Calculadora de distribuição normal

z = (valor − média) / desvio padrão → abaixo = Φ(z), acima = 1 − Φ(z), dentro = 2Φ(|z|) − 1

valor

A medição sobre a qual você está perguntando — uma observação, e não a média de várias. Ela é comparada com a média e com o desvio padrão da distribuição contra a qual está sendo lida

média

O centro da distribuição normal, escrito μ. Toda probabilidade do painel é declarada em relação a ele, então uma média de 0 transforma o próprio valor no escore z sempre que a dispersão for 1

desvio padrão

A dispersão da distribuição, escrita σ, e ela precisa ser maior que zero. É a unidade em que a distância é medida, e é isso que permite que uma única tabela de escore z sirva para distribuições de qualquer tamanho

z

Quantos desvios padrão separam o valor da média. Positivo acima da média, negativo abaixo, e zero quando o valor é a própria média

Φ

A função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão: a parte da curva que fica à esquerda de um z dado. Ela não tem forma fechada elementar, então é calculada em vez de consultada

Use quando a pergunta for sobre posição e não sobre o número bruto: quão incomum é uma medição para o processo que a produziu, que parte de uma população fica acima de um corte, ou que proporção de uma janela de especificação um processo centralizado cobre. É também o caminho padrão para entrar numa tabela normal — converter antes para escore z é o que faz uma única tabela valer para todas as distribuições. Vá para a calculadora de escore z ao lado quando o escore z for o ponto e as probabilidades não forem necessárias; fique nesta quando você precisar das áreas, porque o escore z sozinho diz a que distância o valor está, mas não diz quanto da curva está lá fora junto com ele.

1. Um desvio padrão acima da média

   1. Subtraia a média: 115 − 100 = 15
   2. Divida pelo desvio padrão: 15 / 15 = 1, então o escore z é 1
   3. A parte de uma curva normal abaixo de z = 1 é cerca de 84,13%, o que deixa 15,87% acima
   4. A parte dentro de um desvio padrão para os dois lados é cerca de 68,27%, e os dois números de um só lado são simplesmente o que sobra em cada ponta

   Os três números são o mesmo fato dito de três maneiras, e o do meio é o que as pessoas leem errado: 84,13% abaixo significa que um valor um desvio padrão acima da média supera cerca de cinco sextos da distribuição, enquanto 15,87% dela continua acima. Repare também que dentro não é a soma das duas probabilidades de um só lado — é só a faixa do meio, então é sempre o menor dos três para um valor perto da média e cresce na direção de 100% conforme o valor caminha para a cauda.

2. Um valor exatamente na média

   1. Subtraia a média: 100 − 100 = 0
   2. Dividir por qualquer dispersão positiva deixa 0, então o escore z é 0
   3. Uma curva normal é simétrica, então exatamente metade dela fica abaixo da média e metade acima
   4. Uma faixa de largura zero em torno da média não contém nada da distribuição, então dentro é 0%

   O dentro de 0% não é o arredondamento de algo pequeno — é exato, e é o único caso em que a largura da faixa é genuinamente nada. Isso faz deste exemplo a verificação mais limpa da direção da faixa: dentro mede a distância até o valor nos dois lados, então na média não há distância nenhuma. É também o caso que mostra a simetria da qual o resto do painel depende, já que as duas probabilidades de um só lado se dividem exatamente ao meio.

3. Um valor bem no fundo da cauda superior

   1. Subtraia a média: 200 − 100 = 100
   2. Divida pelo desvio padrão: 100 / 15 ≈ 6,67 desvios padrão acima da média
   3. A parte acima de z = 6,67 é cerca de 1,3 × 10⁻¹¹ — um em dezenas de bilhões
   4. Com duas casas decimais essa parte é 0,00%, e a parte abaixo é 100,00%

   O 0,00% acima é o único número desta página que parece um defeito e não é: a parte verdadeira é cerca de 1,3 em cem bilhões, e duas casas decimais de uma porcentagem não conseguem imprimir isso. Duas consequências saem daí. Leia 0,00% como menor do que a precisão mostrada, e não como impossível, e lembre que o painel carrega mais informação do que os dígitos impressos — a cauda é calculada por um caminho próprio justamente para que este caso dê um zero limpo em vez do 0,01 ou 0,02 que a subtração a partir da cauda inferior produziria. Repare também que dentro chegou a 100%, já que uma faixa que alcança 6,67 desvios padrão para cada lado agora cobre praticamente a curva inteira.

4. Um desvio padrão abaixo da média

   1. Subtraia a média: 85 − 100 = −15
   2. Divida pelo desvio padrão: −15 / 15 = −1, então o escore z é negativo
   3. A parte abaixo de z = −1 é cerca de 15,87%, e a parte acima é cerca de 84,13%
   4. A faixa dentro de um desvio padrão é os mesmos 68,27% do caso z = +1, porque a faixa é simétrica

   Comparar este exemplo com o primeiro é o jeito mais rápido de ver o que o sinal faz e o que ele não faz: as duas probabilidades de um só lado trocam de lugar, e o número de dentro não se move nada. Isso acontece porque dentro mede uma distância da média nos dois sentidos, então ele não tem como saber de que lado o valor está — que é exatamente o que você quer quando a pergunta é quanto de uma distribuição fica perto do centro dela, e exatamente por isso o painel imprime também os números de um só lado em vez de só a faixa.

Todo número aqui é uma propriedade de uma distribuição normal, não dos seus dados. Um escore z pode ser calculado para qualquer conjunto de valores, seja qual for a forma dele, mas as probabilidades acima só valem se a distribuição for de fato normal — com uma dispersão assimétrica ou de cauda longa, valores muito distantes são mais comuns do que a curva normal diz, e as estimativas de cauda são as primeiras a sofrer. Uma média e um desvio padrão não fazem uma distribuição ser normal, e não têm como dizer se ela é. Mais duas ressalvas. Probabilidades muito pequenas não podem ser impressas com duas casas decimais, então um valor bem no fundo da cauda mostra 0,00% onde a verdade é um número pequeno e positivo. E o valor informado é tratado como uma única observação lida contra uma média e uma dispersão conhecidas, então os números não levam em conta a incerteza na média nem no desvio padrão, o que pesa quando os dois foram estimados a partir de uma amostra pequena.

O que o escore z acrescenta se eu já tenho a probabilidade?

Ele é o único dos quatro números que viaja entre distribuições. Uma probabilidade está amarrada à curva particular que você informou, enquanto um escore z de 1 significa a mesma distância do centro em qualquer distribuição normal — notas de prova com dispersão de 15, peças medidas em centésimos de milímetro ou uma medição em unidade arbitrária. É isso que faz uma única tabela de escore z servir em qualquer lugar: converta antes para escore z e depois leia a área na curva padrão.

Por que a probabilidade acima mostra 0,00% para um valor muito grande?

Porque duas casas decimais de uma porcentagem não conseguem imprimir o quão pequeno o número realmente é. Um valor 6,67 desvios padrão acima da média tem cerca de 1,3 × 10⁻¹¹ da curva acima dele — mais ou menos um em dezenas de bilhões —, que é uma parte real e positiva, apenas muito abaixo da precisão mostrada. Leia 0,00% como menor do que esta exibição consegue mostrar, e não como impossível. O painel calcula essa cauda por um caminho próprio em vez de subtrair da cauda inferior, e é por isso que ele devolve um zero limpo em vez do valor pequeno e diferente de zero que a subtração produziria.

Isto é a mesma coisa que a regra empírica?

É, e a tabela desta página é essa regra empírica escrita como distâncias em vez de como porcentagens. A regra empírica diz que cerca de 68% de uma distribuição normal ficam dentro de um desvio padrão da média, uns 95% dentro de dois e uns 99,7% dentro de três; virar cada uma dessas afirmações numa distância a partir do centro é exatamente o que as linhas fazem. Uma diferença vale a pena notar: a regra costuma ser citada como três porcentagens arredondadas, enquanto as proporções aqui são calculadas com a mesma função acumulada que a calculadora usa, então um valor exatamente sobre um limite recebe uma resposta consistente das duas partes.

O que acontece se o desvio padrão for zero?

Ele é recusado em vez de respondido. Dividir por uma dispersão de zero não é uma probabilidade que por acaso dá 1 — descreve uma distribuição sem dispersão nenhuma, em que toda observação é a média e a ideia de distância até o centro deixa de significar alguma coisa. O painel informa um erro em vez de devolver um 0% ou um 100% de aparência plausível. Desvios negativos são recusados pelo mesmo motivo: um desvio padrão é uma distância, então não pode ser negativo, e usar o valor absoluto dele em silêncio esconderia um erro nos dados.

Posso usar isto em dados que não são normais?

Você pode calcular o escore z para qualquer conjunto de valores, porque uma média e um desvio padrão existem para qualquer dado. As probabilidades é que são a parte que precisa da suposição: elas são áreas sob uma curva normal, e uma distribuição assimétrica ou de cauda longa não vai corresponder a elas. A diferença aparece primeiro nas caudas, onde a parte verdadeira além de uma grande distância costuma ser maior do que a curva normal afirma, e é por isso que os 0,3% além de três desvios padrão da regra empírica devem ser tratados como uma propriedade do modelo normal e não como uma promessa sobre as suas medições.

Por que o valor é tratado como uma única observação e não como a média de uma amostra?

Porque é isso que as três probabilidades são: a parte da distribuição abaixo, acima e em volta de um único valor. Ler uma média amostral contra a mesma média e a mesma dispersão é outra conta, e a dispersão de que você precisaria é o erro padrão da média, e não a dispersão das observações individuais — os dois diferem por um fator igual à raiz quadrada do tamanho da amostra, então usar um no lugar do outro dá uma resposta de aparência razoável e errada. Se o seu valor já é uma média, informe o erro padrão no campo do desvio padrão.

• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function behind every probability on this page, and the z-table it is read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the z-score as a standardised value, and the areas a normal table records) — OpenStax, Rice University
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (reading probabilities off a normal curve, including the complements this page reports as below and above) — OpenStax, Rice University