O que é um fatorial?

O produto de todos os números inteiros de 1 até o número que você informa. O fatorial de 5 é 1 × 2 × 3 × 4 × 5, que dá 120. Ele conta o número de maneiras de arranjar um conjunto com essa quantidade de itens distintos, e é por isso que aparece em probabilidade e em problemas de contagem, e não em medição.

Por que o fatorial de 0 é igual a 1?

Porque é um produto vazio — não há nada para multiplicar, e o valor que deixa um produto inalterado é 1. A convenção não é arbitrária: é ela que faz a interpretação de contagem funcionar (existe exatamente uma maneira de arranjar nada) e que mantém verdadeira a recorrência n! = n × (n−1)! quando n é igual a 1.

Por que a calculadora para em 170?

Porque o fatorial de 171 é maior que o maior número que um float de precisão dupla consegue representar, então o cálculo devolve infinito. O limite não é uma escolha de exibição: toda entrada acima de 170 não tem resposta representável. O fatorial de 170 já é cerca de 7,26 × 10³⁰⁶, um número de 307 dígitos.

Como os zeros à direita são contados?

Contando os fatores cinco do fatorial. Um zero no final precisa de um 10, e um 10 precisa de um 2 e de um 5; como os dois sobram, são os cincos que decidem. Cada múltiplo de 5 contribui com um, cada múltiplo de 25 com um segundo, cada múltiplo de 125 com um terceiro, e assim por diante. No fatorial de 100 isso dá 20 + 4 = 24 zeros.

Por que o fatorial é impresso em notação científica?

Porque a partir de 10 o valor já tem mais dígitos do que um painel de resultados consegue mostrar de forma útil — o fatorial de 100 tem 158 deles. A notação científica mantém a ordem de grandeza legível. O inteiro exato continua sendo o que as outras duas leituras descrevem: a contagem de dígitos diz o comprimento, e os zeros à direita dizem como ele termina.

Quantos dígitos têm os fatoriais grandes?

A leitura de dígitos responde isso com exatidão em qualquer entrada que a página aceite, e é a única das três saídas que continua exata nos fatoriais grandes. Ela vem de uma soma de logaritmos, e não da medição de uma string impressa, então não perde precisão quando o valor impresso é uma aproximação. A contagem é sempre pelo menos um a mais que o número de zeros à direita.

Calculadora de fatorial

Resultado

120,000000

Fatorial

Dígitos: 3
Zeros à direita: 1

Uma calculadora de fatorial multiplica todos os números inteiros de 1 até n e informa o produto, junto com duas leituras que dizem o tamanho que ele alcançou: quantos dígitos a resposta tem e em quantos zeros ela termina. O fatorial de 5 é 120 — três dígitos, um zero no final. O resultado sai depressa da faixa legível, e a partir de 10 a leitura principal passa a sair em notação científica: o fatorial de 9 ainda é impresso por extenso, 362.880,000000, enquanto o de 10 já aparece como 3,628800 × 10⁶. A contagem de dígitos e a de zeros à direita continuam exatas, porque as duas vêm de fórmulas em vez de serem contadas nos caracteres de um valor impresso. O fatorial de 0 é 1, o produto vazio, e 170 é a maior entrada aceita aqui: o fatorial de 171 estoura o que um double comporta e é recusado em vez de ser respondido com infinito.

Fatoriais de 0 a 12

n	Fatorial	Dígitos	Zeros à direita
0	1	1	0
1	1	1	0
2	2	1	0
3	6	1	0
4	24	2	0
5	120	3	1
6	720	3	1
7	5040	4	1
8	40320	5	1
9	362880	6	1
10	3628800	7	2
11	39916800	8	2
12	479001600	9	2

Os treze primeiros fatoriais, com as duas leituras ao lado de cada um. As linhas estão aqui para tornar o crescimento visível: o valor passa de mil na sétima linha e de cem milhões na décima segunda, enquanto a contagem de dígitos sobe um de cada vez e os zeros à direita ficam em zero até o número conter um 5. Ler a última coluna de cima para baixo mostra por que 5, 10 e 12 importam e 11 não. Toda célula é um número puro, então as células são idênticas nos dez idiomas que o site atende — só os títulos das colunas e este comentário são traduzidos.

Fórmula

n! = 1 × 2 × … × n dígitos = ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1 zeros à direita = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …

n: O número cujo fatorial se quer: um inteiro de 0 a 170. Ele é também a quantidade de fatores, já que o produto vai de 1 até n. O limite superior não é uma escolha de exibição — o fatorial de 171 passa do maior valor que um double consegue representar, então acima de 170 não há resposta a dar.
n!: O fatorial em si, o produto de todos os inteiros de 1 a n. Ele cresce mais rápido que uma exponencial: o fatorial de 5 é 120, enquanto o de 10 já é 3.628.800. Assim que o valor passa de um milhão, a resposta impressa vira notação científica, o que mantém a ordem de grandeza legível sem imprimir cem dígitos.
dígitos: Quantos dígitos decimais o fatorial tem. É calculado somando logaritmos, e não contando os caracteres de um valor impresso, então continua correto até no topo da faixa, onde o fatorial impresso carrega apenas sete algarismos significativos.
zeros à direita: Quantos zeros ficam no fim do fatorial. Cada zero à direita precisa de um fator 10, que precisa de um 2 e de um 5; como os dois aparecem muito mais vezes que os cincos num fatorial, a contagem é decidida inteiramente pelos cincos — cada múltiplo de 5, de 25, de 125 e assim por diante contribui com um a mais.

Recorra a esta página quando o valor em si for a resposta: o número de maneiras de arranjar um conjunto completo, um termo de uma série, ou o tamanho de um produto. Para escolher r itens entre n, as páginas de combinações e de permutações dividem um fatorial por outro em vez de multiplicar.

Exemplos resolvidos

O fatorial de 5
1. Multiplique de baixo para cima: 1 × 2 = 2
2. 2 × 3 = 6
3. 6 × 4 = 24
4. 24 × 5 = 120
5. 120 tem três caracteres e termina em um zero, então as duas leituras são 3 e 1
O menor caso em que as três leituras podem ser conferidas a olho. O produto é curto o bastante para ser lido por inteiro, e a contagem de dígitos e os zeros à direita estão os dois visíveis nele — que é exatamente o motivo de a página abrir neste valor.
Onde a leitura vira notação científica
1. Multiplique de 1 até 20, o que dá 2.432.902.008.176.640.000 exatamente
2. Isso são dezenove dígitos, então a leitura de dígitos é 19
3. Quatro desses dígitos são zeros no fim, e os cincos em 5, 10, 15 e 20 respondem por eles
4. O painel imprime o produto como 2,432902 × 10¹⁸, e não como o número completo de dezenove dígitos
O ponto em que o valor impresso deixa de ser o valor exato. Os algarismos mostrados são os sete primeiros algarismos significativos do mesmo número que as duas leituras descrevem, então as três saídas concordam mesmo que só uma delas seja curta o bastante para ser impressa. Abaixo de 10 o produto impresso é exato: 9! ainda cabe na faixa legível e sai como 362.880,000000; de 10 em diante a forma é científica e só os sete algarismos significativos aparecem.
Em quantos zeros termina o fatorial de 100
1. Conte os múltiplos de 5 até 100: são 20
2. Some os múltiplos de 25, que carregam um cinco extra: são 4
3. Some os múltiplos de 125 — nenhum, já que 125 passa de 100
4. 20 + 4 = 24 zeros à direita
5. O fatorial em si tem 158 dígitos, e sai impresso como 9,332622 × 10¹⁵⁷
A contagem de zeros é o fato legível aqui, e ela é obtida só a partir dos cincos, e não do número. O fatorial de 100 tem 158 dígitos, então o final dele não poderia ser inspecionado a olho nem se todos estivessem impressos.

Limitações

Só são aceitos números inteiros de 0 a 170. Entradas negativas são recusadas porque o fatorial não está definido nelas — a função gama, que estende o fatorial a outros números, tem um polo em todo inteiro negativo. Frações são recusadas pelo mesmo motivo. Acima de 170 o produto estoura um double e voltaria como infinito, então a entrada é rejeitada pelo nome em vez disso. A partir de 10 o fatorial impresso é uma aproximação em notação científica, com sete algarismos significativos, e não o inteiro exato; a contagem de dígitos e os zeros à direita continuam exatos de qualquer forma, e juntos descrevem o tamanho de um número cujos algarismos não estão todos à vista. Esta página não calcula coeficientes binomiais nem permutações diretamente — ela dá o fatorial a partir do qual aquelas páginas são construídas.

Perguntas frequentes

O que é um fatorial?: O produto de todos os números inteiros de 1 até o número que você informa. O fatorial de 5 é 1 × 2 × 3 × 4 × 5, que dá 120. Ele conta o número de maneiras de arranjar um conjunto com essa quantidade de itens distintos, e é por isso que aparece em probabilidade e em problemas de contagem, e não em medição.
Por que o fatorial de 0 é igual a 1?: Porque é um produto vazio — não há nada para multiplicar, e o valor que deixa um produto inalterado é 1. A convenção não é arbitrária: é ela que faz a interpretação de contagem funcionar (existe exatamente uma maneira de arranjar nada) e que mantém verdadeira a recorrência n! = n × (n−1)! quando n é igual a 1.
Por que a calculadora para em 170?: Porque o fatorial de 171 é maior que o maior número que um float de precisão dupla consegue representar, então o cálculo devolve infinito. O limite não é uma escolha de exibição: toda entrada acima de 170 não tem resposta representável. O fatorial de 170 já é cerca de 7,26 × 10³⁰⁶, um número de 307 dígitos.
Como os zeros à direita são contados?: Contando os fatores cinco do fatorial. Um zero no final precisa de um 10, e um 10 precisa de um 2 e de um 5; como os dois sobram, são os cincos que decidem. Cada múltiplo de 5 contribui com um, cada múltiplo de 25 com um segundo, cada múltiplo de 125 com um terceiro, e assim por diante. No fatorial de 100 isso dá 20 + 4 = 24 zeros.
Por que o fatorial é impresso em notação científica?: Porque a partir de 10 o valor já tem mais dígitos do que um painel de resultados consegue mostrar de forma útil — o fatorial de 100 tem 158 deles. A notação científica mantém a ordem de grandeza legível. O inteiro exato continua sendo o que as outras duas leituras descrevem: a contagem de dígitos diz o comprimento, e os zeros à direita dizem como ele termina.
Quantos dígitos têm os fatoriais grandes?: A leitura de dígitos responde isso com exatidão em qualquer entrada que a página aceite, e é a única das três saídas que continua exata nos fatoriais grandes. Ela vem de uma soma de logaritmos, e não da medição de uma string impressa, então não perde precisão quando o valor impresso é uma aproximação. A contagem é sempre pelo menos um a mais que o número de zeros à direita.

Referências

Factorial — the definition, the empty product convention that makes 0! equal 1, and the rate at which the value grows — Wolfram MathWorld (United States)
A000142 — the factorial numbers 1, 1, 2, 6, 24, 120 … as a catalogued sequence, with exact values far beyond the range a double can hold — OEIS Foundation (United States)
Combination — the binomial coefficient, written as one factorial divided by two others, which is where factorials are most often needed — Wolfram MathWorld (United States)

Calculadoras relacionadas

Calculadora de combinaçõesDe quantas formas escolher r itens entre n, sem ordem.Calculadora de permutaçõesDe quantas formas arranjar r itens entre n, com ordem.Calculadora de potenciaçãoEleve um número a qualquer potência, inclusive negativa.