Pular para o conteúdo principal
CalcMax

Calculadora de losango

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 ° – 180 °

Resultado

21,6506 cm²

Área

Perímetro
20,0000 cm
Diagonal 1
8,6603 cm
Diagonal 2
5,0000 cm
Altura
4,3301 cm

A calculadora de losango recebe o comprimento de um lado e o tamanho de um ângulo e devolve o resto da figura: a área, o perímetro, as duas diagonais e a altura. Um losango é uma figura de quatro lados todos do mesmo comprimento e com os lados opostos paralelos — um quadrado que foi empurrado de lado —, então um lado já fixa o perímetro, em quatro vezes o lado, e o ângulo decide todo o resto. Essa divisão é a razão de esta página pedir dois números em vez de um: o lado sozinho diz de que tamanho são as arestas, e o ângulo diz quanto a forma foi inclinada, e os dois juntos são exatamente o suficiente para fixar a figura. Tome um lado de 5 centímetros. Deixe-o em pé, quadrado, a 90 graus, e ele cobre 25 centímetros quadrados, que é o máximo que um losango daquele lado pode cobrir. Incline-o até 60 graus e as mesmas quatro arestas encerram 21,6506, cerca de treze por cento menos, com as diagonais agora em 8,6603 e 5 e a altura em 4,3301. Incline mais, até 30 graus, e a área cai para 12,5 enquanto o perímetro fica em 20 o tempo todo. É esse o fato que esta página foi feita para mostrar: inclinar um losango nunca muda o perímetro dele e sempre custa área, e o custo alcança tudo — as duas diagonais se movem em direções opostas conforme a forma se inclina, uma crescendo enquanto a outra encolhe, e a altura cai em direção a zero. A linha mais útil da tabela abaixo é a terceira. Um lado de 5 a 73,74 graus dá diagonais de exatamente 8 e 6, e uma área de 24 — que é o mesmo losango com que a calculadora de área do losango trabalha quando você lhe dá as diagonais 6 e 8. Metade de 6 é 3 e metade de 8 é 4, e um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 tem hipotenusa 5, que é de onde veio o lado; o ângulo de 73,74 é o dobro dos 36,87 graus que esse triângulo carrega. Informe qualquer dos dois pares e a resposta é 24, e ter os dois na mesma tela é a conferência mais clara de que as duas fórmulas descrevem uma figura só. O campo do ângulo aceita graus, radianos ou grados, e qualquer um dos quatro ângulos serve, porque o losango tem dois ângulos de um tamanho e dois do outro, e o seno de um ângulo é igual ao seno do seu suplemento — 60 e 120 dão a mesma área. São, de fato, o mesmo losango: a mesma área, o mesmo perímetro e a mesma altura, com as duas diagonais trocando de lugar, já que qual delas você chama de primeira depende de em qual canto mediu o ângulo. Um ângulo de 0 ou 180 é aceito e dá área zero, que é a leitura honesta de uma forma completamente achatada; um ângulo negativo, ou acima de 180, é reportado como erro. Se você tem as diagonais em vez de um lado e um ângulo, a calculadora de área do losango as recebe diretamente; se você quer só a área a partir das duas entradas desta página, aquela mesma ferramenta também aceita a rota do lado com o ângulo.

Losangos por lado e ângulo, com as quatro leituras que cada um dá

Lado (cm)Ângulo (°)Diagonal 1 (cm)Diagonal 2 (cm)Perímetro (cm)Área (cm²)
5608.660352021.6506
5907.07117.07112025
573.74862024
4307.72742.0706168
6120610.39232431.1769
104518.47767.65374070.7107
1101.99240.174340.1736
0600000

Oito losangos, e cada linha mostra a mesma regra num grau de inclinação diferente. A primeira linha é a que a página carrega, e a terceira é a linha para conferir contra outra ferramenta: um lado de 5 a 73,74 graus tem diagonais de exatamente 8 e 6 e área 24, que é o mesmo losango que a calculadora de área do losango monta quando você lhe dá essas duas diagonais. A coluna do perímetro nunca se move, em 20 para toda linha de lado 5 e em 16 para a linha de lado 4, porque inclinação nenhuma toca as arestas — essa coluna e a da área lado a lado são a afirmação mais clara de quanto custa inclinar. Repare nas duas colunas de diagonal conforme a forma se inclina. A primeira linha, um lado de 5 a 60 graus, tem a diagonal maior na primeira coluna, 8,6603 contra 5; a quinta linha, um lado de 6 a 120 graus, tem a maior na segunda coluna, 10,3923 contra 6. Essas duas linhas não são o mesmo losango, já que os lados diferem, mas juntas mostram a regra do suplemento: o seno de 120 graus é igual ao seno de 60, então inclinar um losango de um ângulo agudo para o seu suplemento mantém os mesmos dois comprimentos de diagonal e apenas troca em qual coluna cada um cai. A segunda linha é o ângulo reto, a única inclinação em que as duas colunas se encontram, ambas em 7,0711. A quarta linha é a mais inclinada, um lado de 4 a 30 graus, com diagonais de 7,7274 e 2,0706 — a maior quase o dobro do lado e a menor pouco mais da metade dele. A última linha tem lado 0 e dá zeros em tudo — um losango sem tamanho, respondido em vez de recusado. Toda célula é recalculada a partir da sua linha quando a página é construída, em centímetros, graus e centímetros quadrados. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

A = s² × sen(θ) P = 4s d₁ = 2s × cos(θ ÷ 2) d₂ = 2s × sen(θ ÷ 2) h = s × sen(θ)

s
O comprimento de um lado, em centímetros. Os quatro lados são iguais, então medir um basta, e ele fixa o perímetro sozinho em 4s. Ele não fixa a área: um losango de lado 5 cobre de 0 até 25 centímetros quadrados, dependendo de quanto foi inclinado, e é por isso que o ângulo também é necessário
θ
Qualquer um dos quatro ângulos, em graus, radianos ou grados. O losango tem dois ângulos de um tamanho e dois do outro, e os dois tamanhos somam 180, então os cantos opostos são iguais e os cantos vizinhos são suplementares. Qualquer um dos quatro funciona em toda fórmula desta página, porque o seno de um ângulo e o seno do seu suplemento são iguais — um ângulo de 60 e um de 120 descrevem o mesmo losango: a mesma área, o mesmo perímetro e a mesma altura, com as duas diagonais trocando de lugar
A
A área, em centímetros quadrados: o lado ao quadrado vezes o seno do ângulo. Ela é máxima quando o ângulo é reto, onde o seno vale 1 e o losango é um quadrado, e cai para zero conforme o ângulo se aproxima de 0 ou de 180 e a forma se achata numa linha. É impressa com quatro casas decimais, a mesma largura das outras páginas de área desta subcategoria
P
O perímetro, em centímetros: quatro vezes o lado. É a única leitura desta página que ignora o ângulo por completo, porque inclinar a forma move os cantos sem mudar as arestas. Um losango de lado 5 tem perímetro 20 seja ele um quadrado ou quase plano, o que faz do perímetro um guia ruim para quanta superfície uma forma cobre e um guia bom para quanta borda ela precisa
d₁, d₂
As duas diagonais, em centímetros: as linhas que unem cantos opostos. Elas se cruzam em ângulo reto e se cortam pela metade, e cada uma é duas vezes o lado vezes o cosseno ou o seno da metade do ângulo. Conforme o losango se inclina, uma cresce e a outra encolhe — com lado 5, as duas valem 7,0711 a 90 graus, 8,6603 e 5 a 60 graus, e 9,6593 e 2,5882 a 30 graus — e a metade do produto delas é a área, que é a outra rota até a mesma figura
h
A altura, em centímetros: a distância perpendicular entre um lado e o lado oposto a ele, que é o lado vezes o seno do ângulo. É a altura que você usaria com a fórmula da base vezes altura, então um losango de lado 5 a 60 graus tem altura 4,3301 e área 5 × 4,3301 = 21,6506. Ela cai para zero conforme a forma se achata, e só é igual ao lado quando o losango é um quadrado

Use esta página quando um losango é descrito pela aresta e pelo canto, que é como a forma é especificada de antemão: um vidro em losango cotado em 5 centímetros a 60 graus, um padrão de ladrilhos num piso, uma chapa de metal cortada a partir de um desenho, uma pipa cujas quatro arestas são iguais. Essa descrição é a que um desenho carrega, e é a que responde à pergunta que a rota das diagonais não responde: o que acontece com a área se eu inclinar mais? Com lado 5, a resposta vai de 25 centímetros quadrados num ângulo reto até 12,5 a 30 graus e 4,3412 a 10 graus, e todas essas formas têm perímetro 20. Use a calculadora de área do losango quando o que você mediu foram as diagonais — elas são as duas distâncias de través de uma forma pronta e costumam ser mais fáceis de medir com trena do que um ângulo —, ou quando a área é a única leitura que você quer. Use a calculadora de área do paralelogramo quando a altura já for um comprimento conhecido, já que aquela página recebe uma base e uma altura perpendicular diretamente em vez de calcular a altura a partir do ângulo. E use a calculadora de quadrado quando o losango for um quadrado: informe um ângulo reto aqui e as diagonais voltam iguais e a altura volta igual ao lado, que é o que faz do quadrado o maior losango de um dado lado.

Exemplos resolvidos

  1. Um lado de 5 centímetros a 60 graus

    1. Seno do ângulo: sen 60° = 0,866025…
    2. Área: 5 × 5 × 0,866025… = 21,650635…, que arredonda para 21,6506
    3. Perímetro: 4 × 5 = 20
    4. Metade do ângulo é 30°; cosseno 0,866025…, seno 0,5
    5. Diagonal maior: 2 × 5 × 0,866025… = 8,660254…, que arredonda para 8,6603
    6. Diagonal menor: 2 × 5 × 0,5 = 5
    7. Altura: 5 × 0,866025… = 4,330127…, que arredonda para 4,3301

    É a linha com que a página carrega e a que mostra a figura inteira de uma vez. Duas das cinco leituras vêm direto do lado — o perímetro é 20 e nada do ângulo pode mudar isso — e as outras três carregam o fator 0,866 do ângulo de 60 graus, que é o mesmo número que aparece na área de um triângulo equilátero. Vale comparar a altura de 4,3301 com o lado de 5: inclinar o quadrado até 60 graus custou à forma cerca de treze por cento da sua altura — sen 60° é 0,866, então a perda é 1 − 0,866, um sétimo da altura e não um sexto —, e a área caiu na mesma proporção, de 25 para 21,6506.

  2. Um lado de 5 centímetros num ângulo reto

    1. Seno de um ângulo reto: 1
    2. Área: 5 × 5 × 1 = 25
    3. Perímetro: 4 × 5 = 20
    4. Metade do ângulo é 45°; cosseno e seno são ambos 0,707106…
    5. As duas diagonais: 2 × 5 × 0,707106… = 7,071067…, que arredonda para 7,0711
    6. Altura: 5 × 1 = 5

    Um quadrado, que é no que um losango se torna quando não foi inclinado nada. Toda leitura aqui é um máximo ou uma coincidência que vale saber: a área de 25 é a maior que qualquer losango de lado 5 pode ter, a altura cresceu até o próprio lado, e as duas diagonais se encontraram no meio, em 7,0711 — a raiz de cinquenta, que é o lado vezes a raiz de dois. O perímetro continua 20, o mesmo do losango de 60 graus acima, que é o jeito mais claro de ver que o perímetro não diz nada sobre quanta superfície a forma cobre.

  3. Um lado de 5 centímetros a 73,74 graus

    1. Metade do ângulo é 36,869897…°, cujo cosseno é 0,8 e cujo seno é 0,6
    2. Diagonal maior: 2 × 5 × 0,8 = 8
    3. Diagonal menor: 2 × 5 × 0,6 = 6
    4. Área: 5 × 5 × sen 73,739795…° = 25 × 0,96 = 24
    5. Perímetro: 4 × 5 = 20
    6. Altura: 5 × 0,96 = 4,8

    A linha que amarra esta página à calculadora de área do losango. Diagonais de 8 e 6 forçam um lado de 5 — as metades são 4 e 3, e um triângulo retângulo com esses catetos tem hipotenusa 5 —, e o ângulo que vai com esse lado é 73,74 graus. Então esta página e aquela se encontram em 24 centímetros quadrados, alcançados aqui a partir de um lado e um ângulo e lá a partir de duas diagonais. O 0,8 e o 0,6 dos passos são o triângulo 3-4-5 aparecendo: todo losango cujas diagonais estão na razão de 4 para 3 tem estes ângulos e esta relação entre lado e diagonais, e é por isso que os números saem inteiros.

  4. Um lado de 5 centímetros a 0 graus

    1. Seno de 0°: 0
    2. Área: 5 × 5 × 0 = 0
    3. Perímetro: 4 × 5 = 20
    4. Diagonal maior: 2 × 5 × cos 0° = 2 × 5 × 1 = 10
    5. Diagonal menor: 2 × 5 × sen 0° = 0
    6. Altura: 5 × 0 = 0

    Um losango achatado por completo sobre um dos próprios lados, e a página responde em vez de recusar: a área é 0, a altura é 0, e a forma virou uma linha dupla de comprimento 10, e é por isso que a diagonal maior cresceu até os 10 inteiros e a menor desapareceu. A única leitura que sobrevive é o perímetro, ainda 20, porque as quatro arestas continuam ali mesmo que a forma que elas encerravam não continue. Essa é a fronteira do que a página aceita: um ângulo negativo é recusado como erro, mas 0 e 180 são configurações reais e são respondidos como tais.

Limitações

Esta página descreve um losango a partir de um lado e um ângulo, e para aí. Ela não funciona ao contrário: não há rota de uma área, de uma diagonal ou de uma altura para a forma que as produz, então a pergunta que um fabricante de fato faz — que ângulo me dá 24 centímetros quadrados com um lado de 5 — precisa do seno calculado à mão, e a resposta é 73,74 graus. Todas as saídas estão em centímetros, centímetros quadrados e graus, independentemente das unidades escolhidas para as entradas: as listas de unidade no campo do lado convertem aquele comprimento para centímetros, e o campo do ângulo muda como o número é lido, mas nenhum dos dois muda em que unidade as respostas são impressas. Essa é uma armadilha real com o campo do ângulo, porque 60 radianos não são 60 graus e a página vai calcular a figura para a unidade que estiver selecionada em vez de reclamar que o número é grande demais para um ângulo; se um resultado parecer impossível, o seletor de unidade é a primeira coisa a conferir. O ângulo é aceito de 0 até 180 graus, e fora dessa faixa a página reporta um erro, o que assume em silêncio que você quis dizer o ângulo interno — um ângulo dado como o externo, ou como a direção de um lado, vai produzir uma figura errada em vez de um erro. Um ângulo de exatamente 0 ou 180 dá área 0 e uma diagonal 0, que é a resposta honesta para uma forma achatada mas raramente é o que alguém quer, e a página não avisa que a figura que acabou de descrever é degenerada. O lado é limitado a um bilhão de centímetros, o que é um limite da aritmética exata e não da geometria. Quatro casas decimais são uma largura de exibição compartilhada com as outras páginas de área desta subcategoria e não uma afirmação sobre precisão: um ângulo lido até o grau inteiro move a área em cerca de um por cento, muito mais do que a quarta casa decimal. A página supõe que a forma é mesmo um losango, com quatro lados iguais e lados opostos paralelos; um quadrilátero que seja quase mas não exatamente um losango será respondido como se fosse, e a calculadora de área do losango é a página a usar se o que você mediu foram as diagonais de uma forma de que não tem certeza. Nada aqui considera desperdício, corte ou as juntas entre ladrilhos, então a área devolvida é a área da forma e não a quantidade de material a encomendar.

Perguntas frequentes

O que eu consigo calcular de um losango com um lado e um ângulo?
Tudo o que a forma tem: a área, o perímetro, as duas diagonais e a altura. Um lado fixa o perímetro em quatro vezes o comprimento dele, e o ângulo fixa o resto, porque o losango não tem outra liberdade — incliná-lo é a única coisa que o muda depois que as arestas estão definidas. Um lado de 5 a 60 graus dá área de 21,6506 centímetros quadrados, perímetro 20, diagonais de 8,6603 e 5, e altura 4,3301.
Qual dos quatro ângulos eu informo?
Qualquer um: a área, o perímetro e a altura saem iguais seja qual for o escolhido, porque toda fórmula desta página usa o seno do ângulo e o seno de um ângulo é igual ao seno do seu suplemento — sen 60 e sen 120 são ambos 0,866. As duas diagonais saem como o mesmo par de comprimentos, mas trocadas entre as duas linhas, já que qual delas é a maior depende de em qual canto o ângulo foi medido. Um losango tem dois ângulos de um tamanho e dois do outro, com os cantos vizinhos somando 180 graus, então informar 60 e informar 120 descrevem a mesma forma. Se você só sabe que um canto é agudo e um é obtuso, qualquer dos dois números serve.
Inclinar um losango muda o perímetro dele?
Não. O perímetro é quatro vezes o lado e o lado nunca muda, então um losango de lado 5 tem perímetro 20 seja ele um quadrado ou quase plano. O que a inclinação muda é todo o resto: a área cai de 25 centímetros quadrados num ângulo reto para 21,6506 a 60 graus e 4,3412 a 10 graus. É por isso que um perímetro é um guia ruim para quanta superfície uma forma cobre e um guia bom para quanta borda ou moldura ela precisa.
Como as duas diagonais se relacionam com o lado e com o ângulo?
Cada uma é duas vezes o lado vezes o cosseno ou o seno da metade do ângulo: a maior é 2s × cos(θ ÷ 2) e a menor é 2s × sen(θ ÷ 2). Com lado 5 e ângulo de 60 graus isso dá 8,6603 e 5; a 90 graus as duas saem em 7,0711, que é o que faz as diagonais de um quadrado serem iguais. A metade do produto delas é a área, que é a fórmula que a calculadora de área do losango usa quando você lhe dá as diagonais.
Qual é a maior área que um losango de um dado lado pode ter?
O quadrado, com a área igual ao lado ao quadrado. Um losango de lado 5 cobre 25 centímetros quadrados num ângulo reto, e todo outro ângulo dá menos: 21,6506 a 60 graus, 12,5 a 30 e 4,3412 a 10. A razão está na fórmula, já que o seno do ângulo é no máximo 1 e chega a 1 nos 90 graus. Se você está escolhendo o ângulo de um canto para um ladrilho ou um painel e quer a maior cobertura com um dado comprimento de aresta, escolha o ângulo reto.
O que acontece com um ângulo de 0 ou de 180 graus?
A área volta 0 e a altura volta 0, com o perímetro ainda em 20. São respostas honestas e não erros: a 0 graus a forma foi achatada sobre um dos próprios lados e não encerra nada, enquanto as quatro arestas continuam ali, e é por isso que a diagonal maior esticou até 10 e a menor desapareceu. Ângulos fora da faixa de 0 a 180 são reportados como erros, já que a página assume que o número que você deu é o ângulo interno.

Referências

Calculadoras relacionadas

Calculadora de área do losangoÁrea do losango pelas diagonais ou por um lado e um ângulo.Calculadora de área do paralelogramoÁrea e perímetro do paralelogramo pela base, altura e lado.Calculadora de quadradoLado, perímetro, área e diagonal de um quadrado.Calculadora de área do triânguloMetade da base vezes a altura perpendicular sobre ela.