Calculadora de permutações

P(n, r) = n! / (n − r)! = nPr C(n, r) = n! / (r! (n − r)!) P(n, r) = C(n, r) · r!

n

O tamanho do conjunto de onde você sorteia — quantos itens distintos estão disponíveis, até 1.000. O teto é um limite da aritmética, e não da ideia: as contagens crescem com n e, passado certo ponto, o valor exato deixa de caber na faixa de inteiros que esta página representa sem erro

r

Quantos itens você retira. Ele não pode passar de n enquanto as repetições estiverem proibidas, já que não dá para retirar mais itens distintos do que existem; quando as repetições são permitidas, r pode ser maior e fica limitado só pelo tamanho da potência que a página ainda consegue calcular com exatidão

n!

O fatorial de n: n multiplicado por todos os inteiros abaixo dele até 1. É a contagem de pegar tudo em ordem, e é o termo que a divisão por (n − r)! remove

P(n, r)

O número de arranjos: n escolhas para a primeira posição, n − 1 para a segunda, e assim por diante por r posições. O produto n × (n − 1) × … × (n − r + 1) é o que a fórmula escreve como n! / (n − r)!

C(n, r)

A contagem com a ordem ignorada, impressa na segunda linha. Ela divide o número de arranjos por r!, o número de maneiras de ordenar um mesmo conjunto escolhido — que é toda a diferença entre as duas linhas

allowRepetition

Em qual dos dois ajustes a página está. Quando as repetições são permitidas a contagem vira n elevado a r, porque cada uma das r escolhas tem o conjunto inteiro para escolher de novo; a linha sem ordem passa a usar a contagem de multiconjuntos

Use quando as posições forem distinguíveis: lugares no pódio de uma corrida, a ordem das três primeiras cartas distribuídas, uma senha, uma placa de carro ou um mapa de lugares, qualquer lista em que trocar duas entradas produza um resultado diferente. Use a linha sem ordem — ou a outra página desta dupla — quando o resultado for um conjunto, porque aí dois arranjos dos mesmos r itens são a mesma resposta, e dividir por r! é exatamente a correção. Ligue a repetição quando um item puder ser escolhido de novo depois de escolhido: um PIN de quatro dígitos tem 10⁴ possibilidades porque cada dígito é sorteado do conjunto completo de dez, enquanto um sorteio de loteria com bolas distintas não. E leia a segunda linha mesmo quando você veio pela primeira: as duas contagens juntas são a declaração mais clara de por que a ordem importa, já que diferem por um único fator.

1. Dez itens, três vagas, com a ordem contada

   1. Dez escolhas para o primeiro lugar, nove restantes para o segundo, oito para o terceiro
   2. Multiplique: 10 × 9 × 8 = 720 arranjos
   3. Ignorar a ordem divide por 3! = 6, o que dá 120 conjuntos
   4. 720 / 120 = 6, que é exatamente 3!

   As duas linhas são o sentido desta página em uma frase: os mesmos dez itens e as mesmas três vagas dão 720 se a ordem conta e 120 se não conta, e a razão entre elas é 3! — o número de maneiras de reordenar três itens escolhidos. Sempre que uma permutação e uma combinação parecerem inconsistentes, dividir uma pela outra é a conferência: se a razão não for um fatorial, o problema está na montagem da conta, e não na aritmética.

2. Um pódio entre oito corredores

   1. Oito possíveis vencedores, sete possíveis segundos lugares, seis possíveis terceiros lugares
   2. 8 × 7 × 6 = 336 maneiras de preencher o pódio
   3. Ignorando a ordem, as mesmas três pessoas formam um conjunto de qualquer jeito: 336 / 6 = 56
   4. Fazendo a multiplicação ao contrário — 8! / (8 − 3)! = 40.320 / 120 — dá os mesmos 336

   Esta é a forma cotidiana da distinção: um resultado de corrida é uma permutação porque a medalha de prata não é a de ouro, enquanto um grupo de classificados é uma combinação porque as três pessoas que avançam são as mesmas três, não importa quem correu mais rápido. Repare que o mesmo par de números apareceria na página de combinações com as duas linhas trocadas de lugar — isso é a dupla funcionando como deve, e não uma duplicação.

3. Distribuir cinco cartas em ordem

   1. Cinquenta e duas escolhas para a primeira carta, cinquenta e uma para a segunda, e assim por diante até quarenta e oito para a quinta
   2. 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200 distribuições ordenadas
   3. Uma mão de cinco cartas ignora a ordem, então divida por 5! = 120
   4. 311.875.200 / 120 = 2.598.960 — o número familiar de mãos de cinco cartas no pôquer

   2.598.960 é o número citado em toda probabilidade de pôquer, o que faz deste o exemplo em que o leitor consegue conferir a página contra algo que já viu em outro lugar. É também o caso mais claro de um fator de ordenação enorme: distribuir as mesmas cinco cartas em outra sequência é uma distribuição ordenada diferente, mas a mesma mão, e o fator entre as duas contagens é 120, e não 6. As duas contagens são exatas aqui, sem arredondamento nenhum.

4. Códigos de três dígitos em que os dígitos podem se repetir

   1. Com repetições permitidas, cada uma das três posições é escolhida entre os dez dígitos de forma independente
   2. 10 × 10 × 10 = 1.000 códigos
   3. A linha sem ordem deixa de ser 1.000 / 6, porque os arranjos de um código como 777 não são todos distintos
   4. Ela passa a ser a contagem de multiconjuntos: C(10 + 3 − 1, 3) = C(12, 3) = 220

   O número interessante aqui é a segunda linha. Com itens distintos, a contagem sem ordem é apenas a contagem de arranjos dividida por r!, mas quando as repetições são permitidas essa divisão corrige demais — 777 tem um único arranjo distinto, e não seis —, então a página troca de fórmula em vez de dividir. 220 é a contagem de multiconjuntos de três dígitos entre dez, e é o motivo pelo qual o ajuste de repetição muda as duas linhas, e não só a primeira.

Duas fronteiras são impostas em vez de explicadas, e vale conhecer as duas antes que os números surpreendam você. Enquanto as repetições estão proibidas, r não pode passar de n: pegar quatro itens de um conjunto de três distintos não é um resultado improvável, mas um pedido impossível, e a página diz isso em vez de devolver zero. O tamanho do conjunto é limitado a 1.000. O segundo limite é o que realmente aparece na prática: a contagem de arranjos é um produto que cresce extremamente rápido, e esta página informa números inteiros exatos em vez de uma aproximação em notação científica. Passado o ponto em que o valor verdadeiro deixa de ser representável com exatidão, ela se recusa a responder em vez de imprimir um inteiro com os últimos dígitos errados — um número errado que parece plausível é muito pior aqui do que uma recusa clara, porque o número errado seria copiado para dentro do que depende dele. Há também um limite aritmético menor no ramo da repetição, onde a contagem é uma potência e expoentes muito grandes estouram do mesmo jeito. Mais dois pontos sobre o significado. Nenhuma das duas linhas é uma probabilidade — as duas são contagens de arranjos igualmente prováveis, e transformar uma contagem numa chance significa dividir pelo número total de possibilidades, que depende do processo e não do par de números desta página. E não há aqui nenhuma tabela de fatoriais, de coeficientes binomiais ou do triângulo de Pascal, pelo motivo que a quinta pergunta abaixo dá.

Qual é a diferença entre permutação e combinação?

A permutação conta arranjos e a combinação conta conjuntos: troque dois dos itens escolhidos de lugar e a permutação terá produzido um resultado diferente, enquanto a combinação não. A página imprime as duas contagens para que a relação fique visível em vez de apenas afirmada — a contagem de arranjos é sempre a maior das duas, e dividi-la pelo fatorial de r dá a outra linha. Na prática, a pergunta a fazer é se as posições carregam significado. Se a terceira vaga é diferente da segunda, como num resultado de corrida ou numa carta distribuída em sequência, você quer a contagem de arranjos; se os três itens escolhidos são intercambiáveis, você quer a contagem de conjuntos.

Por que as duas linhas diferem exatamente por r fatorial?

Porque todo conjunto de r itens escolhidos pode ser alinhado em r! sequências diferentes, e a contagem de arranjos trata cada uma dessas sequências como um resultado separado. Com r igual a 3, quaisquer três itens podem ser ordenados de seis maneiras, então um conjunto corresponde a seis arranjos e a contagem de arranjos é seis vezes a de conjuntos. Esse também é o jeito mais rápido de conferir uma conta: divida as duas linhas e a resposta deve ser um fatorial. Se não for, a inconsistência está na montagem do problema, e não na aritmética — quase sempre um tamanho de conjunto ou um ajuste de repetição que não corresponde à situação descrita.

Quando escolher o mesmo item duas vezes conta como resultado diferente?

Exatamente quando a situação permite escolhê-lo duas vezes — é isso que o ajuste de repetição controla, e ele muda as duas linhas, não só a primeira. Um PIN de quatro dígitos sorteia cada dígito de novo entre os dez, então 0000 e qualquer outra repetição são resultados comuns e a contagem é 10⁴; um sorteio de loteria tira as bolas do globo, então nenhum número pode aparecer duas vezes e a contagem é um produto decrescente. Com repetições permitidas, a contagem de conjuntos deixa de ser a de arranjos dividida por r!, porque uma escolha como 777 tem um arranjo distinto e não seis, e a página usa a contagem de multiconjuntos nessa linha.

Por que a página se recusa a pegar mais itens do que o conjunto tem?

Enquanto as repetições estão proibidas, um r maior que n descreve um procedimento que não pode ser executado: o quarto item distinto não existe quando só há três disponíveis. A página reporta o problema em vez de devolver zero, porque zero é uma contagem legítima em outras situações e seria lido como resposta. Ligue a repetição e o mesmo pedido fica perfeitamente comum — três itens tomados cinco a cinco com repetição permitida são 3⁵ = 243 arranjos —, e é por isso que o limite está na combinação dos dois ajustes, e não em r sozinho.

Por que não há triângulo de Pascal nem tabela de fatoriais nesta dupla de páginas?

Porque uma tabela aqui não conseguiria ver os dois números que você digitou, e a tabela que as pessoas querem — fatoriais, coeficientes binomiais, as linhas do triângulo de Pascal — é uma lista de valores pequenos fixos. Coloque uma na página e ela responderia a uma pergunta diferente da do painel acima, às vezes discordando visivelmente da linha que você está olhando, o que é pior do que não ter tabela nenhuma. O painel é a tabela: mude n, r ou o ajuste de repetição e as duas linhas se recalculam. Esta dupla de páginas chega à mesma conclusão que as outras ferramentas de contagem, em vez de uma página oferecer uma tabela e a outra não, já que as duas são duas direções da mesma pergunta.

Por que a resposta para de funcionar em conjuntos grandes?

Porque a contagem de arranjos é um produto de sequências longas de inteiros, e ela ultrapassa o maior inteiro que esta página representa com exatidão muito antes do que a maioria das pessoas espera — o fatorial de 19 já está além disso, embora seus 18 dígitos não pareçam alarmantes. Passado esse ponto a página se recusa a responder em vez de imprimir um número com os últimos dígitos errados, e os dígitos são todo o valor de uma contagem exata: um inteiro errado parece completamente comum e seria copiado para dentro de qualquer cálculo que dependa dele. O teto de 1.000 no tamanho do conjunto é uma proteção separada e mais frouxa sobre a mesma preocupação — ela para a entrada num tamanho em que a aritmética ainda vale a pena ser tentada.

• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency reading of probability, which is how a count of equally likely arrangements becomes a chance) — National Institute of Standards and Technology (NIST)