Calculadora de distribuição de Poisson

P(X = k) = e^(−λ) · λ^k / k! com λ = eventRate × intervalLength, e média = variância = λ

λ

O número esperado de eventos no intervalo — a taxa multiplicada pela duração da janela, e o único parâmetro da distribuição. Tudo nesta página é função dele, e é por isso que a taxa e o intervalo são pedidos separadamente, em vez de um número só

k

O número de eventos sobre o qual você está perguntando. É uma contagem inteira a partir de 0, e o 0 é uma resposta de verdade, não uma resposta vazia: não aconteceu nada é o resultado mais provável sempre que lambda fica abaixo de mais ou menos 0,7

e^(−λ)

O peso de nada acontecer, antes de a contagem entrar na conta. É a razão pela qual a distribuição inteira encolhe conforme lambda cresce: quanto maior o número esperado de eventos, menor a chance de não ver nenhum

λ^k / k!

A parte que cresce com k e depois cai: a k-ésima potência da média dividida pelo fatorial da contagem. O pico dela fica em k = λ, e é nesse pico que a distribuição concentra a maior parte da sua massa

média = variância = λ

A propriedade que torna esta distribuição reconhecível. O número médio de eventos e a variância dele são o mesmo número, então o desvio padrão é a raiz quadrada da média — √4 = 2 para uma média de quatro eventos, √1.000 ≈ 31,6 para uma média de mil

Use quando você estiver contando quantos eventos chegam por intervalo e as chegadas forem independentes umas das outras: quantas chamadas numa hora, quantos defeitos por metro quadrado de tecido, quantas partículas numa janela de contagem fixa. Duas condições carregam quase todo o peso. Os eventos precisam ser raros em relação à oportunidade de eles acontecerem — uma taxa tão alta que a contagem fica essencialmente limitada por outra coisa deixa de ser Poisson — e eles não podem se agrupar, porque uma rajada de chegadas com uma causa só quebra a independência que dá forma à distribuição. Prefira a binomial quando o número de oportunidades for fixo e contável, já que uma contagem de Poisson não tem teto enquanto uma contagem binomial não passa do número de tentativas; e prefira a aproximação normal quando lambda for grande, faixa em que as duas concordam de perto e as faixas familiares de desvio padrão ficam legíveis. A média igual à variância é também o diagnóstico mais rápido que existe: divida a variância pela média de um conjunto de contagens e, se a razão ficar longe de um, o processo está sobre ou subdisperso e este modelo é a forma errada para ele.

1. Quatro eventos por hora, perguntando sobre três

   1. A taxa é 4 por hora num intervalo de 1 hora, então lambda é 4
   2. P(X = 3) = e⁻⁴ × 4³ / 3! = 0,018316 × 64 / 6 = 0,1954, ou seja, 19,54%
   3. Somando as contagens de 0 a 3 chega-se a 43,35% no máximo; o resto da massa acima de 3 dá 76,19% no mínimo
   4. A média é lambda = 4 e a variância também, o que faz o desvio padrão ser √4 = 2

   As duas linhas acumuladas se sobrepõem aqui, e isso não é erro: 43,35% mais 76,19% dá 119,54%, e o excesso sobre 100% é exatamente os 19,54% de três eventos, que estão nas duas linhas. É o mesmo cuidado que se tem com uma contagem binomial, e ele pega o erro comum de calcular o no mínimo como um menos o no máximo, o que diria 56,65% aqui. Repare também que três eventos não têm nada de extraordinário quando a média é quatro: fica meio desvio padrão abaixo da média.

2. O centro da distribuição

   1. Perguntando sobre quatro eventos em vez de três: P(X = 4) = e⁻⁴ × 4⁴ / 4! = 0,018316 × 256 / 24 = 0,1954
   2. A chance exata é os mesmos 19,54% de três eventos, porque o pico da distribuição fica em k = 4 = lambda e as duas contagens de cada lado dele são igualmente prováveis
   3. No máximo quatro é 62,88% e no mínimo quatro é 56,65%
   4. A média, a variância e o desvio padrão não mudam, já que dependem só de lambda

   Duas contagens com a mesma probabilidade são o sinal visível mais claro de que a distribuição está centrada em lambda: com uma média de quatro eventos, ver três e ver quatro são igualmente prováveis, e qualquer outra contagem é menos provável que as duas. As linhas acumuladas não são simétricas nem aqui — 62,88% contra 56,65% — porque a linha do no máximo inclui os 4 inteiros e a do no mínimo também, e abaixo do pico a distribuição é mais fina do que acima dele.

3. A mesma taxa ao longo de três horas

   1. A taxa continua 4 por hora, mas o intervalo agora é de 3 horas, então lambda = 4 × 3 = 12
   2. P(X = 3) = e⁻¹² × 12³ / 3! = 0,0000061 × 1.728 / 6 = 0,0018, ou seja, 0,18%
   3. No máximo três é 0,23% e no mínimo três é 99,95%
   4. A média é 12 e a variância também, o que faz o desvio padrão ser √12 = 3,46

   Este é o exemplo que separa os dois campos de entrada: nada mudou além da duração da janela, e a resposta saiu de 19,54% para 0,18%. Os dois campos são necessários porque o parâmetro é o produto deles, e uma página que aceitasse só a taxa daria a mesma resposta para uma hora e para um dia. As linhas de resumo acompanham: com doze eventos esperados, três está mais de dois desvios padrão abaixo da média, e é por isso que a linha do no mínimo agora é quase certa.

4. Um evento por hora, e nada acontece

   1. Com lambda = 1, a chance de exatamente zero eventos é e⁻¹ = 0,3679, ou seja, 36,79%
   2. Perguntar pelo no máximo zero é a mesma pergunta, então essa linha repete o mesmo número
   3. No mínimo zero cobre todas as contagens possíveis, então é exatamente 100% — e não 99,99%
   4. A média e a variância são ambas 1, e o desvio padrão é 1

   Lambda igual a um é o ponto de partida dos livros e produz o número mais contraintuitivo da página: em mais de um terço das vezes, um processo que faz um evento por hora em média não faz evento nenhum. Vale ler a linha do no mínimo também — ela é 100% exatamente, porque zero ou mais é a distribuição inteira, e uma página que a calculasse subtraindo de uma soma acumulada poderia facilmente devolver 99,99%. Zero eventos também é uma resposta legítima de se pedir, e é por isso que o campo de contagem começa em zero, e não em um.

O modelo de Poisson se apoia em duas suposições que falham em silêncio, e vale conferir as duas antes de confiar nos números. Os eventos precisam ser independentes uns dos outros e precisam chegar a uma taxa que não se desloque dentro do intervalo informado. A independência quebra sempre que as chegadas compartilham uma causa — chamadas disparam durante uma queda do sistema, defeitos se agrupam num rolo de tecido, acidentes se agrupam em tempo ruim — e o sintoma é que as contagens reais ficam mais espalhadas do que a página prevê, com mais intervalos vazios e mais intervalos muito cheios do que o modelo permite. Uma taxa que se desloca falha para o outro lado: uma central com uma noite calma e uma manhã cheia não tem uma taxa horária só, e tirar a média das duas produz um número que não descreve nenhuma delas. Além das suposições, dois limites são impostos em vez de explicados. A duração do intervalo e a taxa podem ser informadas até limites razoáveis, mas o produto das duas é limitado, porque uma contagem média na casa dos milhões faz toda probabilidade do painel arredondar para zero e a página prefere recusar a imprimir uma tabela de zeros. A contagem em si precisa ser um número inteiro. E não há aqui nenhuma tabela de referência de probabilidades de Poisson: a tabela que as pessoas querem tem uma linha por valor da média, e a média depende da taxa e do intervalo que você informou, então uma tabela impressa responderia a uma pergunta diferente da do painel acima.

Qual é a diferença entre a distribuição de Poisson e a binomial?

A binomial conta quantas tentativas deram certo num número fixo de tentativas, então a contagem dela não passa desse número; a de Poisson conta eventos que chegam por conta própria, então não há teto nem número de tentativas a informar. A binomial precisa de duas entradas — quantas tentativas e a chance de cada uma — enquanto esta página precisa de uma taxa e de um intervalo, que se combinam no único número esperado de eventos. As duas concordam no caso estreito em que o número de tentativas é grande e a chance de cada uma é pequena, e é por isso que eventos raros são descritos das duas formas na prática. Use a binomial quando você conseguir nomear as oportunidades, e a de Poisson quando os eventos simplesmente chegam.

Por que aqui a média é igual à variância?

Porque essa identidade é aquilo sobre o que o modelo é construído, e não uma coincidência dos exemplos: numa contagem de Poisson a média e a variância são o mesmo número, lambda, então o desvio padrão é sempre a raiz quadrada da média. Isso dá um jeito rápido de testar se o modelo serve: pegue um conjunto de contagens observadas, divida a variância delas pela média e, se a razão ficar bem acima de um, as contagens estão agrupadas em vez de independentes, enquanto uma razão bem abaixo de um significa que elas são mais uniformes do que o acaso faria. Nenhum dos dois casos se resolve informando outros números — significa que o processo não é de Poisson.

Por que no máximo k e no mínimo k não são complementares?

Porque as duas linhas incluem a contagem de exatamente k, então somá-las conta esse resultado duas vezes. No exemplo acima, no máximo três é 43,35% e no mínimo três é 76,19%, o que soma 119,54% — o excesso sobre 100% é exatamente os 19,54% de três eventos. É a mesma aritmética da contagem binomial e a mesma armadilha: ler o no mínimo como um menos o no máximo erra justamente pela probabilidade sobre a qual você perguntou. Se você quer um complemento de verdade, use o valor de no máximo k − 1, ou leia as três linhas juntas e confira que exatamente k preenche a diferença entre elas.

Quando uma contagem é de fato de Poisson?

Quando os eventos são independentes, a taxa é estável ao longo do intervalo e os eventos são raros em relação às oportunidades de eles acontecerem. A independência é a suposição que faz o trabalho e a que falha com mais frequência, porque o agrupamento é fácil de não ver nos números resumidos: uma fábrica que reporta o mesmo total mensal de defeitos todo mês ainda pode estar tendo dias ruins e dias calmos, e esse agrupamento vai aparecer como contagens mais variáveis do que esta página prevê. A conferência prática é a da resposta anterior — compare a variância de um conjunto de contagens com a média delas. Se estiverem próximas, o modelo descreve bem; se estiverem distantes, nenhuma escolha de taxa resolve.

O que acontece quando a taxa é zero?

Nada pode ocorrer no intervalo, então a contagem zero tem probabilidade 100% e qualquer outra contagem tem probabilidade 0%. A página informa isso em vez de falhar: uma taxa de zero, ou um intervalo de duração zero, dão os dois lambda igual a zero e nenhum evento esperado, e perguntar por um ou mais eventos devolve 0% enquanto perguntar por nenhum devolve 100%. Vale saber que isso é tratado de forma explícita, porque a fórmula como está escrita contém um fator de zero elevado a k e um menos infinito vindo do logaritmo, e uma implementação que a avaliasse de forma ingênua produziria um resultado sem sentido em vez da resposta óbvia.

Por que não há uma tabela de probabilidades de Poisson nesta página?

Porque cada linha de uma tabela dessas pertence a um valor diferente da média, e a média aqui é o produto dos dois números que você informa. Uma tabela impressa estaria certa para uma taxa e um intervalo e errada para todas as outras combinações, então ela responderia a uma pergunta diferente da do painel — e onde as duas discordassem, o painel é que estaria certo. O painel é a tabela: as três linhas de probabilidade são os valores de exatamente, no máximo e no mínimo para a média que você especificou, e mudar a taxa ou o intervalo as recalcula. Tabelas de referência ganham o seu lugar em páginas cujas linhas não dependem de nenhuma entrada, como uma escala de notas ou um conjunto de faixas de corte.

• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e (the fixed number of independent trials with a constant success probability, which is precisely the constraint a Poisson count does not have) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case a large-mean Poisson count approaches) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for a count to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)