Calculadora da regra empírica

um sigma: média ± 1σ · dois sigma: média ± 2σ · três sigma: média ± 3σ · proporção dentro de kσ = 2Φ(k) − 1, onde Φ é a função de distribuição normal padrão

média

O centro da distribuição. Os seis extremos são simétricos em torno dela, então mover a média desloca o conjunto inteiro de faixas sem mudar nenhuma das três proporções

desvio padrão

O quanto a distribuição está espalhada, e a unidade em que a regra é contada — um sigma, dois sigma, três sigma. Precisa ser positivo: uma distribuição normal com desvio padrão zero é um ponto só, e a regra não tem o que dizer sobre ele

kσ

O número de desvios padrão — 1, 2 ou 3. A proporção dentro de uma faixa depende só de k, e é por isso que as três porcentagens são iguais em todo resultado, qualquer que sejam a média e o desvio padrão

2Φ(k) − 1

A proporção exata entre −kσ e +kσ. A regra empírica arredonda isso para 68 / 95 / 99,7 na leitura; a página imprime o valor sem arredondar, que é aquilo de que o número arredondado é a abreviação

Use para transformar uma média e um desvio padrão em faixas que dá para apontar. A regra empírica costuma aparecer como uma frase sobre porcentagens, o que é difícil de aplicar a uma medida concreta; a mesma afirmação na forma de: qualquer valor acima de 130 está a mais de dois desvios padrão da média já é aplicável. Ela também é a verificação rápida da plausibilidade do próprio desvio padrão: se um desvio padrão de cada lado da média cobre uma faixa que não pode conter 68% dos dados — porque passa de um limite rígido, ou porque os dados são visivelmente assimétricos — então o modelo normal é o errado para aqueles dados, e a verificação não custa nada. A página pressupõe uma distribuição normal do começo ao fim; ela não ajusta uma aos seus dados e não diz se a suposição se sustenta.

1. Uma média de 100 e um desvio padrão de 15

   1. Um desvio padrão de cada lado de 100 vai de 100 − 15 = 85 a 100 + 15 = 115
   2. Dois desvios padrão vão de 100 − 30 = 70 a 100 + 30 = 130
   3. Três desvios padrão vão de 100 − 45 = 55 a 100 + 45 = 145
   4. As proporções não usam nem a média nem o desvio padrão: 68,27% dentro de 1σ, 95,45% dentro de 2σ e 99,73% dentro de 3σ

   As três porcentagens são idênticas em todos os exemplos desta página, e isso é o conteúdo da regra, não uma coincidência deste exemplo. Uma distribuição normal fica completamente descrita pelo centro e pelo espalhamento, e a proporção dela dentro de k desvios padrão do centro depende apenas de k — então a média e o desvio padrão movem os extremos e nunca tocam as proporções. Se um resultado algum dia mostrasse uma porcentagem que se move quando a média se move, as proporções estariam sendo calculadas a partir da quantidade errada, e imprimi-las nas mesmas três linhas é o que torna isso visível.

2. A normal padrão: média 0 e desvio padrão 1

   1. Um desvio padrão de cada lado de 0 vai de −1 a 1
   2. Dois desvios padrão vão de −2 a 2, e três vão de −3 a 3
   3. As proporções continuam em 68,27%, 95,45% e 99,73%

   Com média zero e desvio padrão um, os extremos são as próprias contagens de sigma, o que faz desta a versão da regra que vale memorizar: os números −1, −2 e −3 e os positivos correspondentes são os escores z, e toda outra distribuição normal é esta esticada e deslocada. Ela também mostra por que as proporções não podem depender das entradas — aqui os extremos são literalmente os valores de k, e as porcentagens ao lado deles são as mesmas que eram com média 100.

3. Um desvio padrão pequeno: média 500 e desvio padrão 0,5

   1. Um desvio padrão é meia unidade, então a primeira faixa vai de 499,5 a 500,5
   2. Dois desvios padrão vão de 499 a 501, e três vão de 498,5 a 501,5
   3. As proporções seguem em 68,27%, 95,45% e 99,73%

   Nada na regra está amarrado a o desvio padrão ser um número redondo ou grande, e uma distribuição estreita é justamente onde as faixas deixam de ser legíveis de relance. Uma faixa de tolerância numa peça usinada costuma ser escrita assim — um alvo e um espalhamento muito menor que o alvo — e a saída útil aí é a linha dos extremos, não a das porcentagens. É também um lembrete de que a faixa de 99,7 cobre quase tudo só quando a distribuição é mesmo normal: três desvios padrão é um intervalo pequeno em termos absolutos neste caso, e qualquer processo real de cauda mais pesada deixaria bem mais de 0,27% fora dele.

4. Uma média negativa: −2,5 com desvio padrão de 1,25

   1. Um desvio padrão de cada lado de −2,5 vai de −3,75 a −1,25
   2. Dois desvios padrão vão de −5 a 0 — o extremo superior cai exatamente no zero
   3. Três desvios padrão vão de −6,25 a 1,25, cruzando o zero
   4. As proporções continuam em 68,27%, 95,45% e 99,73%

   Uma média abaixo de zero é comum — uma anomalia de temperatura, um retorno logarítmico, uma diferença entre duas medidas — e é o caso em que as faixas cruzam o zero, então uma implementação com erro de sinal ainda pode parecer certa em todos os exemplos positivos. O extremo superior de dois sigma cair exatamente no zero aqui é o tipo de coincidência que faz uma resposta errada parecer intencional, e é por isso que o caso está fixado como teste em vez de deixado ao acaso. O desvio padrão continua positivo em qualquer caso: ele é uma largura, não uma coordenada, e só a média carrega o sinal.

A regra pertence à distribuição normal e a mais nada. Ela é repetida com frequência como se 68% fosse um fato sobre dados em geral, mas é propriedade de uma curva específica — uma distribuição com outra forma tem outras proporções a um, dois e três desvios padrão, e uma assimétrica pode ter proporções bem diferentes de cada lado da média. Então a página pressupõe a normalidade em vez de verificá-la, e um resultado aqui vale tanto quanto essa suposição. Mais três limites. O desvio padrão precisa ser positivo: em zero a distribuição colapsa num ponto único e a pergunta sobre que proporção está dentro de zero da média não tem resposta útil, então a página recusa a entrada em vez de escolher uma. As três proporções são valores exatos da função de distribuição normal, então vão diferir na segunda casa decimal dos 68, 95 e 99,7 com que a regra costuma ser citada — a página não arredonda para combinar com o nome, porque o arredondamento é a abreviação e o número impresso é aquilo que ela abrevia. E a página não ajusta uma distribuição aos seus dados nem testa se alguma se ajusta; ela recebe uma média e um desvio padrão como dados e informa o que decorre disso.

Por que a página diz 68,27% se a regra diz 68%?

Porque o 68 do nome é uma cifra arredondada e 68,27% é o valor que ela arredonda. A regra empírica é um jeito de memorizar três números, e cerca de 68%, 95% e 99,7% é o que a maioria das pessoas consegue guardar; as proporções exatas dentro de um, dois e três desvios padrão da média de uma distribuição normal são 68,27%, 95,45% e 99,73%, e é isso que a página calcula em vez de citar. Se um cálculo vai ser construído sobre um desses números, o número sem arredondamento é o que serve de base — uma cifra arredondada usada como entrada produz uma resposta errada de um jeito que ninguém consegue rastrear até o arredondamento.

As porcentagens mudam se eu mudar a média ou o desvio padrão?

Não, e esse é todo o conteúdo da regra. Uma distribuição normal fica fixada por dois números, o centro e o espalhamento, e a proporção dela que cai dentro de k desvios padrão do centro depende só de k — um, dois ou três. Então mudar a média desliza os seis extremos ao longo da reta numérica e mudar o desvio padrão os estica ou os aperta, enquanto as três proporções ficam exatamente onde estavam. Se um resultado algum dia mostrasse uma proporção se movendo com as entradas, as proporções estariam sendo calculadas a partir dos extremos em vez do número de desvios padrão, e isso seria um erro, não uma propriedade dos dados.

O que a faixa me diz de fato — isso é uma probabilidade?

É uma probabilidade, lida como proporção da distribuição. Se uma grandeza é mesmo normalmente distribuída com a média e o desvio padrão que você informou, então a chance de um único valor sorteado dela cair dentro da faixa de um sigma é 68,27%, e as faixas traduzem desvios padrão para as unidades em que você está medindo, de modo que a afirmação pode ser aplicada a um número concreto. O que ela não é: uma afirmação sobre a sua amostra em particular — uma distribuição pode cobrir 68% da probabilidade dela numa faixa enquanto os dados à sua frente têm outra proporção dentro dela, e a página não tem dados, tem dois parâmetros que você digitou.

Como eu sei se a distribuição normal é o modelo certo?

Esta página não consegue dizer, porque ela nunca vê os dados. O que ela dá é uma verificação rápida da plausibilidade do modelo: se um desvio padrão de cada lado da média cobre uma faixa que não pode plausivelmente conter cerca de dois terços dos valores — porque a faixa passa de um piso ou de um teto rígido, porque os valores são contagens que não podem ficar abaixo de zero, ou porque a distribuição é visivelmente assimétrica — então a suposição normal está causando dano real e as porcentagens desta página descrevem uma curva que os dados não seguem. Um histograma ou um gráfico de probabilidade normal é o caminho usual para responder à pergunta direito; a aritmética daqui vem depois dessa resposta, e não no lugar dela.

Por que o desvio padrão não pode ser zero?

Porque uma distribuição normal com desvio padrão zero colapsou num ponto único, e a regra deixa de significar qualquer coisa ali. Todo valor ficaria exatamente sobre a média, então as faixas de um, dois e três desvios padrão de largura teriam todas largura zero, e perguntar que proporção da distribuição elas contêm teria duas respostas defensáveis — toda ela, já que tudo está na média, ou nenhuma, já que o intervalo não tem extensão — sem como escolher entre as duas. Em vez de escolher uma em silêncio, a página rejeita a entrada e diz que o desvio padrão precisa ser positivo. Um desvio padrão que deu zero num cálculo real quase sempre significa uma única observação ou um problema de digitação, e não uma distribuição de verdade.

Esta é a mesma calculadora que dá probabilidades a partir de escores z?

São dois pontos de entrada na mesma distribuição normal. A calculadora de escore z recebe um valor e diz onde ele cai e que probabilidade fica abaixo dele; esta página recebe a média e o desvio padrão e dispõe as três faixas padrão com a proporção que cada uma cobre. O que difere é a direção da pergunta — uma começa de uma medida, a outra começa da própria regra. As entradas são deliberadamente idênticas, a média e o desvio padrão nos mesmos dois campos, para que passar de uma página para a outra não obrigue a redigitar nada, e as duas nunca podem discordar sobre a distribuição por baixo porque calculam do mesmo jeito.

• 68-95-99.7 Rule — from Wolfram MathWorld (the rule stated as approximately 68%, 95% and 99.7%, the more precise probabilities, and the note that the rule is specific to the normal distribution rather than a general statement about arbitrary distributions) — Wolfram MathWorld
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the empirical rule stated for a normally distributed variable: about 68% of values within one standard deviation of the mean, 95% within two, 99.7% within three) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the normal distribution its parameters and its cumulative distribution function, which is what the three shares on this page are computed from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)