Calculadora de escore z

z = (x − μ) ÷ σ

x

O valor que está sendo situado — a medição, a nota, a leitura que você quer colocar nesta escala

μ

A média do grupo ao qual o valor pertence. É a subtração que transforma um valor absoluto em uma distância até o meio

σ

O desvio padrão desse mesmo grupo. Dividir por ele é o que torna a resposta comparável entre escalas: um escore z de 1,5 significa a mesma coisa quer os dados estivessem em pontos ou em milímetros. Ele precisa ser maior que zero

x − μ

A distância até a média, impressa sozinha como valor absoluto para que o afastamento possa ser lido nas unidades originais antes de ser reescalado

z

O escore z: negativo quando o valor está abaixo da média, positivo quando está acima. O sinal carrega a direção, o tamanho carrega o quanto o valor é pouco comum

Use para comparar valores que vêm de escalas diferentes, que é a razão de a medida existir: uma nota 85 em uma turma cuja média é 75 não é o mesmo feito que 85 em uma turma cuja média é 90, e os escores z dizem isso diretamente. É também a maneira padrão de situar uma leitura isolada contra uma população de referência e o primeiro passo da maior parte das regras de valores atípicos. Se você tem os dados brutos em vez de uma média e um desvio padrão, calcule os dois na página do desvio padrão e volte — esta página não os estima para você. Vale ter em mente o que as faixas querem dizer: as porcentagens por trás delas vêm da regra empírica, a regra 68-95-99,7, e essa regra descreve uma distribuição normal. Qualquer valor pode ter um escore z; só os valores de uma distribuição normal têm 68% deles dentro de um desvio padrão. A fórmula é uma subtração e uma divisão, então a conta em si não supõe forma nenhuma: o que supõe é a leitura que se faz do resultado.

1. Uma nota um desvio padrão acima da média da turma

   1. Distância até a média: 85 − 75 = 10 pontos
   2. Divida pelo desvio padrão: 10 ÷ 10 = 1
   3. O escore z é 1, positivo porque 85 está acima de 75

   Um escore z de exatamente 1 cai na primeira faixa, e não na segunda: a regra empírica fala da proporção de valores que ficam dentro de um desvio padrão, então o limite conta como dentro, e 68% é o número ligado a ele. Os dez pontos de distância e o escore z de 1 são o mesmo fato, um nas unidades da prova e o outro em unidades de dispersão — é exatamente isso que a divisão entrega.

2. Exatamente três desvios padrão de distância

   1. Distância: 105 − 75 = 30
   2. Divida: 30 ÷ 10 = 3
   3. A faixa é a que termina em 3, porque a regra fala de valores além de três desvios padrão

   Este é o limite que mais importa, e é o que mais se erra. Estar exatamente a três desvios padrão da média não é o mesmo que estar além de três, e o número de 0,3% pertence ao caso além. Na prática é uma distinção pedante — medições reais raramente caem em cima do limite —, mas é a diferença entre as faixas, e a tabela acima mostra onde cada limite fica.

3. Abaixo da média, onde o sinal inverte

   1. Distância: 65 − 75 = −10, então o valor está dez pontos abaixo da média
   2. Divida: −10 ÷ 10 = −1
   3. O escore z é negativo; seu tamanho é o mesmo do primeiro exemplo, porque o valor está à mesma distância da média

   O sinal é a direção e o tamanho é o tamanho. Um valor dez pontos abaixo da média e um valor dez pontos acima dela têm escores z de −1 e +1, que são igualmente pouco comuns — é por isso que a faixa é escolhida pelo valor absoluto de z, e por isso que o painel informa a distância como número positivo. Leia os dois juntos: o sinal diz de que lado, a distância diz a que distância.

Um escore z vale o que valem a média e o desvio padrão que você informa: esta página recebe os dois prontos e não tem como conferi-los, então uma média digitada a partir da coluna errada torna todas as respostas erradas sem nenhum sinal de problema. As porcentagens por trás das faixas descrevem uma distribuição normal, e dados reais muitas vezes não são normais — se os dados forem assimétricos, um escore z grande pode significar apenas que a distribuição tem uma cauda longa, e não que o valor seja um valor atípico. Há também uma armadilha de amostra pequena que vale conhecer: o Detection of Outliers do NIST observa que o maior escore z possível em uma amostra de n valores é no máximo (n − 1) ÷ √n, então com menos de cerca de onze valores o escore z não chega a 3 de jeito nenhum e uma regra prática fixada em três desvios padrão nunca vai disparar. Por fim, o desvio padrão precisa ser maior que zero: um grupo em que todos os valores são idênticos não tem dispersão com que comparar, e a página informa uma falha em vez de uma resposta.

Qual é a fórmula do escore z?

z = (x − μ) ÷ σ: subtraia a média do valor e divida pelo desvio padrão. Uma nota de 85 contra uma média de 75 com desvio padrão de 10 dá (85 − 75) ÷ 10 = 1. A subtração coloca o valor em uma escala centrada em zero, e a divisão o reescala em unidades de dispersão, que é o que torna duas escalas diferentes comparáveis.

Quantos desvios padrão o meu valor está da média?

É exatamente o que o escore z informa: o tamanho dele é o número de desvios padrão, e o sinal diz de que lado da média o valor está. Um escore z de 2,5 quer dizer dois desvios padrão e meio acima da média; −0,4 quer dizer quatro décimos de um desvio padrão abaixo. O painel também imprime a distância crua, para que o afastamento possa ser lido nas unidades originais ao lado do valor reescalado.

O que conta como um escore z alto?

Em uma distribuição normal, cerca de 68% dos valores ficam dentro de um desvio padrão, 95% dentro de dois e 99,7% dentro de três — a regra empírica. Isso faz de um escore z além de 2 algo pouco comum e de um além de 3 algo raro, e é por isso que três desvios padrão é a linha usual para um candidato a valor atípico. Trate os números como uma leitura, não como um veredito: eles descrevem uma distribuição normal, e uma distribuição assimétrica pode produzir escores z grandes para valores perfeitamente comuns. Vale lembrar ainda que, em uma amostra pequena, o escore z nem consegue chegar a 3: o NIST observa que o maior valor possível é (n − 1) ÷ √n, então com menos de cerca de onze valores a regra não dispara.

Escore z é a mesma coisa que percentil?

Não, embora os dois estejam ligados. O escore z é uma distância em unidades de desvio padrão; o percentil é uma posição na lista ordenada dos valores. Converter um no outro exige a forma da distribuição — em uma distribuição normal um escore z de 1,645 fica no percentil 95, mas essa correspondência só vale para uma distribuição normal. O escore z não precisa de suposição nenhuma por conta própria, e é por isso que ele aparece aqui e o percentil não.

E se o desvio padrão for zero?

Então não há por que dividir, e a página informa uma falha em vez de um número. Um desvio padrão de zero significa que todos os valores do grupo são idênticos, então nenhum valor está a distância alguma da média e a pergunta não tem resposta. Infinitos e erros impressos como resultado seriam piores do que dizer isso: uma divisão por zero aqui não produz leitura nenhuma, e a página prefere avisar.

Posso usar isto para qualquer conjunto de dados, normal ou não?

O escore z em si, sim: subtraia a média e divida pelo desvio padrão e você tem uma medida válida de posição relativa, qualquer que seja a forma dos dados. As faixas são a parte que exige cuidado. As porcentagens de 68, 95 e 99,7 são propriedades de uma distribuição normal, e um conjunto de dados de cauda longa vai entregar escores z bem além de 3 para valores que não são nada incomuns naquela distribuição. Use as faixas como um convite a olhar o valor, não como um veredito sobre ele.

• The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e, section 6.1 (the z-score as the number of standard deviations from the mean, and the Empirical Rule: about 68%, 95% and 99.7% within one, two and three standard deviations) — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)