Calculadora do triângulo de Pascal

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k); C(n, 0) = C(n, n) = 1; soma da linha = 2^n

n

O número de linhas a imprimir, contando o 1 solitário do topo como a linha 0. Então n linhas significam as linhas 0 a n − 1, e a última linha impressa tem n entradas. A entrada vai de 1 a 53, e o teto não tem a ver com o tamanho da tela — veja a entrada da soma da linha abaixo, que é a quantidade que acaba o espaço primeiro

k

A posição dentro de uma linha, contada a partir de 0 na borda esquerda. A linha n tem entradas em k = 0 até k = n, o que dá n + 1 números. As duas posições de borda são especiais: C(n, 0) e C(n, n) são ambos 1, e é esse o par de 1s que desce pelas laterais do triângulo. Tudo o que está estritamente entre eles é a soma de duas entradas da linha de cima

C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

A regra que constrói o triângulo inteiro, e a que a página segue. A entrada na posição k da linha n é a soma das duas entradas acima dela — a de cima à esquerda e a de cima à direita, que é a razão de as bordas só verem um número e ficarem em 1. Isso é feito por adição, e não pela fórmula com fatoriais, então todo valor intermediário é exato e o triângulo na tela é literalmente a sequência de adições que a página executou

C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)

A outra face do mesmo número: o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras se escolhem k itens entre n quando a ordem não importa. Ela dá o mesmo valor que a regra de adição e é o que os números da linha significam quando o triângulo é usado para contar, e não para álgebra. A página não calcula com ela, porque aí as duas seriam pedaços separados de aritmética que poderiam divergir

2^n

A soma da linha n, e a razão de a entrada parar onde para. Some uma linha e você sempre obtém uma potência de dois: a linha 0 soma 1, a linha 1 soma 2, a linha 2 soma 4 e a linha 6 soma 64. Dobrar a cada linha é o motivo de a soma sair da faixa representável exatamente antes de qualquer coeficiente individual: a linha 52 soma 4.503.599.627.370.496, e a linha 53 somaria 9.007.199.254.740.992, que é um além do último inteiro que um valor de dupla precisão guarda exatamente

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

A linha 6 impressa, que é a última linha das sete padrão. Leia-a de volta contra a linha de cima e cada entrada é a soma de dois vizinhos: 6 é 1 + 5, 15 é 5 + 10, 20 é 10 + 10, e depois ela espelha. A linha é simétrica em relação ao meio, sempre, porque escolher k itens para ficar e escolher n − k itens para descartar são a mesma escolha contada duas vezes

O triângulo é a maneira mais rápida de desenvolver um binômio à mão. Para multiplicar (x + y) elevado à sexta potência você lê a linha 6 direto da página e escreve 1x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + 1y⁶, sem multiplicar polinômio nenhum. Um coeficiente sozinho é o que você quer quando precisa de um único termo, e a Calculadora de combinações o calcula diretamente a partir de n e k, sem construir as linhas intermediárias. Perguntas de probabilidade com dois resultados usam os mesmos números: a chance de dar exatamente 4 caras em 10 lançamentos é C(10, 4) dividido por 2¹⁰, e aquele 1.024 no denominador é a soma da linha 10. O triângulo também responde a perguntas de contagem que parecem não ter relação — o número de caminhos numa grade de um canto ao canto oposto, o número de maneiras de chegar a uma casa específica quando você só pode andar para a direita e para baixo, e a contagem de subconjuntos de um tamanho dado. Quando a pergunta é o que os números são, e não o que eles significam, esta página os imprime; quando é quantas maneiras algo pode acontecer, a Calculadora de combinações é o caminho mais curto; e quando a pergunta é sobre os números de Fibonacci que se escondem nas diagonais, a Calculadora de Fibonacci cobre essa sequência diretamente.

1. Sete linhas, terminando em 1 6 15 20 15 6 1

   1. A linha 0 é 1, e a linha 1 é 1, 1 — as duas bordas de toda linha são sempre 1
   2. Linha 2: 1 + 1 = 2 no meio, dando 1, 2, 1
   3. Linha 3: 1 + 2 = 3 duas vezes, dando 1, 3, 3, 1; linha 4: 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, dando 1, 4, 6, 4, 1
   4. As linhas 5 e 6 continuam do mesmo jeito, terminando em 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
   5. Some a linha 6: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64, que é 2 elevado à sexta potência

   A entrada padrão. Duas coisas valem ser conferidas contra a tela. Primeiro, cada número é a soma dos dois acima dele: 15 é 5 + 10, 20 é 10 + 10, e a linha é simétrica porque 20 fica no meio de sete entradas e se emparelha dos dois lados. Segundo, a soma da linha dobra a cada linha — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 —, então quem sabe que a linha anterior soma 32 consegue prever esta antes de somá-la. Essa duplicação é o mesmo fato que os dois 1s das bordas: cada linha acima contribui com o seu total inteiro duas vezes, uma para a metade esquerda e uma para a direita.

2. Quatro linhas, o triângulo útil mais curto

   1. A linha 0 é 1; a linha 1 é 1, 1
   2. A linha 2 é 1, 2, 1, com o 2 vindo de 1 + 1
   3. A linha 3 é 1, 3, 3, 1, com cada 3 vindo de 1 + 2
   4. Some a última linha: 1 + 3 + 3 + 1 = 8, que é 2 elevado ao cubo

   A linha 3 é a última aqui, e é onde o triângulo fica interessante: 1, 3, 3, 1 são os coeficientes de (x + y)³, então x³ + 3x²y + 3xy² + y³ pode ser escrito a partir desta linha sem multiplicar nada. É também a última linha pequena o suficiente para ser conferida à mão em poucos segundos, que é a razão de valer a pena olhá-la antes das mais longas. Repare que 4 linhas significam as linhas 0 a 3 — o número que você digita é uma contagem de linhas, não o índice da maior delas.

3. Uma linha, o caso trivial

   1. A linha 0 é um único 1, sem nada acima dela para somar
   2. Foi pedida uma linha e uma linha é impressa
   3. A soma da linha é 1, que é 2 elevado à potência zero

   A menor entrada que a página aceita, e ela é aceita em vez de tratada como vazia. Um triângulo com uma linha não é degenerado — é o caso base a partir do qual toda linha posterior é construída. Lê-lo também confirma a indexação: pedir 1 linha dá a linha 0, e não a linha 1, o que passa a importar assim que você compara o triângulo com um desenvolvimento binomial. A soma ser 1, e não 0, é a mesma afirmação em aritmética que o topo do triângulo ser um único 1.

O número de linhas precisa ser um número inteiro de 1 a 53. O teto existe porque todo número impresso precisa ser um que um computador ainda represente exatamente, e passando desse ponto dois inteiros vizinhos colapsam no mesmo valor — os algarismos impressos continuam com aparência perfeitamente comum, eles só deixam de representar o número que dizem representar. É a soma da linha que acaba primeiro: a linha 52 soma 4.503.599.627.370.496 e a linha 53 somaria 9.007.199.254.740.992, um além do maior inteiro que um valor de dupla precisão guarda exatamente. Vale separar as duas coisas, porque 53 é uma contagem de linhas e não um índice: pedir 53 linhas imprime as linhas 0 a 52, e a soma impressa é 2⁵². A linha de índice 53 nunca chega a ser calculada — para imprimi-la seria preciso pedir 54 linhas, e esse pedido é recusado. Os coeficientes individuais durariam mais: o primeiro a passar da linha é C(57, 25), na linha 57, e todas as linhas até a 56 são inteiramente seguras — mas um triângulo é impresso linha por linha, então é a soma que decide. Zero linha é recusado: um triângulo vazio não imprime nada, então não há resposta a dar. Frações de linha são recusadas em vez de arredondadas, já que não existe duas linhas e meia. As linhas voltam como uma fita corrida de números separados por vírgulas, com as linhas separadas por pontos e vírgulas: o triângulo e a última linha são impressos como texto puro, sem nenhum separador de milhar, então um coeficiente grande sai como 184756, e não como 184.756. A soma da linha, essa sim, é impressa como número e segue a escrita numérica do idioma, de modo que as duas metades do painel usam grafias diferentes — com 53 linhas, a última linha traz os coeficientes colados uns nos outros e a soma aparece embaixo como 4.503.599.627.370.496. Num triângulo largo, isso significa uma linha longa para rolar. A tabela de referência abaixo mostra as sete primeiras linhas em vez de acompanhar a sua entrada, e nenhuma linha é alcançável pedindo por ela diretamente — a página sempre imprime de cima para baixo.

Para que serve o triângulo de Pascal?

Para desenvolver binômios, principalmente. As entradas da linha n são os coeficientes que você obtém ao multiplicar (x + y) elevado à enésima potência, então a linha 6 permite escrever os sete termos de (x + y)⁶ imediatamente, sem multiplicar polinômio nenhum. Os mesmos números contam combinações: C(n, k) é a entrada na posição k da linha n, então eles respondem a perguntas como de quantas maneiras se escolhem 4 pessoas entre 10. Eles também aparecem em probabilidade, onde a chance de dar exatamente 4 caras em 10 lançamentos de moeda é C(10, 4) em 2¹⁰ — e aquele 1.024 é a soma da linha 10. A contagem de caminhos em grade também usa esses números: o número de rotas numa grade de um canto ao canto oposto, andando só para a direita e para baixo, é uma entrada do triângulo.

Por que a entrada para em 53 linhas?

Porque a soma da linha deixa de ser um inteiro que um computador consegue representar exatamente. A linha 52 soma 4.503.599.627.370.496 e a linha 53 somaria 9.007.199.254.740.992, e esse segundo número é um além do maior valor que um número de dupla precisão guarda exatamente. Passando desse ponto, dois inteiros vizinhos viram o mesmo valor, então os algarismos impressos continuam com aparência comum enquanto deixam de representar o número que dizem representar. Vale lembrar que 53 é uma quantidade de linhas e não um índice: pedir 53 linhas imprime as linhas 0 a 52, e a linha de índice 53 nunca é calculada, porque imprimi-la exigiria pedir 54 linhas. Os coeficientes individuais durariam mais — o primeiro a passar da linha é C(57, 25), na linha 57 — mas um triângulo é impresso linha por linha, então é a soma que decide. Imprimir uma linha cujo total está errado e cujas entradas individuais estão certas seria uma coisa confusa de se publicar.

Por que a última linha aparece duas vezes?

Porque num triângulo grande a última linha é a única parte que a maioria dos leitores quer, e encontrá-la dentro de uma linha longa de algarismos dá trabalho. Peça 40 linhas e a saída do triângulo é um paredão de números onde a linha que interessa está bem na ponta direita; a saída da última linha é aquela mesma linha sozinha, num tamanho legível. As duas vêm do mesmo cálculo, então não têm como discordar. A soma da linha é impressa uma terceira vez pela mesma razão — é um número único que responde a uma pergunta que a fileira de algarismos não responde de relance.

As linhas começam em 0 ou em 1?

Em 0, que é a convenção com que os coeficientes costumam ser indexados. C(n, k) significa a entrada na posição k da linha n, então o 1 solitário do topo é a linha 0 e pedir 7 linhas dá as linhas 0 a 6, terminando em 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 — sete números, porque a linha n sempre tem n + 1 entradas. Isso importa quando você compara o triângulo com um desenvolvimento binomial: a linha de coeficientes de (x + y)⁶ é a linha 6, e não a linha 7. O número que você digita é uma quantidade de linhas, não o índice da maior delas.

O que é a soma de uma linha, e por que ela é sempre uma potência de dois?

Some qualquer linha e você obtém 2 elevado ao índice daquela linha: a linha 0 dá 1, a linha 6 dá 64, a linha 10 dá 1.024. A razão é a regra que constrói o triângulo. Cada linha é feita a partir da linha de cima, somada a ela mesma deslocada uma casa, então todo número da linha de cima é contado duas vezes na linha de baixo — uma do lado esquerdo e uma do direito. Dobrar o total a cada linha dá as potências de dois. O mesmo fato lido de outro jeito: a soma da linha n conta todos os subconjuntos de um conjunto de n elementos, e um conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos. É por isso que o 1.024 que fica embaixo de uma probabilidade de dez lançamentos de moeda sai direto da linha 10.

De onde vêm os números de Fibonacci neste triângulo?

Das diagonais rasas. Some os números ao longo de uma linha que sobe para a esquerda — por exemplo 1, depois 4, depois 3 — e os totais correntes dão 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Esses são os números de Fibonacci, em que cada um é a soma dos dois anteriores. A razão é que cada entrada de uma diagonal é construída a partir das duas entradas acima dela, uma das quais está na mesma diagonal e a outra na diagonal seguinte, então as diagonais herdam a recorrência de Fibonacci diretamente. A Calculadora de Fibonacci cobre essa sequência sozinha, se você quiser segui-la adiante.

• Pascal's Triangle — the array of binomial coefficients, its additive rule, and the identities that fall out of it — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Coefficient — what C(n, k) counts, the factorial formula, and why the additive rule gives the same values — Wolfram MathWorld (United States)
• Binomial Theorem — the expansion of (x + y)^n, whose coefficients are the rows of the triangle — Wolfram MathWorld (United States)