Calculadora de sequências

aritmética — a(n) = a(1) + (n - 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 geométrica — a(n) = a(1) * r^(n - 1) S(n) = a(1) * (r^n - 1) / (r - 1) exceto em r = 1, onde S(n) = n * a(1)

n

De qual termo você está falando, contado a partir de 1. Ele é também a quantidade de termos da soma, e é por isso que um único campo responde às duas perguntas. O décimo termo se escreve a(10) e a soma dos dez primeiros se escreve S(10).

a(1)

O primeiro termo, o ponto onde a sequência começa. Todo o resto é derivado dele, então um primeiro termo negativo troca o sinal de todos os termos de índice par numa sequência geométrica e simplesmente começa uma aritmética mais abaixo.

d

A diferença constante, usada pelas sequências aritméticas: a quantidade somada a cada passo. Ela pode ser negativa, e aí a sequência cai, ou zero, e aí todo termo é igual ao primeiro — esse último caso é a razão de a fórmula impressa encolher para algo como a(n) = 5.

r

A razão constante, usada pelas sequências geométricas: o número pelo qual cada termo é multiplicado. Uma razão entre 0 e 1 faz os termos encolherem em direção a zero, uma razão negativa faz o sinal alternar, e uma razão exatamente igual a 1 faz todo termo ser igual ao primeiro.

S(n)

A soma dos n primeiros termos — desta sequência e de nenhum outro trecho. Numa sequência aritmética ela é a média do primeiro com o último termo multiplicada por n, que é o truque de pareamento que se conta que Gauss usou em 1 + 2 + … + 100. Ela nunca é uma série infinita: aumente n e o total continua crescendo.

Recorra a esta página sempre que uma quantidade crescer ou encolher por uma regra fixa e você precisar de um valor bem lá adiante na lista — o saldo depois de trinta anos do mesmo depósito anual, a altura depois do vigésimo quique, a distância total percorrida quando cada passo é uma fração fixa do anterior. Os dois campos que decidem tudo são o passo e o sinal dele, então o hábito útil é calcular os três primeiros termos à mão e conferir se eles batem com a tabela de referência abaixo.

1. 3, 7, 11, … — o décimo termo e a soma dos dez primeiros

   1. O passo é 4, então os termos são 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
   2. O décimo termo é 3 + 9 × 4 = 39
   3. Apareie os termos de fora para dentro: 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42, e assim por diante
   4. São cinco pares desses, todos iguais a 42
   5. 5 × 42 = 210

   O pareamento é a fórmula da soma inteira: com n termos, a média do primeiro com o último é (3 + 39) ÷ 2 = 21, e 21 × 10 dá os mesmos 210. A fórmula impressa ao lado da resposta é a regra, e não esta sequência em particular — a(n) = 3 + 4(n - 1) reconstrói qualquer termo só a partir de n, então n = 1 devolve 3 e n = 10 devolve 39 sem precisar listar nada.

2. 8, 4, 2, 1, 0,5 — uma sequência geométrica que encolhe

   1. A razão é 0,5, então cada termo é a metade do anterior: 8, 4, 2, 1, 0,5
   2. O quinto termo é 8 × 0,5⁴ = 8 × 0,0625 = 0,5
   3. Some tudo: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 15,5

   A soma de uma sequência geométrica que encolhe se aproxima de 16 sem nunca passar dela — 8 ÷ (1 − 0,5). Esta página dá o total dos cinco termos que você pediu, 15,5, e não aquele limite, e é essa diferença a razão de a quantidade de termos ser um campo de entrada.

3. 1 + 2 + … + 1.000, em que a fórmula vence a soma à mão

   1. O passo é 1, então o milésimo termo é 1 + 999 = 1.000
   2. Apareie o primeiro com o último: 1 + 1.000 = 1.001
   3. São 500 pares desses, porque 1.000 termos formam 500 pares
   4. 500 × 1.001 = 500.500

   Nada aqui exige escrever os termos, que é o ponto de uma fórmula de soma — os mesmos três campos responderiam a mesma pergunta para um milhão de termos, se n chegasse até lá. É a conta que se conta ter sido dada a Gauss como castigo escolar, e o pareamento acima é o que se conta que ele fez em vez de somar.

Apenas dois tipos de sequência: a aritmética, em que o passo é somado, e a geométrica, em que ele é multiplicado. Qualquer outra coisa — quadrados, cubos, Fibonacci, uma sequência definida pelos dois termos anteriores — não tem regra para digitar aqui e precisa da própria ferramenta. A quantidade de termos precisa ser um número inteiro de 1 a 1.000; uma contagem fracionária ou negativa é recusada em vez de arredondada, porque 2,5 termos não é uma quantidade com resposta. O total é a soma dos n primeiros termos e nunca de uma série infinita, então com uma razão menor que 1 o acumulado fica se aproximando do limite sem alcançá-lo. As respostas são arredondadas para seis casas decimais, e uma sequência geométrica estoura a aritmética de ponto flutuante muito antes de n chegar ao limite: com primeiro termo 1 e passo 10 a página deixa de devolver resultado a partir de n = 304, e com um passo de um milhão isso acontece já em n = 52. Esse caso é relatado como cálculo que não deu certo, e não como infinito, e o aviso mostrado no painel é genérico. A linha Fórmula do enésimo termo é impressa como texto puro e por isso não passa pela localização que o resto da página usa: nela o separador decimal é o ponto e não há separador de milhar, enquanto as duas linhas de números, Enésimo termo e Soma, usam a vírgula e o ponto de milhar. Com primeiro termo 8 e passo 0,5 as duas tipografias aparecem na mesma tela — a Fórmula do enésimo termo diz a(n) = 8 * 0.5^(n - 1) e o Enésimo termo diz 0,500000. A página responde a duas das quatro perguntas que uma sequência levanta: qual é o enésimo termo e quanto somam os n primeiros. Ela não faz o caminho contrário — dados dois termos, recuperar a regra; dada a soma, recuperar n — e não imprime unidade nenhuma, porque uma sequência é uma lista de números.

Qual é a diferença entre o enésimo termo e a soma?

O enésimo termo é um número só — o que está na posição n, que para 3, 7, 11, … em n = 10 é 39. A soma é tudo até ele somado, que para a mesma sequência é 210. As duas aparecem em linhas separadas porque respondem a perguntas diferentes, e porque a soma costuma ser a que as pessoas querem: um saldo, uma distância total, uma contagem acumulada.

De onde vem a fórmula da soma?

Do pareamento dos termos de fora para dentro. Em 3, 7, 11, … o primeiro e o último dos dez primeiros somam 42, e todo par assim também soma 42, então dez termos formam cinco pares de 42 — 210. Escrito em geral, isso é n vezes a média do primeiro com o último termo, n * (a(1) + a(n)) / 2. A soma geométrica tem outra dedução e outra cara, e é por isso que as duas fórmulas são impressas separadamente.

O passo pode ser negativo, zero ou uma fração?

Os três. Uma diferença constante negativa dá uma sequência que cai, como 100, 93, 86, …, e uma razão negativa dá uma que alterna de sinal, como 1, −1, 1, −1. Uma razão de 0,5 dá a sequência que encolhe do segundo exemplo. Os dois casos que merecem uma segunda olhada são a diferença igual a zero e a razão igual a 1, em que todo termo é igual ao primeiro e a fórmula impressa encolhe corretamente para algo como a(n) = 5. Já a razão igual a zero não encolhe: ela imprime a(n) = 5 * 0^(n - 1), porque o primeiro termo continua sendo o primeiro termo mesmo quando todos os seguintes são zero.

A soma é o total da sequência infinita inteira?

Não — é a soma dos n primeiros termos, em que n é a contagem que você digitou. Essa distinção só aparece numa sequência geométrica que encolhe, em que o acumulado se aproxima de um limite (16 para 8, 4, 2, 1, 0,5, …) sem nunca alcançá-lo. De vez em quando alguém quer justamente esse limite, que é a soma de uma série geométrica infinita, uma conta diferente com uma fórmula diferente.

Quantos termos eu posso pedir?

Qualquer número inteiro de 1 a 1.000. O teto não é arbitrário: uma sequência geométrica cresce depressa demais para a aritmética de ponto flutuante, e com primeiro termo 1 e passo 10 a página já não devolve resultado a partir de n = 304 — com um passo de um milhão, a partir de n = 52. Esse caso é relatado como cálculo que não deu certo em vez de como infinito, então você recebe um aviso e não uma resposta silenciosamente errada.

Por que a fórmula impressa diz a(n) em vez de a com um índice embaixo?

Porque a(n) pode ser lido em qualquer língua e em qualquer fonte, e o caractere de índice não — ele aparece como um quadrado vazio em alguns sistemas. O resto da notação é o de sempre: ^ para potência, * para multiplicação e parênteses em volta de uma razão negativa, de modo que a sequência alternante se lê a(n) = (-1)^(n - 1) em vez de algo que pareceria −1 elevado a n − 1 com o sinal fora do expoente.

• Arithmetic progression — the rule, the nth-term formula and the sum used on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric progression — the same three questions when the step is a multiplier rather than an addend — Wolfram MathWorld (United States)
• OEIS A000217, the triangular numbers — 1, 3, 6, 10, … the running totals of 1 + 2 + … + n, which is the third example on this page — OEIS Foundation (United States)