro centésimos e como quatro. As duas linhas abaixo da lista, o maior e o menor valor posicional, são a resposta rápida para o tamanho e para a precisão de um número: uma medição registrada até a casa dos milésimos reivindica uma precisão diferente de uma registrada até a casa das unidades, e essa reivindicação é feita pelo lugar onde o último algarismo dela está. Quando os algarismos precisam ser somados em vez de listados, a página de forma expandida faz isso. Quando precisam ser resumidos como um coeficiente e um expoente, é a página de forma padrão.

Exemplos resolvidos

Um número com um algarismo de cada lado da vírgula: 205,04
1. Leia os algarismos da esquerda para a direita: 2, 0, 5, 0, 4
2. O 2 está três casas à esquerda da casa das unidades: 2 × 100
3. O 0 da casa das dezenas mantém o termo dele: 0 × 10
4. O 5 está na casa das unidades, cujo valor é 1, então o termo dele é 5 × 1
5. O 0 da casa dos décimos mantém o termo dele: 0 × 0,1
6. O 4 está duas casas à direita da casa das unidades, nos centésimos: 4 × 0,01
7. O maior valor posicional usado é 100 e o menor é 0,01, então o número vai das centenas até os centésimos
O padrão, e o caso com um zero de cada lado da vírgula, então as duas direções do espelho ficam visíveis de uma vez. Compare com a mesma entrada na página de forma expandida, que responde 200 + 5 + 0,04: três termos contra cinco. Os dois termos que diferem são exatamente os dois zeros, e a razão é que uma página lista posições enquanto a outra soma quantidades.
Um número inteiro terminado em zeros: 1.200
1. Os algarismos são 1, 2, 0, 0 e as casas vão milhares, centenas, dezenas, unidades
2. O 1 vale 1.000 e o 2 vale 200
3. Os dois zeros são mantidos como termos, porque as posições que eles ocupam continuam existindo: 0 × 10 e 0 × 1
4. O maior valor posicional usado é o dos milhares e o menor é o da casa das unidades, cujo valor é 1
Os zeros são o ponto aqui. Descartá-los daria 1 × 1.000 e 2 × 100, que é o que a página de forma expandida faz e é uma resposta perfeitamente boa lá, já que uma soma não precisa de termos que valem zero. Aqui eles são mantidos porque as casas das dezenas e das unidades são posições reais no número 1.200 e quem confere uma subtração em colunas precisa saber que elas estão ocupadas. Repare também que o menor valor posicional é 1 e não 0,01: o número não tem vírgula, então o último algarismo dele está na casa das unidades, e isso é o mais fino que ele chega.
Um valor escrito em notação e: 4,5e4
1. 4,5e4 é uma forma escrita de 45.000, mas nomeia apenas os algarismos 4 e 5
2. O 4 é o primeiro algarismo do coeficiente, então ele fica na casa das dezenas de milhar: 4 × 10.000
3. O 5 é o segundo algarismo, então ele fica na casa dos milhares: 5 × 1.000
4. Os três zeros que completam 45.000 não estão escritos na entrada, então não são listados
5. O maior valor posicional é 10.000 e o menor é 1.000 — não 1
O caso que parece defeito e não é. Digite 45000 e a lista desce até a casa das unidades; digite 4,5e4 e ela para nos milhares, porque a notação e carrega o tamanho no expoente em vez de carregá-lo em zeros escritos, e esta página lê os algarismos que recebeu. As duas entradas descrevem o mesmo número, e a segunda simplesmente nomeia menos algarismos dele. O expoente de dentro da notação também não é aberto em termos de casa, porque um termo como 0 × 100 seria esta página inventando algarismos para uma entrada que nunca os escreveu.

Limitações

A lista tem o comprimento do número de algarismos escritos, e não o da largura completa do número. 4,5e4 produz dois termos em vez de cinco, e o menor valor posicional dele é 1.000 em vez de 1, porque a entrada nomeia dois algarismos. Escreva o número por extenso como 45000 para ver todas as casas até as unidades. Os nomes das casas não são impressos. A resposta diz que o primeiro algarismo de 205,04 vale 200 e nunca que ele está na casa das centenas, porque uma lista de nomes de casa teria que parar em algum ponto: ela precisaria de décimos de milésimo e de centésimos de milésimo a partir de um certo lugar, e um quadro que fica sem palavras no meio do caminho é pior do que um que usa expoentes e nunca fica. As formas escritas são recusadas, então 2 × 10² não é uma entrada; use 200 ou 2e2. Sobre separadores de milhar há uma armadilha em português que vale a pena ler devagar: a vírgula é recusada, mas o ponto, que é justamente o separador de milhar brasileiro, não é recusado — ele é lido como a marca decimal, então digitar 1.200 entra como um vírgula dois e digitar 45.000 entra como quarenta e cinco. Os números têm que ser digitados sem separador de milhar, na forma 1200. As entradas são limitadas a quinze algarismos significativos e a expoentes entre −99 e 99, e um zero à esquerda de um inteiro escrito não é preservado — 007 é lido como 7, cuja única casa é a das unidades. O sinal negativo não aparece na lista, porque ele é uma propriedade do número e não de um algarismo: −205,04 produz os mesmos cinco termos que 205,04. Nada é somado e nada é arredondado, então a resposta nunca diz quanto os algarismos somam; isso é a página de forma expandida. O painel imprime a lista e os dois valores posicionais como texto puro, sem separador de milhar e com ponto no lugar da vírgula, porque é assim que a página guarda esses resultados por dentro: o que se lê na tela é a mesma linha, escrita na convenção do sistema. E o quadro de valor posicional abaixo é um conjunto fixo de potências de dez, não uma descrição da entrada acima dele.

Perguntas frequentes

O que é valor posicional?: A regra de que o valor de um algarismo vem de onde ele está escrito e não de como ele se parece. O algarismo 5 em 5, em 25 e em 205,04 vale 5, 50 e 0,05 respectivamente, porque ele ocupa uma casa diferente em cada caso. Cada casa vale dez vezes a casa à direita dela, e é isso que faz dez algarismos bastarem para escrever um número de qualquer tamanho.
Por que os zeros são mantidos na lista aqui?: Porque um valor posicional pertence a uma posição, e uma posição com um zero dentro continua segurando aquela casa aberta — o zero em 205 é o que faz ele ser 205 e não 25. Esta página lista algarismos e as casas deles, então ela os mantém. A página de forma expandida transforma o mesmo número numa soma e os deixa de fora, já que um termo que vale zero não acrescenta nada; as duas respostas são diferentes e as duas estão certas.
Por que 4,5e4 não lista nenhuma casa abaixo dos milhares?: Porque a notação e carrega o tamanho do número no expoente em vez de carregá-lo em zeros escritos, e esta página lê os algarismos que recebeu. 4,5e4 nomeia dois algarismos, então a lista tem dois termos, 4 × 10.000 e 5 × 1.000, e o menor valor posicional é 1.000. Digite 45000 em vez disso e o mesmo número lista cada casa até as unidades. É a mesma quantidade nos dois casos; só mudou quantos algarismos foram escritos.
O que são as casas dos décimos, dos centésimos e dos milésimos?: As três posições imediatamente à direita da vírgula, que valem 0,1, 0,01 e 0,001. Cada uma é um décimo da casa à esquerda dela, e os nomes delas dizem a mesma coisa que os valores: a casa dos décimos é onde um algarismo vale um décimo, a casa dos centésimos onde ele vale um centésimo. Então 0,04 são quatro centésimos, e não quatro décimos, e o 4 está duas casas à direita das unidades.
Por que a resposta imprime 2 × 100 em vez de 2 centenas?: Porque uma lista de nomes de casa tem que parar em algum lugar. Depois das centenas de milhar e dos milésimos o quadro precisaria de nomes que a maioria dos leitores nunca usou, e um quadro que fica sem palavras na metade do caminho é pior do que um que valora cada posição como potência de dez e nunca fica. O valor é a mesma afirmação dos dois jeitos: 2 × 100 e duas centenas são uma casa só, descrita de duas maneiras.
A página de valor posicional diz a soma dos algarismos?: Não. Ela lista cada algarismo com o valor da casa dele e para; os termos somam a entrada, mas a página nunca faz essa adição. Se o que você quer é o número escrito como a soma dos valores posicionais dele, essa é a calculadora de forma expandida, que usa as mesmas casas como termos e deixa de fora as que valem zero.

Referências

Place value — how a digit's position determines what it is worth, with the chart on both sides of the decimal point — Math is Fun (United Kingdom)
Place value — the definition of the chart and of the tenths, hundredths and thousandths places to the right of the decimal point — SplashLearn (United States)
Expanded form — the same number written as a sum of its place values, with the zero terms left out — SplashLearn (United States)

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