Calculadora de combinações

combinações C(n, r) = n! / (r!(n − r)!) · permutações P(n, r) = n! / (n − r)! · com repetição: C = (n + r − 1)! / (r!(n − 1)!) e P = nʳ

n

Quantos itens diferentes existem para escolher — o tamanho do conjunto, não quantas escolhas são feitas

r

Quantos itens são escolhidos. Com a repetição desligada, r não pode passar de n; com ela ligada, r pode ser maior que n, porque o mesmo item pode sair duas vezes

repetição

Se o mesmo item pode ser escolhido mais de uma vez. Isso não é preferência de formatação — é o que seleciona uma fórmula diferente, e é a configuração que decide se r maior que n é legal ou impossível

C(n, r)

O número de combinações, lido como nCr: as maneiras de escolher r itens quando a ordem das escolhas é ignorada, de modo que ABC e CBA contam uma vez só

P(n, r)

O número de permutações: as maneiras de escolher e depois ordenar r itens, de modo que ABC e CBA são dois resultados diferentes. É sempre a contagem de combinações multiplicada pelo fatorial de r

Use quando a pergunta for de fato quantas maneiras existem, que é o caminho pelo qual uma probabilidade costuma ser obtida por contagem em vez de por fórmula. Mãos de cartas, sorteios de loteria, escolha de comissões e distribuição de lugares são todos este cálculo, e a única decisão que precisa vir antes de qualquer um deles é se a ordem conta — uma mão de pôquer é uma combinação, e um pódio é uma permutação. O interruptor de repetição importa nos casos em que a mesma escolha pode ser feita duas vezes: pegar três bolas de sorvete num cardápio de sabores, em que a ordem continua não importando mas os sabores podem se repetir, é uma contagem de combinações com repetição e não uma combinação comum. A página calcula contagens, não probabilidades: ela entrega os números a partir dos quais as probabilidades são montadas, e a divisão pelo número total de casos fica com você.

1. Dez itens, escolher três: 120 combinações ou 720 permutações

   1. Com a ordem ignorada, C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120
   2. Com a ordem contada, P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720
   3. As duas contagens diferem por 3! = 6, que é o número de maneiras de ordenar três itens escolhidos
   4. Conferindo: 120 × 6 = 720

   Este é o par para o qual a página existe. Os mesmos três itens têm uma combinação e seis permutações, então uma contagem citada sem dizer de qual das duas leituras se trata pode errar por um fator de seis aqui — e por um fator de 120 em cinco escolhas, que é onde o erro deixa de ser pequeno o bastante para passar despercebido. O último passo é a relação que vale guardar: a contagem de permutações é sempre a contagem de combinações multiplicada pelo fatorial de r, porque toda escolha sem ordem pode ser ordenada de exatamente r! maneiras.

2. Os mesmos dez e três, agora com repetição

   1. Com repetição e a ordem ignorada, C = (10 + 3 − 1)! / (3! × 9!) = C(12,3) = 220
   2. Com repetição e a ordem contada, P = 10³ = 1.000
   3. O conjunto fica efetivamente maior para a contagem de combinações — a fórmula soma r − 1 a n — enquanto a contagem de permutações é simplesmente uma escolha por posição
   4. Conferindo: 220 não é 120, e 1.000 não é 720 — mexer no interruptor moveu as duas linhas

   As duas linhas mudaram, e é isso que o interruptor significa, não um detalhe dele. Uma implementação que ajustasse apenas a contagem de combinações imprimiria 220 e 720 lado a lado, e os dois números pareceriam plausíveis enquanto descrevem regras diferentes. Repare também que a contagem de permutações passa a ser uma potência em vez de um produto decrescente: com repetição existem n escolhas em cada uma das r posições, então a contagem se multiplica até nʳ em vez de encolher de um em um.

3. Uma mão de cinco cartas num baralho de 52

   1. Uma mão não tem ordem, então a contagem é C(52,5) = 52! / (5! × 47!)
   2. Multiplique os cinco termos decrescentes: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200
   3. Divida por 5! = 120: 311.875.200 / 120 = 2.598.960
   4. A segunda linha é o passo intermediário da primeira — é o que significa dizer que uma mão é a distribuição ordenada dividida pelos arranjos

   2.598.960 é o número pelo qual toda probabilidade de pôquer é dividida, e é a célula mais visitada desta página. As duas linhas valem ser lidas juntas aqui porque a linha das permutações é literalmente o numerador antes da divisão por 5!: uma mão de cinco cartas pode ser distribuída de 311.875.200 maneiras ordenadas, e cada mão responde por 120 delas. Ver que a contagem sem ordem é a contagem com ordem dividida pelos arranjos é o caminho mais rápido para parar de confundir as duas.

4. Seis itens, levar os seis: uma combinação, 720 permutações

   1. Existe uma única maneira de levar tudo, então C(6,6) = 1
   2. As permutações são os arranjos dos seis itens: P(6,6) = 6! = 720
   3. O fator entre as linhas é 720 = 6!, que é a regra do r! no ponto em que r = n

   Em r = n as duas linhas ficam o mais distantes que conseguem, e a linha das combinações desaba em 1 — não sobra escolha alguma quando tudo é levado. É um extremo útil de manter ao lado da mão de pôquer: lá a distância era um fator de 120, aqui é um fator de 720, e a única coisa que mudou foi quantos arranjos cada escolha admite. Se a linha das permutações for a que você queria, esta é a forma do engano no seu tamanho máximo.

5. Três sabores, cinco bolas: r maior que n

   1. Cinco bolas a partir de três sabores, com a ordem ignorada e repetição permitida: C = C(3 + 5 − 1, 5) = C(7,5) = 21
   2. Com a ordem contada também, P = 3⁵ = 243
   3. Os dois são legais só porque a repetição está ligada — com ela desligada, escolher cinco entre três é impossível e a página recusa a entrada

   Este é o caso que faz do interruptor um requisito de correção em vez de uma preferência. Escolher cinco coisas de um conjunto de três não dá para fazer sem repetir, então com a repetição desligada a página recusa a entrada, e com ela ligada as mesmas entradas devolvem dois números perfeitamente comuns. A linha das combinações também mostra por que a fórmula soma r − 1 ao conjunto: permitir repetição faz o conjunto se comportar como se fosse maior por um a menos que o número de escolhas, então três sabores tomados cinco vezes contam como sete coisas escolhidas cinco a cinco.

As duas contagens são inteiras exatas até certo ponto, e depois desse ponto a página recusa em vez de arredondar. As contagens crescem depressa — cem itens escolhidos de cinquenta em cinquenta dá trinta dígitos — e os números de ponto flutuante de um computador deixam de representar todo inteiro exatamente por volta do décimo sexto dígito, então uma contagem desse tamanho voltaria com os últimos dígitos errados e com aparência perfeitamente comum. Em vez de imprimir um número errado de um jeito que ninguém pegaria, a página lança um erro para contagens fora do alcance exato; a mesma recusa cobre conjuntos com mais de mil itens e qualquer contagem negativa. Mais dois limites. A página conta e nada mais: ela não lista as combinações, não as enumera e não calcula a probabilidade de sortear uma delas, que é a contagem dividida pelo total. E o interruptor de repetição quer dizer uma coisa só, que o mesmo item pode ser escolhido mais de uma vez; ele não modela sorteio sem reposição contra sorteio com reposição no sentido de um baralho, em que o conjunto encolhe conforme as cartas saem.

Qual é a diferença entre uma combinação e uma permutação?

A combinação ignora a ordem das escolhas e a permutação conta essa ordem. Escolher três pessoas para uma comissão entre dez é uma combinação, porque a comissão ABC é a mesma comissão que CBA; dar a essas três pessoas o primeiro, o segundo e o terceiro prêmio é uma permutação, porque as atribuições são diferentes. As duas contagens nunca ficam próximas: a contagem de permutações é a contagem de combinações multiplicada pelo fatorial de r, o número de maneiras de ordenar os r itens escolhidos. As duas linhas são impressas nesta página para que esse fator nunca seja chutado — em r = 3 ele é 6, e em r = 5 ele é 120.

O que significa o nCr da minha calculadora?

nCr é a função de combinações: n é o tamanho do conjunto e r é quantos itens são escolhidos, e o resultado é o número de maneiras de escolhê-los com a ordem ignorada. É o mesmo número que esta página imprime na linha das combinações. A tecla companheira, nPr, é a contagem de permutações com a ordem contada, e é a linha de baixo. Um jeito rápido de saber qual das duas leituras um problema quer é perguntar se trocar dois dos itens escolhidos de lugar produziria um resultado diferente — se não produziria, a resposta é nCr.

O que muda quando eu permito repetição?

As duas fórmulas mudam, e muda também quais entradas são legais. Com a repetição desligada, a contagem de permutações é um produto decrescente — n × (n − 1) × … — e a contagem de combinações divide esse produto por r!; com a repetição ligada, a contagem de permutações é simplesmente n elevado a r, e a contagem de combinações passa a ser a contagem de multiconjuntos, que para n itens tomados r a r dá C(n + r − 1, r). O ponto da legalidade é o que pega as pessoas: com a repetição desligada, r maior que n não dá para fazer e é recusado, enquanto com ela ligada é um pedido comum, como cinco bolas de sorvete a partir de três sabores.

Por que a página recusa algumas entradas grandes em vez de dar uma resposta?

Porque a resposta estaria errada nos últimos dígitos e não pareceria errada. Essas contagens crescem de forma extrema — cinquenta escolhas entre cem itens chegam a cerca de trinta dígitos — e os números que um computador usa para aritmética deixam de representar todo inteiro exatamente por volta do décimo sexto dígito. Passada essa linha, o resultado é um número próximo, com o começo de aparência correta e o fim errado, o que é pior do que nenhuma resposta se a contagem vai entrar numa probabilidade ou num relatório. Por isso a página lança um erro para contagens que não consegue representar exatamente, do mesmo modo que lança para um conjunto com mais de mil itens ou uma contagem negativa.

O interruptor de repetição quer dizer sorteio com reposição?

Não no sentido que um baralho dá a essa expressão. O interruptor diz apenas que o mesmo item pode ser escolhido mais de uma vez, que é o que um sorteio com reposição oferece num conjunto de escolhas independentes. Num problema de cartas o conjunto também encolhe conforme as cartas saem, e as contagens acima já dão conta disso por meio do produto decrescente das fórmulas sem repetição — uma mão de cinco cartas é C(52,5), e não 52 elevado a cinco. Então o interruptor trata de a repetição ser permitida, e o encolhimento do conjunto é resolvido pela fórmula, não pelo interruptor.

Por que não existe uma tabela de consulta embaixo da calculadora?

Porque uma tabela teria de discordar do painel. A tabela que uma página assim pediria é uma grade com n de um lado e r do outro, mas a resposta no painel é calculada a partir do n e do r que você digitou, então uma grade fixa mostraria números diferentes para as mesmas entradas. As páginas deste site que trazem tabela de referência são aquelas cujas tabelas descrevem um conjunto fixo de valores — um limite de categoria ou uma escala padrão — e não um cálculo feito com as entradas. Aqui as duas linhas do painel são a resposta, e elas se movem a cada tecla digitada.

• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Multichoose — from Wolfram MathWorld (the number of multisets of a given length on a given number of symbols, which is the combinations with repetition count this page switches to) — Wolfram MathWorld