Calculadora de valor esperado

E[X] = Σ pᵢ xᵢ Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² σ = √Var(X)

xᵢ

Um resultado — o valor do i-ésimo item da lista. Pode ser negativo e pode ser decimal; a lista é uma série de números separados por ponto e vírgula, vírgula ou espaço, até 200 deles

pᵢ

A probabilidade desse resultado, informada em porcentagem de 0 a 100. As duas listas são lidas lado a lado, então a terceira probabilidade pertence ao terceiro resultado, e as duas precisam ter o mesmo comprimento

E[X]

O valor esperado: cada resultado multiplicado pela própria probabilidade e os produtos somados. É a média ponderada que o painel informa primeiro, e o único número da página em relação ao qual os outros são medidos

Var(X)

A variância: para cada resultado, a distância ao quadrado até o valor esperado, ponderada pela probabilidade daquele resultado. Elevar ao quadrado é o motivo pelo qual um único resultado distante pode dominá-la

σ

O desvio padrão, a raiz quadrada da variância. Ele volta nas mesmas unidades dos resultados, e é isso que faz dele o número a ler quando você quer saber quão larga é a dispersão

Σ

Somar sobre todos os resultados da lista. Nada é ponderado duas vezes e nada fica de fora: as probabilidades somando 100% é o que faz da lista inteira uma descrição completa das possibilidades

Use quando os resultados forem poucos o bastante para listar e cada um tiver uma probabilidade que você consiga nomear: um jogo com tabela de pagamento, uma garantia que custa um valor fixo e paga numa fração conhecida das unidades, uma decisão com três cenários. Recorra à média aritmética quando os números forem observações em vez de possibilidades — uma lista de medições pede uma média amostral, não um valor esperado, e dividir pela contagem supõe que todo valor é igualmente provável; é exatamente essa suposição que esta página substitui por probabilidades explícitas. Recorra a uma distribuição quando os resultados seguirem um padrão que dá para descrever com uma fórmula: uma contagem de sucessos em um número fixo de tentativas tem média própria, e uma contagem de Poisson tem média igual à variância, então não é preciso digitar cada contagem e a probabilidade dela. O longo prazo é o quadro em que todos esses números fazem sentido: um valor esperado é aquilo para que a média converge em muitas repetições, e não uma previsão da próxima.

1. Cinco resultados com chances desiguais

   1. Multiplique cada resultado pela probabilidade em forma de fração: 5 × 0,10 = 0,5, 10 × 0,20 = 2, 20 × 0,30 = 6, 40 × 0,25 = 10, 100 × 0,15 = 15
   2. Some os cinco produtos: 0,5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33,5 — esse é o valor esperado
   3. Para a variância, subtraia 33,5 de cada resultado, eleve ao quadrado e pondere: 0,10 × 812,25 + 0,20 × 552,25 + 0,30 × 182,25 + 0,25 × 42,25 + 0,15 × 4.422,25 = 920,25
   4. A raiz quadrada de 920,25 é 30,3356, o desvio padrão

   As probabilidades são informadas em porcentagem, e essa é a coisa mais fácil de errar aqui: ler o 10 como fração em vez de dez por cento dá 3,35 no lugar de 33,5, e nada no resultado errado parece errado. O espalhamento também merece uma segunda olhada — um desvio padrão de 30,34 contra um valor esperado de 33,5 quer dizer que o resultado de 100, improvável como é com 15%, está fazendo a maior parte do trabalho, e a variância de 920,25 diz a mesma coisa em unidades ao quadrado.

2. Um dado honesto, em que a resposta não pode ser sorteada

   1. Seis resultados, cada um com probabilidade 16,67% — o último carrega 16,65% para que os seis somem exatamente 100
   2. Cada produto vai de 1 × 0,1667 a 6 × 0,1667, e a soma deles dá 3,4995
   3. A variância é a média das distâncias ao quadrado até 3,4995, que dá 2,916
   4. A raiz quadrada de 2,916 é 1,7076

   Este é o exemplo a ter em mente quando um valor esperado parecer impossível: 3,5 é a resposta correta para um dado de seis faces e nenhuma face mostra isso. Um valor esperado é propriedade da distribuição inteira, não previsão de um único lançamento. É também o caso mais limpo em que o desvio padrão se justifica — 1,7076 é medido nas mesmas unidades dos resultados, então a frase de que o lançamento cai a cerca de 1,7 de distância de 3,5 em média é uma frase com a qual dá para trabalhar, enquanto a variância de 2,916 está em unidades ao quadrado.

3. O pagamento de um seguro, e um valor esperado negativo

   1. Dois resultados: nada acontece, ou acontece e custa 5.000 — o prejuízo entra na lista como um número negativo
   2. Pondere os dois: 0 × 0,97 + (−5.000) × 0,03 = −150
   3. A variância é 0,97 × (0 + 150)² + 0,03 × (−5.000 + 150)² = 727.500
   4. A raiz quadrada disso é 852,9361

   Um valor esperado negativo não é erro e não é motivo para evitar a conta — é a resposta a uma pergunta real, e a mais comum que as pessoas trazem aqui: se este evento tem 3% de chance de custar 5.000, então em média cada período custa 150, e um prêmio acima de 150 é o preço de não carregar o risco sozinho. Repare em como o desvio padrão de 852,94 diz pouco por conta própria: ele é dominado pelo mesmo ramo raro de 3%, então em boa parte ele repete que o prejuízo é grande e incomum, e não que os resultados estão espalhados de um jeito interessante.

4. Por que a média ponderada não é a média simples

   1. Os quatro resultados somam 160, então a média simples deles é 40
   2. Ponderando: 10 × 0,40 + 20 × 0,30 + 30 × 0,20 + 100 × 0,10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. A variância é 0,40 × 256 + 0,30 × 36 + 0,20 × 16 + 0,10 × 5.476 = 664
   4. A raiz quadrada disso é 25,7682

   Os dois números diferem por mais de um terço, e a razão está inteiramente nas probabilidades: o resultado grande de 100 carrega apenas 10% do peso, enquanto os resultados pequenos de 10 e 20 carregam 70% entre eles. Sempre que alguém cita uma média sem dizer se é ponderada, é essa diferença que se esconde atrás da palavra. É também o motivo pelo qual uma probabilidade de 0 é um valor significativo em vez de um campo vazio: aquele resultado continua ocupando o lugar dele na lista e não contribui com nada, que é a diferença entre impossível e não perguntado.

Três coisas nesta página são fáceis de ler errado, e todas as três são sobre as entradas, não sobre a aritmética. As probabilidades precisam somar 100%, e a página se recusa a corrigir isso por você: reescalar em silêncio uma divisão 40/50 para 44,4/55,6 produziria um número de aparência perfeitamente comum que responde a uma pergunta que você não fez. A tolerância é meia casa decimal por item, e é por isso que três partes iguais escritas como 33,33 cada uma são aceitas somando 99,99, enquanto um par 40/50 não é. As duas listas precisam ter o mesmo comprimento, porque os itens são lidos lado a lado — uma probabilidade que falta não é um zero, é um desalinhamento, e a página diz isso em vez de parear os números errados em silêncio. Fora das entradas, a interpretação tem limites. Um valor esperado descreve um longo prazo de repetições, então não diz nada de útil sobre uma única ocorrência, e pode ser dominado por um resultado extremo e raro de um jeito que o número único não revela — leia o desvio padrão ou a variância ao lado dele para isso. Ele também supõe que as probabilidades informadas são as verdadeiras: tudo aqui é aritmética sobre os números que você fornece, e um valor esperado preciso construído sobre uma probabilidade chutada é uma resposta precisa a uma outra pergunta. Por fim, não existe tabela de valores esperados comuns nesta página, porque uma tabela assim não vê os resultados e as probabilidades que você informou, e uma tabela que discordasse do painel acima dela seria pior do que nenhuma tabela.

O que um valor esperado me diz de fato?

Ele diz o resultado médio que você veria se repetisse a mesma situação muitas vezes e tirasse a média dos resultados, ponderando cada um pela frequência com que aparece. Para um jogo com tabela de pagamento ele é o preço de equilíbrio: um valor esperado de −150 por rodada significa que um preço justo para jogar é 150, e que um preço abaixo disso é a seu favor. O que ele não diz é o que acontece na próxima vez. Uma rodada produz um resultado da lista, nunca a média em si, então um valor esperado positivo é perfeitamente compatível com perder todas as vezes que você jogar algumas rodadas.

O valor esperado pode ser um número que nunca pode sair?

Pode, e normalmente é. Cada uma das seis faces de um dado honesto tem probabilidade 16,67% e o valor esperado é 3,5, uma face que o dado não tem. A razão é que o valor esperado é uma média ponderada da lista inteira, e não um membro dela: ele é o ponto de equilíbrio da distribuição, e um ponto de equilíbrio pode ficar no espaço vazio entre os pesos. O mesmo acontece numa loteria, em que o valor esperado é um número negativo pequeno que nenhum bilhete consegue produzir.

Por que as probabilidades precisam somar 100%?

Porque duas listas que descrevem o mesmo conjunto de possibilidades precisam dar conta de todas elas. Se as suas probabilidades somam 90%, ou falta um resultado na lista ou uma das probabilidades está errada, e a página não tem como saber qual dos dois — então ela informa a soma em vez de adivinhar. Ela deliberadamente não reescala os seus números para 100%: dividir 40 e 50 pela soma deles os transformaria em 44,4 e 55,6 e produziria uma resposta para uma pergunta que você não fez, sem nada no painel mostrando que isso aconteceu. A tolerância é meia casa decimal por item, então três partes iguais digitadas como 33,33 somam 99,99 e são aceitas.

Qual é a diferença em relação à média aritmética?

A média aritmética divide pelo número de valores, o que é o mesmo que supor que todo valor é igualmente provável. O valor esperado substitui essa suposição por probabilidades que você escolhe, então um valor com 10% de chance puxa o resultado dez vezes menos que um valor com 100% de chance. As duas coincidem apenas quando as probabilidades são todas iguais — quatro resultados a 25% cada um dão o mesmo número dos dois jeitos. Quando elas discordam, a diferença está inteiramente nos pesos, e é por isso que uma média citada sem dizer se é ponderada merece uma pergunta.

O que significa um valor esperado negativo?

Significa que os resultados do lado perdedor são grandes o bastante, ou prováveis o bastante, para superar o resto, então repetir a decisão dá prejuízo em média. Não é o mesmo que dizer que você vai perder: uma chance de 3% de um prejuízo de 5.000 contra 97% de chance de nada tem valor esperado de −150, e na maioria dos períodos não custa nada. O que o número negativo diz é quanto o risco custa em média, que é o número a comparar com um prêmio, um preço ou uma cotação de seguro. É o campo em que este cálculo costuma ser mais útil, e uma resposta negativa aqui é um resultado, não uma falha.

Por que não existe uma tabela de valores esperados nesta página?

Porque a resposta depende inteiramente das duas listas que você digita, e uma tabela de referência não consegue vê-las. A tabela que as pessoas querem é uma lista curta de casos familiares — um dado, um bilhete de loteria, uma aposta de roleta — mas cada um deles tem os próprios resultados e as próprias probabilidades, então uma linha impressa estaria respondendo a uma pergunta diferente da do painel, e as duas às vezes discordariam em público. O painel é a tabela: mude os resultados e as probabilidades e as mesmas três linhas se recalculam. As páginas que realmente se beneficiam de uma tabela fixa são aquelas cuja tabela não depende das entradas, como uma escala de conceitos ou um conjunto de faixas de corte.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 (the mean as the balance point of a list of values, and how a single extreme value moves it — the reason an expected value can sit far from every outcome on the list) — OpenStax, Rice University
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, which is the quantity this page weights by the probabilities instead of counting equally) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for an outcome to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)