Calculadora do teorema de Bayes

P(A | E) = P(E | A) · P(A) / [ P(E | A) · P(A) + P(E | ¬A) · P(¬A) ]

P(A)

A probabilidade a priori da condição, informada em porcentagem — o que você acreditava antes de a evidência chegar. Ela pesa mais do que as pessoas esperam: quando é pequena, é preciso muita evidência para deslocá-la para longe

P(E | A)

A probabilidade de ver a evidência quando a condição está presente. Num teste, é a taxa de detecção, ou sensibilidade — a parcela dos casos verdadeiros que o teste captura

P(E | ¬A)

A probabilidade de ver a mesma evidência quando a condição está ausente. Num teste, é a taxa de falso positivo, e é o termo que faz o maior estrago quando não é pequeno

P(¬A)

A probabilidade de a condição estar ausente, que é 100% menos a priori. O denominador soma as duas maneiras de a evidência aparecer, ponderadas por quão comum é cada estado

P(E)

A probabilidade geral da evidência, aparecendo na população independentemente de a condição valer. É o denominador, e o painel a informa por conta própria porque um valor pequeno aqui é o que faz a posterior se deslocar bruscamente

P(A | E)

A probabilidade posterior: a crença depois da evidência. O painel de resultados também informa o complemento dela, já que a frase de que o teste deu positivo e ainda assim há 85% de chance de não ter a condição costuma ser a que de fato comunica o número

Use quando um resultado de teste tiver de ser lido em relação a quão comum é de fato aquilo que se testa: um teste de triagem numa população de baixa prevalência, um filtro de spam lendo uma palavra, uma verificação de diagnóstico sobre um defeito raro, ou qualquer situação em que um resultado positivo esteja sendo tratado como prova. Ela também serve para a pergunta inversa — descobrir quão bom um teste precisa ser para que um resultado positivo signifique alguma coisa, o que costuma ser um número bem mais útil do que a posterior de uma priori específica. Recorra a ela quando tiver uma priori que valha a pena declarar; quando não fizer ideia de qual deveria ser a priori, a resposta honesta é que a posterior será dominada por essa ignorância, e o painel mostra exatamente o quanto.

1. Uma condição de 1%, taxa de detecção de 90% e taxa de falso positivo de 5%

   1. Tome 10.000 pessoas: cerca de 100 têm a condição e 9.900 não têm
   2. Das 100 que têm, 90% testam positivo, ou seja, cerca de 90 verdadeiros positivos
   3. Das 9.900 que não têm, 5% também testam positivo: cerca de 495 falsos positivos
   4. Um resultado positivo vem então de 90 + 495 = 585 pessoas, e 90 / 585 = 15,38%

   Este é o caso em torno do qual a página inteira foi construída, e a aritmética dos passos é o motivo. Contar pessoas deixa o mecanismo visível: a taxa de falso positivo é aplicada a um grupo noventa e nove vezes maior que o grupo com a condição, então ela produz cinco vezes e meia mais positivos do que a taxa de detecção produz. A posterior de 15,38% não é uma afirmação de que o teste é ruim — uma taxa de detecção de 90% é boa — é uma afirmação de que a condição era rara o bastante para que os erros superassem os acertos. O complementar de 84,62% diz a mesma coisa pelo outro lado, e o deslocamento de 14,38 pontos percentuais é o que um teste dessa qualidade de fato vale aqui.

2. Uma condição de 2% e um teste com 99% de acerto

   1. Tome 10.000 pessoas: cerca de 200 têm a condição e 9.800 não têm
   2. Das 200 que têm, 99% testam positivo: cerca de 198 verdadeiros positivos
   3. Das 9.800 que não têm, 1% ainda testa positivo: cerca de 98 falsos positivos
   4. Um resultado positivo vem de 198 + 98 = 296 pessoas, e 198 / 296 = 66,89%

   Mesmo um teste que erra apenas uma vez em cada cem deixa um terço dos seus resultados positivos errados, porque é aplicado a um grupo quarenta e nove vezes maior. Suba a exatidão para 99,9% contra as mesmas 452 pessoas por 10.000 e a posterior passa de 95% — o que mostra que as duas alavancas não são intercambiáveis. A taxa de detecção determina quantos verdadeiros positivos você obtém, e a taxa de falso positivo determina em quanto ruído eles estão enterrados; melhorar a segunda costuma render muito mais do que melhorar a primeira, e este exemplo é a maneira mais barata de ver isso antes de encomendar um teste melhor.

3. Evidência que argumenta contra a condição

   1. Partindo de uma priori equilibrada: 50% para a condição e 50% contra
   2. A evidência é cinco vezes mais provável quando a condição está ausente (90% contra 5%)
   3. O denominador é 0,05 × 0,5 + 0,9 × 0,5 = 0,475, então a própria evidência é bastante provável
   4. A posterior é 0,025 / 0,475 = 5,26%, uma queda de 44,74 pontos percentuais

   O deslocamento negativo é a parte em que vale a pena parar, e a parte para a qual a unidade de pontos percentuais existe. Uma queda de 50% para 5,26% é uma queda de 44,74 pontos percentuais; não é uma queda de 44,74%, o que significaria que a posterior teria parado em cerca de 27,6%. Ler o deslocamento como variação relativa é a maneira clássica de citar mal este painel, e o sinal é o que indica que a evidência apontou para o outro lado. Note também que a evidência aqui é banal — 47,5% de chance de aparecer — e ainda assim fortemente informativa, porque a informação vem da razão entre as duas verossimilhanças, e não do fato de a evidência ser rara.

A probabilidade posterior vale tanto quanto os três números que você informa, e a priori é justamente a que as pessoas mais se sentem tentadas a inventar. Quando a condição é rara, a posterior é dominada pela priori e pela taxa de falso positivo, então um palpite otimista em qualquer uma das duas produz uma resposta confiante e errada — o painel não tem como avisar que a sua priori foi um chute. Mais dois cuidados. As verossimilhanças são tratadas como exatas, então uma taxa de detecção citada de um estudo de validação pequeno está sendo usada com uma precisão que ela não tem. E o cálculo é para uma única evidência lida uma única vez: aplicar o mesmo teste duas vezes não é o mesmo que aplicar dois testes independentes, porque um segundo resultado do mesmo instrumento imperfeito está correlacionado com o primeiro — realimentar a posterior como nova priori vai exagerar o quanto o segundo teste acrescenta. Quando a evidência é impossível em todos os estados — as duas verossimilhanças em 0%, ou uma taxa de falso positivo de 0% contra uma priori de 0% — o denominador é zero e não há posterior a informar, porque condicionar a algo que não pode acontecer não é uma pergunta com resposta.

Por que um teste com 90% de acerto dá apenas 15% de chance de ter a condição?

Porque o acerto entre as pessoas que têm a condição e o acerto entre as que não têm são dois números diferentes, e o segundo é multiplicado por um grupo muito maior. Com prevalência de 1%, as pessoas sem a condição superam as que têm na proporção de noventa e nove para um, então uma taxa de falso positivo de 5% produz centenas de falsos positivos onde uma taxa de detecção de 90% produz dezenas de verdadeiros positivos. O teste está fazendo o seu trabalho; a condição é simplesmente rara o bastante para que os erros superem os acertos. É a taxa base em ação, e é por isso que a priori é um campo obrigatório e não um detalhe.

O que são os pontos percentuais na linha da mudança?

São a diferença entre a priori e a posterior, medida em pontos percentuais e não como variação relativa. Ir de 50% a 5,26% é uma mudança de −44,74 pontos percentuais; não é uma queda de 44,74%, o que significaria que a posterior teria parado perto de 27,6%. A distinção importa mais nos deslocamentos grandes, em que a leitura relativa fica muito errada, e o sinal é o que indica para que lado a evidência empurrou — um deslocamento negativo significa que a evidência argumentou contra a condição.

Posso usar a posterior como priori do próximo teste?

Só se a segunda evidência for genuinamente independente da primeira. Dois resultados do mesmo teste não são independentes: um falso positivo numa rodada torna um falso positivo na seguinte mais provável, porque o instrumento tem o mesmo defeito nas duas vezes. Realimentar a posterior como nova priori assim mesmo vai exagerar o que o segundo resultado acrescenta — às vezes muito. Quando a evidência é realmente independente, atualizar em dois passos dá o mesmo resultado que atualizar uma vez com as duas evidências ao mesmo tempo, então o atalho é seguro exatamente quando a hipótese de independência vale.

O que significa a linha da probabilidade da evidência?

É a chance geral de ver a evidência, com ou sem a condição presente — o denominador do teorema, ponderando cada verossimilhança por quão comum é o seu estado. Vale informá-la porque ela explica o tamanho do salto: quando a evidência é rara no geral, uma posterior distante da priori é esperada, e quando a evidência é comum é preciso uma razão de verossimilhança forte para mover qualquer coisa. No primeiro exemplo a evidência aparece em 5,85% das pessoas, e é por isso que um único resultado positivo consegue deslocar tanto a crença.

Quando não existe resposta alguma?

Quando a evidência é impossível em todos os estados, o que zera o denominador e deixa o condicionamento a ela indefinido. Isso acontece se as duas verossimilhanças forem 0%, se a priori for 0% e a taxa de falso positivo for 0%, ou se a priori for 100% e a taxa de detecção for 0% — em cada um desses casos a evidência não pode ocorrer, então dado que a evidência ocorreu é uma condição vazia. O painel informa um erro em vez de devolver 0% ou 50%, porque não há probabilidade a informar, e não uma probabilidade zero.

A calculadora também informa a razão de verossimilhança?

Não, e o motivo é que a forma em chances quebra nas extremidades da faixa de entrada. As chances de um evento são a probabilidade dele dividida por um menos essa probabilidade, então uma priori de 100% dá chances infinitas, e imprimir isso quebraria o painel de resultados em vez de informar alguém. A linha da mudança faz o mesmo trabalho de uma forma que sobrevive a toda entrada legal: ela diz o quanto, e em que direção, uma evidência desloca a crença, que costuma ser a pergunta por trás do pedido de uma razão de verossimilhança.

• Bayes' Theorem — Stanford Encyclopedia of Philosophy (the theorem itself, its special forms including the odds form, and the subjectivist reading of probability as degree of belief) — Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford University
• 3.3 Two Basic Rules of Probability — Introductory Statistics 2e (the multiplication rule and conditional probability, which are the two pieces the posterior is assembled from) — OpenStax, Rice University
• 3.5 Tree and Venn Diagrams — Introductory Statistics 2e (the tree-diagram route to the same posterior, which is the count-of-people arithmetic used in the worked examples above) — OpenStax, Rice University